Épreuve pratique de terminale S suppriméeSujets 2009 de géométrie plane avec GeoGebra L'épreuve pratique de géométrie avec GeoGebra. Feuille de travail dynamique. | ||||||||||||||||||
Sommaire24. Étude d'une courbe de Bézier | Version classique non interactive | |||||||||||||||||
Avec GéoPlan |
Épreuve pratique |
Épreuve pratique |
||||||||||||||||
Cette année 2009, presque plus de géométrie plane ; seulement deux sujets sur les similitudes | ||||||||||||||||||
24. Étude d'une courbe de BézierÉnoncé Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O, Le but de l'exercice est d'étudier le lieu des points M quand t décrit l'intervalle [0 ; 1], et la position de cet ensemble par rapport aux droites (AB) et (BC). Partie A 1. Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique. Partie B 4. Déterminer en fonction de t les coordonnées des points G, H et M. Production demandée • Visualisation du lieu du point M. Technique GeoGebra Le barycentre G des deux points pondérés (A, α) et (B, β), Pour garder la trace du point M, cocher l'option « activer le mode trace » dans le menu contextuel de M et déplacer le curseur de t. | ||||||||||||||||||
Indications 2. Les droites semblent tangentes à la courbe. 3. Le point M se déplace sur la parabole d'équation Avec GeoGebra, cocher la case de f pour afficher le graphe. 4. D'après la fonction vectorielle de Leibniz 5. On a donc t = x/4 et y = f’(x) =
| ||||||||||||||||||
65. Distance minimale d'un point à une courbeÉnoncé Dans un repère orthonormal d'origine O, on considère la courbe C représentative de la fonction logarithme népérien. Partie A 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, faire une figure permettant d'explorer cette situation. 2. Cette distance semble-t-elle minimale pour un (ou plusieurs) point(s) particulier(s) de C ? Si oui donner une valeur approchée à 10– 2 près de cette plus petite distance et de l'abscisse de ce(s) point(s). 3. Tracer la droite (OM) ainsi que la tangente en M à la courbe C. Que semble-t-il se passer Partie B 4. Quelle relation doit vérifier l'abscisse x0 d'un point M0 en lequel la distance OM est minimale ? 5. Prouver la conjecture élaborée dans la question 3. Production demandée – Les différentes étapes des stratégies prévues pour répondre aux questions 4. et 5.
| ||||||||||||||||||
Indications 2. x0 ≈ 0,43. 3. La droite OM0 semble perpendiculaire à la tangente (d). 4. Le produit des coefficients directeurs, ex / x pour OM et ex pour (d), est égal à −1, d'où l'équation e2x = − x et la solution approchée 5. Pour cette démonstration, basée sur la convexité de la courbe exponentielle, s'inspirer du même exercice proposé en 2008.
| ||||||||||||||||||
69. Intersection de tangentesÉnoncé On considère les fonctions f et g définies sur R par : Pour tout réel a, on note : On souhaite étudier le lieu géométrique L du point M lorsque a varie dans R. Partie A 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique : 2. Tracer le lieu L du point M. Ce point semble appartenir à la courbe représentative E d'une fonction connue, quelle est cette fonction ? Comment peut-on vérifier cette conjecture ? Partie B 3. Démontrer que L fait effectivement partie de E. Que dire de plus ? Production demandée
| ||||||||||||||||||
Indications 1. Pour l'étude du lieu, on se limite avec GeoGebra à l'intervalle [−5 ; 5]. En déplaçant a, on trouve les valeurs suivantes :
(c) En observant le tableau de valeurs de a, on trouve la relation xM = a + 1. 2. Le point M semble appartenir à la courbe représentative E de la fonction exponentielle. On peut vérifier cette conjecture en traçant avec GeoGebra la fonction e(x) = ex. 3. Un calcul de dérivée permet de trouver que f’(x) = g(x) et que g’(x) = f(x), d'où les coefficients directeurs g(a) et f(a) des tangentes TA et TB. La tangente TA a pour équation y − f(a) = f’(a)(x − a) d'où : y − f(a) = g(a)(x − a). Résoudre ce système en éliminant y entre ces deux équations. En simplifiant par f(a) − g(a) on trouve x = a + 1. On peut dire en plus que L = E car tous les points de E sont atteints : en effet quel que soit M dans E d'abscisse xM, M est le point d'intersection des tangentes aux points A et B d'abscisse xM − 1.
