Descartes et les Mathématiques
Optimisation en classe de seconde
avec GeoGebra
Mobile friendly ; sur ordinateur, version desktop
Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique,
le cadre de droite pour des fonctions permettant la recherche d'extrema.
Sommaire
Quels problèmes au lycée ?
Optimisation d'aires
Quels problèmes au lycée ?
Document d'accompagnement 2nde 2009
Deux familles de problèmes :
• type no1 : un problème se ramenant à une équation du
type f (x) = k
(fonction donnée ou non)
• type no2 : un problème d'optimisation ou du type « f (x) > k »
(résolution exacte ou approchée, graphique ou algébrique).
Dans les deux cas, toute autonomie peut être laissée pour associer
au problème une fonction.
Comment ?
• Identifier deux quantités qui varient tout en étant liées.
• Expliciter le lien entre ces deux quantités de diverses manières
(tableau de valeurs, nuage de points, courbe, formule).
• Identifier les avantages et les inconvénients de tel ou tel aspect d'une fonction
– tableau de valeurs, nuage de points, courbe, formule –
selon la question initialement posée.
Un exemple : optimisation d'aires
Une même situation pour divers problèmes
Déplacer le point M,
Appuyer sur CTRL F ou cliquer sur « Réinitialiser la construction »
pour rafraîchir l'affichage des lieux de points.
Le carré ABCD a un côté de longueur 8 cm.
M est un point du segment [AB].
On dessine comme ci-dessus dans le carré
ABCD un carré de côté [AM]
un triangle isocèle de base [MB] et dont la hauteur a même mesure
que le côté [AM] du carré.
On s'intéresse aux aires du motif constitué par le carré et le triangle :
• Problème du type no1 :
On voudrait que le motif ait une aire égale à la moitié de celle du carré ABCD.
Quelles dimensions faut-il donner au motif ?
• Problème du type no1 :
Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à l'aire du carré ? (AM = 8/3)
• Problème du type no2 :
Est-il possible de faire en sorte que l'aire du triangle soit la plus grande possible ?
Si oui préciser dans quel(s) cas ?
• Problème du type no2 : Est-il possible de faire en sorte que l'aire du triangle
soit plus grande que l'aire du carré ?
Si oui préciser dans quels cas c'est possible.
• Problème du type no2 :
Comment évolue l'aire du motif en fonction de AM ? en fonction de MB ?
Technique GeoGebra
Tracer la figure en plaçant un point M sur [AB].
Nommer a le segment [AM], s l'aire du carré AMQP et t l'aire du triangle MNB.
Pour le graphique, placer les points S et T et remplacer les coordonnées
par T(a + 10, t) et S(a + 10, s).
Activer la trace de ces points ou bien, en sélectionnant la dernière option
du menu de droite,
tracer les lieux de T et S piloté par le point M.
Figure interactive dans GeoGebraTube :
optimisation des aires d'un carré et d'un triangle
Page no 139, créée le 8/9/2009
adaptée aux mobiles le 23/4/2018