Descartes et les Mathématiques

Le Triangle équilatéral avec GeoGebra

Travaux pratiques de géométrie avec GeoGebra. Feuille de travail dynamique.

1. Construction à la « règle et au compas »

Collège : classes de sixième et cinquième

Placer A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A,
construire C, un des points d'intersection des deux cercles,
terminer en traçant les segments [BC] et [AC].

Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle équilatéral

Voir : construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie dans les Éléments d'Euclide

2. Deux cercles de même rayon - Deux triangles équilatéraux symétriques

Construction de deux triangles équilatéraux symétriques, avec deux cercles de même rayon.

Reproduire cette figure en traçant deux cercles de centres A et B, et de rayon AB.

Que peut-on dire des triangles ABC et ABD ?
Que peut-on dire du quadrilatère ACBD ?

Quels sont les axes de symétrie ?

Montrer que la droite (CD) est la médiatrice de [AB].

Les triangles ABC et ABD sont équilatéraux.
ACBD est un losange.

Figure interactive dans GeoGebraTube : deux triangles équilatéraux symétriques

Retrouver cette figure avec GéoPlan, voir : triangle équilatéral
construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie dans les Éléments d'Euclide

3. Quadrature du triangle équilatéral

Construire, à la règle et au compas, un carré ayant la même aire que le triangle équilatéral.

Soit ABC un triangle équilatéral. Notons I le milieu du segment [BC] et J le milieu de [BC].

La médiatrice (AI) de [BC] partage le triangle en deux triangles rectangles de même aire.

La symétrie de centre J transforme le triangle rectangle AIB en BKA.
Le triangle équilatéral ABC et rectangle AIBK, formés par deux triangles rectangles isométriques, ont même aire.

Il s'agit donc, avec une figure d'Euclide, de construire un carré de même aire que ce rectangle.

Pour cela, nous allons utiliser le théorème de la hauteur dans le triangle rectangle KHD, rectangle en H, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [KD].
Si B le pied de la hauteur issue de H, alors BH² = BK × BD.

En l'interprétant de manière géométrique, cette relation permet de construire un carré de côté [BH] de même aire qu’un rectangle de côtés [BK] et [BD].

Sur la longueur (KB), on reporte la largeur du rectangle en D et on trace le demi-cercle qui admet ce côté prolongé [KD] pour diamètre.
L'intersection du prolongement de la largeur, le long de (BI), avec ce cercle définit la hauteur [BH], l'un des côtés du carré BHGF.

Le carré BHGF a même aire que le triangle équilatéral ABC (ainsi que le rectangle AIBK).

On retrouve bien le calcul de l'aire du triangle équilatéral :

A = BK × BD = a × a = a².

Figure interactive dans GeoGebraTube : quadrature du triangle équilatéral

Il est possible de remplacer le triangle équilatéral par un triangle isocèle en A.

Page n^o 62, créée le 8/12/2011
mise à jour le 5/8/2014