René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Parabole

Étude avec les coefficients

Parabole x²-2x - copyright Patrice Debart

Avec le logiciel GeoGebra

  • On crée trois curseurs a, b et c, les coefficients prenant des valeurs entre - 10 et 10.
  • On crée la fonction f définie par f(x) = ax2 + bx + c.
  • Calculer le nombre Δ = b2 - 4ac.
  • En modifiant la valeur des curseurs, on peut établir une classification des courbes obtenues en fonction des valeurs de a, b et c.

 

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : parabole définie par ses coefficients

Homothétie transformant deux paraboles

homothétie de 2 paraboles - copyright Patrice Debart

  • On crée trois curseurs a, b et c prenant tous des valeurs entre - 10 et 10.
  • On crée les fonctions définies par f(x) = ax2 + bx + c et g(x) = x2.
  • Modifier la valeur des curseurs a, b et c.

GéoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : parabole et homothétie

Recherche du centre d'homothétie Ω

Soit F le foyer de la parabole C1, représentative de g ; a = 1 ; p = 1/(2a) = 1/2 ; OF = p/2 = 1/(4a) = 1/4.
F’ le foyer de la parabole C2, représentative de f, SF’ = p/2 = 1/(4a) ; le paramètre p = 1/(2a).

[OF] a pour image [SF’] par l'homothétie, d'où Ω est à l'intersection de (OS) et (FF’) et le rapport k = 1/a.

L'image d'une parabole est une parabole

Paraboles et diectrices - copyright Patrice Debart

L'image d'un point M de la parabole C1 est un point M’ situé sur une courbe C2 ; montrons que C2 est une parabole.

Un point M de la parabole C1 est tel que MF = MH.

Par l'homothétie le point M a pour image M’, intersection de la droite (ΩM) avec la courbe C2.
H a pour image H’ situé sur la droite horizontale d2 passant par K’.
On a M’F’ = M’H’ : la courbe C2 est une parabole de foyer F’ et directrice d2.

GéoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : image d'une parabole par homothétie

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Parabole

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Leçons de Capes

Capes, page no 10, créée le 19/1/2009
mise à jour le 27/11/2013