Aire délimitée par un périmètre de baignade
Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra
Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction permettant la recherche d'extremums.
Aire d'un plan de baignade
Recherche de maximum
Parabole avec GeoGebra
Exemples de contenu pour l'enseignement en seconde
Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle
Avec GeoGebra :
Optimisation d'aires
Mobile friendly
Culture mathématique
De tous les rectangles de périmètre donné, celui qui a l'aire maximum est le carré.
De toutes les figures de périmètre donné, celle qui a l'aire maximum est le disque (problème de Didon).
Aire délimitée par un périmètre de baignade
Énoncé
Il dispose d'une ligne de flottaison BCDA de 40 m de long, en forme de U, avec deux bouées C st D.
Elle borde un bain rectangulaire ABCD de largeur a = AB
Il s'agit de déterminer a pour que l'aire du rectangle ABCD soit maximale.
Objectifs mathématiques
– Expérimenter, conjecturer et démontrer un problème d'optimisation.
– Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul), la notion de fonction.
– Décrire le comportement et exprimer le maximum de l'aire conjecturé
Classe de seconde
Objectifs informatiques
– Construire une figure et une courbe avec un logiciel de géométrie dynamique.
– Conjecturer une aire et un maximum.
Technique GeoGebra
Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes
(dans les propriétés du graphique, on pourra ajuster les valeurs xmin = -42 ; xmax = 22 ; ymin = -5 : ymax = 205).
– On définit a = 5, ce qui permet de définir un curseur a et, dans ses propriétés, on indique Min = 0 et Max = 20.
– On construit le rectangle ABCD avec les points A et B sur (Ox) - Les points C et D ont pour ordonnée a
On peut choisir A:(a-40,0) ; B:(-a,0) ; C:(-a, a) ; D:(a-40, a).
– On nomme b le rectangle ABCD, GeoGebra renvoie son aire.
– On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace ;
il est aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=(a,b).
Figure interactive dans GeoGebraTube : Aire délimitée par un périmètre de baignade
Conjecture
On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 200 pour a = 10.
Parabole avec GeoGebra
– En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
– Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction f(x) = - 2 x^2, et l'«amener » sur la trace par trouver la fonction f représentant l'aire.
– Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche la fonction -2(x - 10)2 + 200.
Justifier ce calcul de l'aire. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.
Page no 182, créée le 19/10/2011
mise à jour le 4/8/2014