Carré inscrit dans un pentagone
Descartes et les Mathématiques
Travaux pratiques de géométrie dynamique avec GeoGebra.Un scénario pour le lycée.
Sommaire
1. Carré ayant deux sommets consécutifs sur le pentagone
2. Carré ayant deux sommets opposés sur le pentagone
3. Carré ayant deux sommets opposés sur deux côtés non consécutifs du pentagone
4. Carré inscrit dans le pentagone
5. Carré ayant un sommet en commun avec le pentagone
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Travaux dirigés avec GeoGebra
Énoncé
Construire un carré aussi grand que possible à l'intérieur d'un pentagone régulier.
Construction
Pour construire un pentagone régulier ABCDE de côté a = 1 avec GeoGebra, créer deux points :
A de coordonnées (0 ; 0,85) et B de coordonnées polaires (0,85 ; 162°), puis dessiner le pentagone penta=Polygone[A, B, 5].
1. Carré ayant deux sommets consécutifs sur le pentagone
Pour un point M sur [AB] et N sur les côtés [AB] ou [BC] {N = Point[penta]}, tracer le carré MNPQ.
Montre si P et Q sont strictement à l'intérieur du pentagone, on peut trouver un carré plus grand.
Un tel carré maximal a trois sommets sur le pentagone et la recherche peut se réorienter vers des carrés ayant deux sommets opposés situés sur le pentagone.
2. Carré ayant deux sommets opposés sur deux côtés consécutifs du pentagone
Soit le point M sur [AB] et P sur le côté [BC]. Le carré MNPQ n'est pas à l'intérieur du pentagone.
3. Carré ayant deux sommets opposés sur deux côtés non consécutifs du pentagone
Étudier le cas où le point M est sur [AB] et P est sur le côté [DE].
Vérifier que M ou P sont sur le pentagone : un carré maximal a trois sommets sur le pentagone.
4. Carré inscrit dans le pentagone
Si trois des sommets du carré (distincts des sommets du pentagone) sont situés sur le pentagone alors les quatre sommets y sont :
le carré est inscrit dans le pentagone.
Un des côtés du pentagone est parallèle aux côtés du carré.
5. Carré ayant un sommet en commun avec le pentagone
Carré AMNP à l'intérieur du pentagone.
On trace le cercle circonscrit au pentagone de centre O. Soit M’P’ le diamètre perpendiculaire au rayon [OA].
Trouver le carré maximal et conclure.
Indications
0. Pentagone
Angles et côté du pentagone régulier
L'angle au centre du pentagone régulier est de 72° et l'angle intérieur de 108°.
Si a est la longueur du côté et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans la page polygones réguliers que :
a = 2 r sin 36° = 
= r 
≈ 1,17557 r ; avec le nombre d'or φ = 
.
D'où r = 0,85065 a.
Construction du pentagone régulier avec GeoGebra
Pour un pentagone régulier ABCDE inscrit dans le cercle de rayon r, centré en O, on peut placer le point A sur (Oy) tel que ses coordonnées soient A(0, r). Dans le sens direct, le sommet suivant a pour coordonnées : B(r cos(9π/10), r sin(9π/10)).
Pour construire un pentagone régulier de côté a = 1, créer deux points nouveaux A et B.
Choisir pour A les coordonnées (0 ; 0,85) ;
Dans les propriétés du menu contextuel de B, choisir l'onglet algèbre et sélectionner coordonnées polaires.
Ensuite, dans l'onglet basique, choisir pour B les coordonnées polaires (0,85 ; 162°).
Dans le champ de saisie, il est aussi possible de taper directement A = (0 ; 0.85), puis B = (0.85 ; 162°).
Choisir l'icône polygone régulier, sélectionnez les deux sommets consécutifs A et B et saisissez le nombre 5 dans la boîte de dialogue qui s'est ouverte ; on obtient un polygone pentagone régulier de côté 1.
Figure interactive dans GeoGebraTube : pentagone régulier
1. Carré ayant deux sommets consécutifs sur le pentagone
Carré à l'intérieur du pentagone
Soit MNPQ un carré situé à l'intérieur du pentagone. Si au plus un des sommets (par exemple M) se trouve sur un côté du pentagone,
une homothétie de centre M, de rapport 1 + ε, pour ε > 0 suffisamment petit, le transforme en un carré encore intérieur au pentagone.
Le carré n'est pas maximal.
On peut donc supposer que deux sommets sont sur le pentagone.
Placer un point M sur le côté [AB], puis dans le menu contextuel de M, remplacer Point[AB] par Point[penta]. Recommencer pour le point N.
Dans le champ de saisie, il est aussi possible de taper directement M = Point[penta], puis N = Point[penta].
Soit le point M sur [AB] et N sur le côté [BC], si P et Q sont strictement à l'intérieur du pentagone, en éloignant M ou N du sommet B, on peut trouver un carré plus grand, tant que P ou Q ne sont pas sur le pentagone.
Un tel carré maximal a trois sommets sur le pentagone et la recherche peut se réorienter vers des carrés ayant deux sommets opposés situés sur le pentagone.
