Descartes et les Mathématiques

Point et cercle de Miquel

Quadrilatère complet avec GeoGebra. Feuille de travail dynamique.

Sommaire

Quadrilatère complet
Point de Miquel d'un quadrilatère complet
Cercle de Miquel

Quadrilatère complet - Point et cercle de Miquel

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Trapèze complet

Figure interactive dans GeoGebraTube : trapèze complet

Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. Ici l'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Dans la suite de cette page nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :,
A, B, C et D sont quatre points formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F.

Point de Miquel d'un quadrilatère complet

Les quatre cercles circonscrits aux triangles ADE, BCE, ABF et CDF, formés les sommets pris trois à trois, sont concourants en M, point de Miquel du quadrilatère complet.

Figure interactive dans GeoGebraTube : point de Miquel

Point de Miquel d'un triangle associé à une transversale

Étant donné un triangle FDC et une transversale (d), ne passant par les sommets, coupant les côtés (FD) en A, (FC) en B et (DC) en E.
Les trois cercles ADE, BCE et ABF sont sécants en un point M, point de Miquel du triangle FDC associé à la transversale (d).

Le cercle circonscrit au triangle FDC passe par le point de Miquel.

Les démonstrations se font en utilisant les angles inscrits.

Cercle de Miquel