| ||||||||||||||||||
Alignement avec un point et son transformé dans une similitudeUn point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c1). Figure GeoGebra La similitude est la composée d'une rotation de centre A suivie d'une homothétie de centre A et de rapport r2/r1. M a pour image M1 par la rotation, M1a pour image M’ par l'homothétie. Démonstration Calculer l'angle ( Les angles inscrits sont égaux à la moitié de l'angle au centre : Dans la similitude A est point fixe, O1 a pour image O2, M a pour image M’, par conservation des angles on a (
Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième, cas particulier de cercles de même rayon, voir : rotation en seconde. | ||||||||||||||||||
76. Recherche d'un point fixeSituation Énoncé Dans le plan complexe orienté, on considère un triangle OO’A de sens direct, rectangle en O. On considère M un point du cercle C de centre O et passant par A. On désigne par S la similitude directe de centre A qui transforme O en O’ et on désigne par M’ le point image de M par la similitude S. On cherche à prouver que la droite (MM’) passe par un point fixe. 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie plane, construire la figure associée à la situation décrite ci-dessus. 2. Construire l'image C’ du cercle C par la similitude S. Caractériser cet ensemble C’. 3. Quelle conjecture peut-on émettre pour la droite (MM’) lorsque M décrit le cercle C ? 4. On pose S(B) = B’. Quelle propriété relative est vérifiée par les triangles ABB’ et AOO’ ? 5. Positionner le point M afin que le point B soit entre les points M et M’. 6. Donner des arguments mathématiques permettant de prouver que les points M, B et M’ sont alignés. Production demandée
Figure GeoGebra La " similitude " est la composée d'une rotation de centre A suivie d'une homothétie de centre A et de rapport r2/r1. M a pour image M1 par la rotation, M1a pour image M’ par l'homothétie. Indications 2. A est le point fixe de la similitude. L'image du cercle C de centre O et passant par A est le cercle C’ de centre O’ et passant par A. 3. Les points M, B et M’ sont alignés. 4. Les triangles ABB’ et AOO’ sont semblables par définition de la similitude. Comme AB est le double de AO, AB est le double AO’, [AB’] est un diamètre de (C’) et (BB’), perpendiculaire au diamètre [AB] de (C), est tangente en B à ce cercle. 6. Calculons l'angle ( Les angles inscrits sont égaux à la moitié de l'angle au centre : Dans la similitude A est point fixe, O a pour image O’, M a pour image M’, par conservation des angles on a (
Compétences évaluées | ||||||||||||||||||
81. Aire variable d'un triangleSituation Énoncé Soit un repère orthonormal (O, Partie A 1. Construire la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. 2. Afficher à l'écran l'aire du triangle OAB. 3. Pour tout a dans l'intervalle [0; 1], on note f (a) l'aire du triangle OAB. Construire l'ensemble des points M(a ; f(a)). Partie B 4. (a) Déterminer l'expression de f(a) en fonction de a. Production demandée
Compétences évaluées
Compétences mathématiques
| ||||||||||||||||||
Technique GeoGebra Placer les points O et P(1, 0). Sur le segment [OP], placer le point N et nommer a le segment [ON]. La fonction g(x) = ex − 1 sur l'intervalle [0, 1] est définie par Fonction[e^x − 1, 0, 1]. L'aire f du triangle est définie par Aire[O, A, B]. Pour rendre lisible le graphe de f des points M(a ; f(a)) on le décale et on le dilate par (a + 1.2, 10 f) et on trace le lieu du point M avec N comme pilote.
