Descartes et les Mathématiques
Pentagone régulier
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Trois constructions exactes du pentagone à la « règle et au compas ».
Feuille de travail dynamique avec GeoGebra.
Sommaire
Constructions à partir d'un sommet
1. Constructions de Ptolémée
2. Découpage des pentagones en triangles d'or et d'argent
Constructions à partir d'un côté
Angles et côtés
Angles du pentagone
L'angle au centre du pentagone régulier est de 
et l'angle intérieur de 
.
Longueur du côté et de la diagonale du pentagone régulier
Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle
circonscrit, on a montré dans la page polygones réguliers que :
a = 2 r sin 
= 
= r 
≈ 1,176 r ;
Le rapport 
est égal au nombre d'or
φ = 
: d = a φ.
d = 
= r 
≈ 1,902 r.
Figure interactive dans GeoGebraTube : pentagone régulier
Voir : aire d'un pentagone
Méthodes de construction du pentagone
Pour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas »,
on peut se donner :
• Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A (cinq premières constructions).
• Une diagonale (côté du pentagone croisé) en choisissant deux sommets
non consécutifs.
• Un côté en choisissant deux sommets consécutifs A et B.
Constructions à partir d'un sommet
Constructions à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.
Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle
à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre
de dont le cosinus est égal à 
.
Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, 
et 
est utilisé, depuis l'antiquité,
pour le tracé de sections dorées.
Le cercle de « Ptolémée » permet alors le report d'un sommet en un point U
qui partage le rayon en « moyenne raison ».
1. Constructions de Ptolémée
Ptolémée ; Alexandrie 85-165 après J.-C.
Construction à partir d'un sommet A sur un diamètre
Tracer un cercle (c1) de centre O, passant par A.
On choisira comme unité le rayon du cercle.
Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].
K est le milieu de [OA’], le cercle de « Ptolémée » (c2) de centre K
et de rayon KB’ coupe [OA] en U.
La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.
La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E
qui sont deux sommets du pentagone.
Le cercle de centre B, passant par A, recoupe c1 en C.
Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.
La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE.
[EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle.
Preuve
En effet avec OA = 1, le rayon du cercle de « Ptolémée » (c2) est :
KB’ = KU = d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O,
donc OU = − = 
et OI = .
L'angle (
, 
) a un cosinus égal à ,
c'est bien un angle de .
Figure interactive dans GeoGebraTube : construction de Ptolémée du pentagone
(Sommet A à droite)
Sommet A situé sur un rayon perpendiculaire au diamètre
Placer les points O et A, tracer le cercle c1 de centre O, passant par A.
Sur un diamètre [A’A2] perpendiculaire au rayon [OA],
placer le point K au milieu de [OA’].
Tracer le cercle de « Ptolémée » (c2) de centre K, passant par A.
Ce cercle coupe le diamètre [A’A2] en U.
Le point U partage le rayon [OA2] en « moyenne raison ».
AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone inscrit dans le cercle (c1).
Tracer le cercle (c3) de centre A, passant par U.
Ce cercle (c3) coupe
(c1) aux sommets B et E du pentagone.
Terminer la construction du pentagone par report de la longueur du côté
(dernière ouverture du compas).
Figure interactive dans GeoGebraTube : construction de Ptolémée du pentagone
(sommet A en haut)
Traité d'architecture civile et militaire, R.P. Durand - 1700
Remarque 1 : A’U = A’K + KU = + = φ.
Remarque 2 : OAB est un triangle isocèle d'angle au sommet ,
les deux autres angles étant égaux à .
Dans le triangle IAB rectangle en I, IB = AB cos = 
AB
et EB = 2 IB = AB.
Le rapport 
d'une diagonale sur le côté du pentagone convexe régulier
est égal au nombre d'or φ.
2. Découpage en triangles d'or et d'argent
Soit ABCDE un pentagone régulier de côtés de longueur 1.
Pentagone régulier
Les diagonales [AC] et [AD] partagent le pentagone en trois triangles isocèles :
deux triangles d'argent BAC et EAC de côtés de longueurs 1, 1 et φ, d'angles et 
;
un triangle d'or ACD de côtés φ, φ et 1, d'angles et .
En examinant la diagonale (CE), ce triangle d'or se décompose lui-même
en un triangle d'or AB’D
de côtés 1, 1 et φ – 1 et le triangle d'argent AB’C.
De même cette diagonale partage le triangle d'argent EAC en deux triangles d'or AEB’
et d'argent B’ED, de côtés 1 et φ – 1.
Figure interactive dans GeoGebraTube : découpage du pentagone
Pentagone croisé
Le pentagramme ACEBD, de côtés de longueur φ, se décompose
en un petit pentagone régulier A’B’C’D’E’ de côtés de longueur 
= 2 – φ ;
bordé par cinq triangles d'or, de côtés φ – 1, φ – 1 et .
En complétant le pentagone croisé par cinq triangles d'argent ; de côtés φ – 1, φ – 1 et 1 ;
on obtient le pentagone régulier ABCDE de côtés de longueur 1.
Figure interactive dans GeoGebraTube : pentacle
Un autre pentagone croisé de côtés φ – 1
Figure interactive dans GeoGebraTube : pentagramme
3. Construction d'architecte
Méthode
Dessin à partir d'un côté du pentagone :
les points de base (libres) sont deux sommets consécutifs A et B.
Simplification de la construction à partir d'un carré
en utilisant une seule perpendiculaire (AA’) et non un carré.
Construction
Tracer le cercle (c2) de centre A passant par B.
Soit A’ un des points d'intersection entre ce cercle (c2)
et la droite perpendiculaire à (AB), passant par A.
Soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I, passant par A’,
coupe la demi-droite [BA) en F.
Le cercle (c4) de centre B passant par F coupe le cercle (c2) en E.
Il coupe aussi la médiatrice de [AB] en D.
Tracer le cercle (c5) de centre D passant par E, puis (c3) de centre B, passant par A.
Seul un des points d'intersection de ces deux cercles permet d'obtenir
un polygone convexe : le point C.
ABCDE est un pentagone régulier.
Figure interactive dans GeoGebraTube : construction d'architecte du pentagone
Page no 39, réalisée le 16/8/2009
adaptée au mobile le 23/4/2018