Figure dans GeoGebraTube : carré ayant deux sommets consécutifs sur le pentagone
2. Carré ayant deux sommets opposés sur le pentagone
Carré ayant deux sommets opposés situés sur deux côtés consécutifs du pentagone.
Soit le point M sur [AB] et P sur le côté [BC].
Figure dans GeoGebraTube : carré ayant deux sommets opposés sur deux côtés consécutifs du pentagone
Le cercle de diamètre [MP] passant par N (sens direct) est situé à l'extérieur du pentagone, le point N est à l'extérieur et le carré ne convient pas.
3. Deux sommets opposés sur des côtés non consécutifs du pentagone
Soit le point M sur [AB] et P sur le côté [DE]. Une étude rapide montre que si on choisit M proche de B (BM < a/2), alors P doit être proche de D (DP < a/2).
Figure dans GeoGebraTube : carré ayant deux sommets opposés sur deux côtés non consécutifs du pentagone
Pour aider à la recherche avec GeoGebra, on utilise l'affichage conditionnel de la couleur de remplissage du carré : soit I le centre du carré ; la droite IN rencontre le côté [BC] du pentagone en N’ ; la couleur fond du carré est dessinée lorsque N est à l'intérieur du pentagone, si IN < IN’.
Transformation par une rotation
Si les points N et P sont à l'intérieur du pentagone, on peut tracer les perpendiculaires en M à (AB) et en P à (DE). Ces perpendiculaires se coupent en J.
Une rotation de centre J, d'angle θ suffisamment petit, dans un sens ou dans l'autre, transforme ce carré en un carré strictement à l'intérieur du pentagone, qui n'est pas de taille maximale.
Figure dans GeoGebraTube : carré ayant deux sommets opposés sur deux côtés non consécutifs du pentagone - rotation
Un carré est de taille maximale si au moins trois des sommets sont situés sur le pentagone.
4. Carré inscrit dans le pentagone
Si trois des sommets du carré (distincts des sommets du pentagone) sont situés sur le pentagone alors les quatre sommets y sont et le carré est inscrit dans le pentagone :
En effet par exemple, si M est sur ]AB[, N sur ]BC[, P sur ]DE[ et Q à l'intérieur du pentagone, alors une rotation comme ci-dessus, le transforme en un carré strictement à l'intérieur du pentagone, qui n'est pas de taille maximale.
Prendre les points variables N sur [BC] et P sur [DE]. La recherche du carré est facilitée avec une figure de clôture :
la perpendiculaire en P à (NP) coupe [AE] en Q,
la perpendiculaire en Q à (PQ) coupe [AB] en M,
reporter, en N1 la longueur NP, sur la perpendiculaire en M à (MQ).
Figure dans GeoGebraTube : recherche manuelle d'un carré inscrit dans le pentagone
Dans la figure dynamique, faire coïncider N et N1 ; conclure au parallélisme de (CD) et (NP).
Un calcul d'angle démontre que le côté (CD) du pentagone est parallèle aux côtés du carré.
Construction du carré inscrit dans le pentagone
Exemple de construction avec une homothétie de centre A où le carré inscrit est l'image du carré ayant pour côté la diagonale [BE].
: Figure dans GeoGebraTube : carré inscrit dans le pentagone - Solution
Dans un pentagone de côté 1, le carré a pour côté 1,0604 et pour aire 1,124.
Traité de géométrie théorique et pratiqueà l'usage des artistes (1674)  Images de Sébastien Leclerc : Traité de géométrie théorique et pratique |
 La « pratique » de Sébastien Leclerc
donne les instructions Avait-il GeoGebra ? |
5. Carré ayant un sommet en commun avec le pentagone
5.1. Recherche
Carré AMNP à l'intérieur du pentagone.
On trace le cercle circonscrit au pentagone de centre O. Soit [M’P’] le diamètre perpendiculaire à médiane [AA’] (avec A’ milieu de [CD]).
Recherche : déplacer le point M pour trouver le carré maximal.
Figure dans GeoGebraTube : carré ayant un sommet en commun avec le pentagone - recherche
5.2. Carré maximal solution
Figure dans GeoGebraTube : carré ayant un sommet en commun avec le pentagone - solution maximale
Le carré solution est l'image du carré AM’N’P’, inscrit dans le cercle circonscrit, par une homothétie de centre A.
Ce carré est de côté 1,067 et d'aire 1,139. C'est la solution maximale.
Conclusion
Dans ce scénario la géométrie dynamique est particulièrement pertinente.
Elle libère des contraintes comme la construction du pentagone, du carré et des calculs.
Aucune connaissance préalable n'est requise, mais les déductions ne sont pas élémentaires et il ne faut pas passer à côté de la solution :
le carré de sommet A, plus grand que le carré inscrit.
Bibliographie
Lo Jacomo François – Les problèmes de l'APMEP – Bulletin vert no 383 – Avril 1992
Les calculs se trouvent dans ce bulletin qui a inspiré cette page.
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Page no 180, créée le 16/10/2011