Descartes et les Mathématiques Aire minimale d'un triangle inscrit dans un rectangleOptimisation en classe de seconde avec GeoGebra Deux cadres dans l'écran GeoGebra : |
SommaireRecherche de minimum Parabole avec GeoGebra |
ÉnoncéOn considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 et BC = 3. Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l'aire du triangle MNP, inscrit dans le rectangle, soit minimale. |
Classes de seconde et première Objectifs mathématiques – Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d'optimisation. Objectifs informatiques – Construire une figure et une courbe avec un logiciel de géométrie dynamique. Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes. Figure interactive dans GeoGebraTube : aire minimale d'un triangle dans un rectangle |
Technique GeoGebraPlacer un curseur a et tracer la figure en plaçant un point M sur [AB] de coordonnées (x(A)+a, 0). Nommer b le triangle MNP. Pour le graphique, placer un point L et remplacer ses coordonnées par (a, b) ; il aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=(a,b). Conjecture On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 3,5 pour a = 2. |
Parabole avec GeoGebra– En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole. – Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire. |
Calcul géométriqueIl est possible de vérifier ce résultat en calculant l'aire du triangle MNP L'aire du rectangle est A(ABCD) = 5 × 3 = 15, On a donc A(MNP) = A(ABCD) – [A(AMP) + A(BNM) + A(CDPN)] = 15 – [a(3 - a) + (5 - a)a + 15] = a2 – 4a + = (a - 2)2 + . |
Exemples de contenu pour l'enseignement en seconde Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle Le plus grand triangle isocèle inscrit dans un cercle Avec GeoGebra : Optimisation d'aires 1S - TS : problèmes d'optimisation |
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