| ||||||||||||||||||
83. Optimisation en géométrie planeSituation Énoncé Dans un repère orthonormal du plan, on considère la courbe représentative C de la fonction x → ex et la droite D d'équation y = 2x − 3. Partie A 1. Utiliser un logiciel de géométrie pour construire la droite D et la courbe C. 2. Placer un point mobile M sur C et construire le point N image de M par la projection orthogonale sur D. 3. Conjecturer, au moyen du logiciel, l'abscisse du point M0 de C dont la distance à D est minimale. Partie B 4. Élaborer une méthode permettant de démontrer ces conjectures. 5. Calculer les coordonnées de M0 et sa distance à D. Production demandée
| ||||||||||||||||||
Technique GeoGebra Déplacer le point P, dans l'intervalle [P2P1], ce qui détermine l'abscisse a de M. Pour tracer le projeté orthogonal N de M sur D, tracer le symétrique M’ de M par rapport à D, N est alors le milieu de [MM’]. Indications 3. La distance minimale est obtenue pour un point d'abscisse x0 ≈ 0,69. 4. La démonstration, basée sur la propriété de la convexité de la courbe exponentielle, est analogue à celle utilisée dans distance d'une courbe à un point. 5. La pente de la tangente t est égale à 2, coefficient directeur de la droite D, donc ex = 2 soit x0 = ln(2) et M0 a pour coordonnées (ln(2), 2). Rappel de cours de 1ère S : la distance d'un point M(x0, y0) à la droite d'équation ax +by + c = 0 est égale à Pour le point M0(ln(2), 2) et la droite D d'équation 2x − y − 3 = 0, on a donc une distance minimale de
Compétences évaluées
Compétences mathématiques
| ||||||||||||||||||
91. Propriétés de la courbe représentative d'une fonctionÉnoncé Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = − x + 1. Construire la figure à l'aide d'un logiciel de votre choix. 2. Faire varier a et émettre des conjectures concernant respectivement :
3. On se propose d'étudier les conjectures émises à la question précédente. Production demandée
| ||||||||||||||||||
Indications La droite (MN) a une direction fixe (coefficient directeur −1).
| ||||||||||||||||||
128. Étude de la courbe représentative d'une fonctionÉnoncé On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0; 1] par f(x) = (1 – 1. (a) Représenter la courbe C à l'aide d'un outil de géométrie dynamique. 2. (a) Placer un point M sur la courbe C, puis construire le point M’ symétrique de M par rapport à la droite D d'équation y = x. 3. (a) Pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; 1], exprimer f ° f (x) en fonction de x. Production demandée – Réalisation du graphique et construction pour observation du lieu du point M’. | ||||||||||||||||||
Indications 1. (b) Pour tout x appartenant à [0; 1], g(x) = x. 2. (b) Lorsque M décrit la courbe C, le lieu de M’ est la courbe C. 3. (a) Pour tout x appartenant à [0; 1], f ° f(x) = (1 – f ° f = Id ; f – 1 = f. La courbe C est symétrique par rapport à la droite D.
| ||||||||||||||||||
131. Étude d'une figure du plan (spécialité)Situation Énoncé Soit un triangle équilatéral direct ABC et soit D un point du segment [BC]. La parallèle à la droite (AC) menée par D coupe la droite (AB) en E et la parallèle à la droite (AB) menée par D coupe la droite (AC) en F. Soit le point G, centre de gravité du triangle ABC et les points H et A’, symétriques de G et A par rapport à la droite (BC). On définit les points I et J centres de gravité respectifs des triangles BDE et CDF. On se propose d'étudier la nature du triangle HIJ quand D décrit le segment [BC]. 1. (a) Représenter la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. Appeler l'examinateur pour une vérification de la figure réalisée. 2. On définit les similitudes directes S1, de centre C, de rapport (a) Déterminer les images de J et H par f. Production demandée • Réalisation de la figure. Compétences évaluées Indications Ce problème est un cas particulier du triangle de Napoléon, lorsque le triangle BCD est dégénéré. Il était traité, grâce à une rotation, dans la page : problème du BOA. Trouver les médianes [BG] et [CG] comme lieu de points est très élémentaire ! Le point H est le centre de gravité du triangle équilatéral A’BC. 1. (b) Le triangle HIJ semble équilatéral. (c) Le point I situé sur la médiane issue de B du triangle équilatéral BDE est situé sur la médiane [BG] du triangle ABC. Avec GeoGebra, on visualise le lieu de I qui est le segment [BG] et celui de J le segment [CG], ce qui permet de préparer la question suivante. À l'issue de cette question 2.(a), on pourra affirmer que ces lieux, images du segment [BC] par les similitudes S1 et S2– 1, sont exactement les segments [GC] et [BG]. 2. (a) D'après les propriétés métriques du centre d'un triangle équilatéral, la distance de ce centre à un sommet est égale à la longueur du côté du triangle divisé par (b) La composée des similitudes S1 et S2 est une similitude de rapport le produit (c) Par la rotation f, de centre H, [HJ] a pour image [HI], donc HJ = HI et le triangle isocèle HIJ, ayant un angle de
| ||||||||||||||||||
Page no 133, créée le 16/08/2009 |