Descartes et les Mathématiques

Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra

Sur tablette numérique ou smartphone, bascule automatique vers la version mobile

Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour des fonctions permettant la recherche d'extrema.

Sommaire

Quels problèmes au lycée ?

Optimisation d'aires

Exemples de contenu « avec GéoPlan » pour l'enseignement dans la nouvelle seconde

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Le plus grand triangle isocèle inscrit dans un cercle

Quels problèmes au lycée ?

Document d'accompagnement 2^nde 2009

Deux familles de problèmes :
  • type n^o1 : un problème se ramenant à une équation du type f (x) = k (fonction donnée ou non)
  • type n^o2 : un problème d'optimisation ou du type « f (x) > k » (résolution exacte ou approchée, graphique ou algébrique).
Dans les deux cas, toute autonomie peut être laissée pour associer au problème une fonction.

Comment ?

  • Identifier deux quantités qui varient tout en étant liées.
  • Expliciter le lien entre ces deux quantités de diverses manières
    – tableau de valeurs, nuage de points, courbe, formule –
  • Identifier les avantages et les inconvénients de tel ou tel aspect d'une fonction
    – tableau de valeurs, nuage de points, courbe, formule – selon la question initialement posée.

Un exemple : optimisation d'aires

Une même situation pour divers problèmes

Déplacer le point M,
Appuyer sur CTRL F ou cliquer sur « Réinitialiser la construction »
pour rafraîchir l'affichage des lieux de points.

Le carré ABCD a un côté de longueur 8 cm.
M est un point du segment [AB]. On dessine comme ci-dessus dans le carré ABCD
un carré de côté [AM] un triangle isocèle de base [MB] et dont la hauteur a même
mesure que le côté [AM] du carré.

On s'intéresse aux aires du motif constitué par le carré et le triangle :
  • Problème du type n^o1 :
      On voudrait que le motif ait une aire égale à la moitié de celle du carré ABCD.
      Quelles dimensions faut-il donner au motif ?
  • Problème du type n^o1 :
      Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à l'aire du carré ? (AM = 8/3)
  • Problème du type n^o2 :
       Est-il possible de faire en sorte que l'aire du triangle soit la plus grande possible ?
       Si oui préciser dans quel(s) cas ?
  • Problème du type n^o2 :
      Est-il possible de faire en sorte que l'aire du triangle soit plus grande que l'aire du carré ?
      Si oui préciser dans quels cas c'est possible.
  • Problème du type n^o2 : Comment évolue l'aire du motif en fonction de AM ? en fonction de MB ?

Technique GeoGebra

Tracer la figure en plaçant un point M sur [AB].
Nommer a le segment [AM], s l'aire du carré AMQP et t l'aire du triangle MNB.

Pour le graphique, placer les points S et T et remplacer les coordonnées par T(a + 10, t) et S(a + 10, s).
Activer la trace de ces points ou bien, en sélectionnant la dernière option du menu de droite,
tracer les lieux de T et S piloté par le point M.

Figure interactive dans GeoGebraTube : optimisation des aires d'un carré et d'un triangle