Descartes et les Mathématiques
Aire minimale d'un triangle inscrit dans un rectangle
Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra
Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction permettant la recherche d'extremums.
Sommaire
Recherche de minimum
Parabole avec GeoGebra
Exemples de contenu pour l'enseignement en seconde
Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle
Énoncé
On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 et BC = 3.
On place les points M, N et P respectivement sur les segments ]AB[, ]BC[ et ]AD[ de telle sorte que les longueurs AM, BN et DP soient égales.
Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l'aire du triangle MNP, inscrit dans le rectangle, soit minimale.
Objectifs mathématiques
– Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d'optimisation.
– Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul), la notion de fonction.
– Décrire le comportement et exprimer le minimum de l'aire conjecturé
Classes de seconde et première
Objectifs informatiques
– Construire une figure et une courbe avec un logiciel de géométrie dynamique.
– Conjecturer une aire et un minimum.
Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes.
– On construit le rectangle ABCD avec A et B sur (Ox) - Le point A a pour abscisse x(A).
– Puis on définit a = 1, et on affiche le curseur a ainsi défini, en indiquant dans ses propriétés Min = 0 et Max = 3.
– Avec a = AM = BN = DP, on crée le triangle avec les points M(x(A) + a, 0), N(x(A) + 5, a) et P(x(A), 3 - a), puis on nomme b le triangle MNP, GeoGebra renvoie son aire.
– On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.
Figure interactive dans GeoGebraTube : aire minimale d'un triangle dans un rectangle
Technique GeoGebra
Placer un curseur a et tracer la figure en plaçant un point M sur [AB] de coordonnées (x(A)+a, 0). Nommer b le triangle MNP.
Pour le graphique, placer un point L et remplacer ses coordonnées par (a, b) ; il aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=(a,b).
Activer la trace de ce point ou bien, en sélectionnant la dernière option du menu droite, tracer le lieu de L piloté par le curseur a.
Conjecture
On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 3,5 pour a = 2.
Parabole avec GeoGebra
– En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
Pour effacer la trace du point L, cliquer sur « Réinitialiser la construction » ou appuyer simultanément sur les deux touches CTRL et F.
– Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.
– Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche alors la fonction (x - 2)2 + 3,5 = x2 - 4x + 7,5, ce qui permet de répondre à la question.
En effet, le calcul de l'aire est du second degré. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.
Calcul géométrique
Il est possible de vérifier ce résultat en calculant l'aire du triangle MNP par différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des triangles AMP, BNM et du trapèze CDPN.
L'aire du rectangle est A(ABCD) = 5 × 3 = 15,
les aires des triangles rectangles sont A(AMP) = 
AM × AP = a(3 - a) et A(BNM) = BM × BN = (5 - a)a.
La surface d'un trapèze CDPN a pour mesure le produit de la moyenne des bases DP et CN par la hauteur CD :
A(CDPN) = CD × [DP + CN] = 5 × [a + (3 - a)] = 
.
On a donc A(MNP) = A(ABCD) – [A(AMP) + A(BNM) + A(CDPN)] = 15 – [a(3 - a) + (5 - a)a + 15] = a2 – 4a + = (a - 2)2 + 
.
Avec GeoGebra :
Optimisation d'aires
Mobile friendly
1S - TS : problèmes d'optimisation
Page no 181, créée le 19/10/2011
modifiée le 13/10/2012