Descartes et les Mathématiques
Fonctions en seconde avec GeoGebra
Capes externe de mathématiques
Un exercice menant à un problème d'optimisation :
deux cadres dans l'écran GeoGebra; le cadre de gauche pour la figure géométrique,
le cadre de droite pour une fonction permettant la recherche d'extrema.
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Mobile friendlyLa statue de la Liberté de New York
Comment varie l'angle sous lequel on voit un objet en fonction de la distance de l'observateur au pied de l'objet ?
Source : Organiser l'enseignement autour d'un PER en classe de Seconde - L'exemple des fonctions
La situation et les données
La statue de la Liberté, érigée en 1886, est haute de 46,50 m sans son socle et de 93 m avec socle.
Arrivant à New York droit sur Liberty Island, un touriste placé à l'avant d'un bateau regarde la
statue. Il a son œil placé à 5 m au-dessus de la mer.
Sous quel angle le touriste voit-il la statue de la Liberté ?
La figure ci-contre résume la situation :
pour un objet donné, on appelle l'angle de vision, l'angle sous lequel la statue est vue dans sa totalité.
Partie A : À votre avis :
1 - l'angle de vision ne varie pas quand on s'approche de la statue
2 - l'angle de vision diminue quand on s'approche de la statue
3 - l'angle de vision augmente quand on s'approche de la statue
4 - autre proposition
Partie B : La situation est représentée sur une feuille de travail GeoGebra de la manière suivante :
– la statue et son socle sont assimilés à deux segments verticaux portés par la même droite,
– l'observateur est assimilé à un segment vertical, qui représente la hauteur de son œil par rapport au niveau de la mer.
Comment varie l'angle de vision au fur et à mesure que le bateau se rapproche de la statue ?
Figure dynamique avec GeoGebra
Figure interactive de GeoGebraTube : statue de La Liberté de New York
Avec GeoGebra, déplacer le point O et trouver le maximum pour M !
Soit r le rayon du cercle circonscrit au triangle TPO. L'angle TOP est d'autant plus grand que r est petit. Le cercle de rayon minimum passe par les points T et P et est tangent à (HH1).
Technique GeoGebra
Placer les points dont les coordonnées sont citées dans la fenêtre algèbre. Par exemple, il est efficace de valider dans la ligne saisie H=(0,5)
Créer le curseur d et placer le point O(d,5) sur la droite horizontale [HH1].
Pour le graphique, placer un point M de coordonnées M=(200 + d, 500α).
Activer la trace de ce point ou bien, en sélectionnant la dernière option du menu droite, tracer le lieu de M piloté par le point O.
La solution donnée dans le script de la case à cocher
SoitValeur[d,60.43]
correspond à la valeur de d calculée dans l'image ci-dessous.
Solution
Remarquer que le cercle solution est tangent à la droite horizontale passant par H, son rayon est la longueur IH, où I est le milieu de [TP].
On trouve le centre Q de ce cercle solution comme intersection de la médiatrice de [TP] avec, par exemple, le cercle de centre T et rayon IH.
Lorsqu'on s'approche de la statue, l'angle de vision augmente, jusqu'à ce que l'on se trouve à une distance de 60,43 m.
L'angle de vision maximum est alors α = 21°.
L'angle de vision diminue ensuite quand on s'approche plus près de la statue.
Figure interactive de GeoGebraTube : statue de La Liberté de New York - Solution
Voir statue dans géométrie du cercle
La géométrie… avec GeoGebra
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Page no 190, créée le 4/4/2012
mise à jour le 6/8/2014