Descartes et les Mathématiques Deux triangles inscrits dans deux cercles de rayons 1Transformation d'un triangle et de son cercle circonscrit avec les complexes |
Énoncé avec les vecteursÉtant donné trois points A, B, C et le centre O du cercle circonscrit à ABC, Le plus simple pour ce problème est d'utiliser les nombres complexes avec le logiciel GeoGebra et d'étudier le cercle circonscrit au triangle MNP. |
Énoncé avec les complexesTrois points sur le cercle unité d'affixes a, b, c ; Figure interactive dans GeoGebraTube : deux triangles inscrits dans deux cercles Le cercle circonscrit au triangle passant par les points d'affixes P(a+b), M(b+c), N(a+c) a pour centre le point I(a+b+c) {se trouve empiriquement avec GeoGebra} et a 1 pour rayon ( a pour affixe c, de module 1…). Technique GeoGebraChoisir trois curseurs de - π à π pour les arguments α, β et γ des points d'affixes a, b et c. En créant un nouveau point et en validant le nombre complexe cos(α) + i sin(α) dans le champ de saisie, on obtient le point (cos(α), sin(α)) dans la vue graphique. Nommer ce point a : confusion d'un point a et de son affixe a par GeoGebra, Enfin créer les nouveaux points d'affixes (a+b), (b+c), (a+c) puis (a+b+c) et les nommer P, M, N et I. Tracer le cercle circonscrit à MNP. |
DémonstrationOn a || = |c| = || = |a| = || = |b| = 1 ce qui prouve que le cercle de centre I et de rayon 1 est le cercle circonscrit au triangle MNP. Symétrie centraleLes triangles abc et MNP sont symétriques par rapport au point J, milieu de [OI]. En effet le point J a pour affixe (a+b+c)/2 ; Le milieu de [aM] a pour affixe [ a + (b+c)]/2, c'est donc le point J. De même J est le milieu des segments [bN] et [cP]. Les deux cercles circonscrits sont symétriques par rapport à J, ce qui donne une autre approche de ces cercles. Centres de gravitéLes points I et J sont sur la droite d'Euler (OG) du triangle abc, cette droite est aussi la droite d'Euler (IG2) du triangle MNP. Le centre de gravité G du triangle abc a pour affixe (a+b+c)/3, Figure interactive dans GeoGebraTube : deux triangles inscrits dans deux cercles - symétrie |
GénéralisationDeux cercles de rayons rIl est possible de généraliser le problème à n'importe quel triangle inscrit dans le cercle de centre O et rayon r. Les sommets ont alors pour affixe a, b et c, Le triangle de sommets les points d'affixes P(a+b), M(b+c), N(a+c) est symétrique du triangle abc par rapport à J, d'affixe (a+b+c)/2, et est inscrit dans un cercle de rayon r. Trois parallélogrammes = + : ObMc est un parallélogramme. DualitéLes triangles abc et MNP et leurs cercles circonscrits jouent des rôles symétriques : en prenant le point I comme origine, on obtient le triangle abc à partir du triangle MNP de la même façon que l'on a obtenu MNP à partir du triangle abc. Figure interactive dans GeoGebraTube : deux triangles dans deux cercles de même rayon |
La géométrie …avec GeoGebra |
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