Descartes et les Mathématiques

La géométrie du triangle

Droites remarquables

Droites concourantes du triangle, images avec GeoGebra.

Sommaire

1. Médianes

2. Bissectrices

3. Médiatrices

4. Hauteurs et symétriques de l'orthocentre

Cévienne

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet :
    – les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes,
    – les médiatrices ne sont pas des céviennes.

1.a. Médiane

de : Seitenhalbierende

Les médianes d'un triangle sont les segments joignant les sommets aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Dans un triangle isocèle, la médiane relative à la base est axe de symétrie du triangle et les deux autres médianes sont de longueur égale.
Réciproquement, si dans un triangle deux médianes sont de même longueur, le triangle est isocèle.

Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Réciproquement, si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.

Les médianes d'un quadrilatère sont les segments joignant les milieux des côtés opposés. Les deux médianes sont concourantes au centre de gravité du quadrilatère, situé au milieu de chaque médiane, car elles sont les diagonales du parallélogramme de Varignon.

Voir : Le barycentre

Les médianes d'un tétraèdre sont les segments reliant les sommets au centre de gravité de la face opposée.

Les quatre médianes sont concourantes au centre de gravité du tétraèdre, situé aux , à partir du sommet, de chaque médiane.

Voir : Le barycentre

Bimédiane
Dans un tétraèdre, on appelle bimédianes les droites passant par les milieux de deux arêtes opposées.
Les trois bimédianes sont concourantes au centre de gravité.

Figures 3D dans GeoGebraTube : bimédianes d'un tétraèdre

1.b. Médianes et centre de gravité

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés.

Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Partager un triangle en 6 triangles d'aires égales
Les trois médianes d'un triangle le partagent en six petits triangles de même aire.

Partager un triangle en 3 triangles d'aires égales
Les trois triangles GAB, GBC et GAC sont de même aire.

Figure interactive dans GeoGebraTube : médianes d'un triangle

Partager un triangle en triangles d'aires égales

2. Bissectrices

Point de concours des bissectrices d'un triangle

Soit t_A, t_B et t_C les pieds des bissectrices, intersections des bissectrices intérieures avec les côtés du triangle.

Les trois bissectrices (At_A), (Bt_B), (Ct_C) d'un triangle ABC sont concourantes en I, centre du cercle inscrit (c).

Le cercle (c) est tangent intérieurement aux trois côtés du triangle en i_A, i_B et i_C.

Le triangle i_Ai_Bi_C s'appelle le triangle de Gergonne ou triangle de contact du triangle ABC.

en : contact triangle

Figure interactive dans GeoGebraTube : cercle inscrit dans un triangle

3.a. Médiatrice

en : perpendicular bisector

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu.
C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment et réciproquement.

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

Rectangle ou carré : ces quadrilatères ont pour axes de symétrie les médiatrices (qui sont aussi les médianes) des côtés.

Le mot « médiatrice » ne date que 1925, date à laquelle il a été adopté par l'assemblée générale de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Secondaire.

Figure interactive dans GeoGebraTube : construction de la médiatrice au compas

3.b Médiatrices

en : perpendicular bisector

Accompagnement du programme de 5^e

Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

les points A’, B’ et C’ sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.

Remarques :

• Un triangle est acutangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'intérieur du triangle
• Un triangle est obtusangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'extérieur du triangle

Figure interactive dans GeoGebraTube : médiatrices d'un triangle

Barycentre

Le point O est le barycentre de [A, sin(2Â)] ; [B, sin(2B)] ; [C, sin(2C)].
Avec la relation vectorielle d'Euler = + + , on trouve aussi que O est le barycentre de [A, tan(B)+tan(C)] ; [B, tan(Â)+tan(C)] ; [C, tan(Â)+tan(B)].

Voir : relation d'Euler (théorème d'Euler)

Application : construction géométrique du centre d'un cercle

Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle ABC), retrouver le centre de ce cercle.

Construction d'Euclide

Tracer les médiatrices de deux cordes du cercle :

Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner deux médiatrices (d₁) et (d₂) de [AB] et [BC].

Le centre est le point O, point d'intersection de ces deux médiatrices.

Figure interactive dans GeoGebraTube : centre d'un cercle

Remarque : avec la troisième option du « menu point » : « milieu ou centre », GeoGebra permet de tracer directement ce centre d'un cercle.

Construction avec la règle à bords parallèles

Problème de Napoléon : construction au compas seul

4. Hauteurs et symétriques de l'orthocentre

en : symmetrical of the orthocentre

Notations
H est l'orthocentre du triangle ABC ;
A', B', C' ; les milieux des cotés ;
h_A, h_B, h_C les pieds des hauteurs.

Symétriques de l'orthocentre

Les intersections f_A, f_B, f_C des hauteurs avec le cercle circonscrit sont les symétriques de H par rapport aux côtés du triangle.

Les symétriques s_A, s_B, s_C de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés se trouvent sur le cercle circonscrit.

Figure interactive dans GeoGebraTube : symétriques de l'orthocentre

Démonstration : droite d'Euler

Construire un triangle à partir de l'orthocentre

Soit ABC un triangle acutangle. Soit H l'orthocentre du triangle ABC.
Soient h_A, h_B et h_C' les pieds respectifs des hauteurs [HA], [HB] et [HC].

Sachant que Hh_A = 3, Hh_B = 2 et Hh_C= 1, déterminer les longueurs des côtés AB, AC et BC.

Figure interactive dans GeoGebraTube : construire un triangle à partir de l'orthocentre