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Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra

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Recherche de minimum
Parabole avec GeoGebra

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Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Le plus grand triangle isocèle inscrit dans un cercle

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Optimisation d'aires

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Aire minimale de deux carrés dans un carré

Énoncé

On considère un carré ABCD de côté 4.
On place un point M, variable sur la diagonale ]AC[, et par M on trace deux parallèles aux côtés du grand carré qui le partagent en deux carrés et deux rectangles.

Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AC] pour que la somme des aires des petits carrés soit minimale.

Remarque : on retrouve cette figure dans les Éléments où Euclide montre que les deux rectangles ont même aire.
À une ou deux affinités près, cet exercice se traite dans un rectangle ou dans un parallélogramme. On obtient toujours la même conclusion :

Le minimum est atteint pour le milieu de la diagonale.

Aire minimale avec la géométrie dynamique

aire de deux carrés dans un carré - copyright Patrice Debart 2011

Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes.
  – On construit le carré ABCD et un point M sur la diagonale. On calcule la différence a des abscisses de M et de A.
  – On construit les carrés ANMP et MRCQ, GeoGebra renvoie leurs aires que l'on somme dans la variable b.
  – On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.

On peut dès lors faire varier le point M et conjecturer le minimum b = 8, pour a = 2.

Parabole avec GeoGebra

aire de deux carrés dans un carré - copyright Patrice Debart 2011

  – En déplaçant M sur toute la diagonale, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
        Pour effacer la trace du point L, cliquer sur « Réinitialiser la construction » ou appuyer simultanément sur les deux touches CTRL et F.

  – Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.
  – Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche alors la fonction (x - 2)2 + 8, ce qui permet de répondre à la question.
        En effet, ce calcul de l'aire est du second degré, avec 1 pour coefficient de x2. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.

Le lieu des points est alors,une parabole.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : aire minimale de deux carrés dans un carré

Page no 187, créée le 2/11/2011
mise à jour le 18/11/2013