René Descartes GeoGebra Descartes et les Mathématiques

La géométrie du triangle - Droites remarquables avec GeoGebra

Droites concourantes du triangle, feuille de travail dynamique.

Sommaire

1. Médianes
2. Bissectrices
3. Médiatrices
4. Hauteurs et symétriques de l'orthocentre

Cévienne

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet :
– les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes,
– les médiatrices ne sont pas des céviennes.

1. Médianes et centre de gravité

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés.

Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Partager un triangle en 6 triangles d'aires égales
Les trois médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles de même aire.

Partager un triangle en 3 triangles d'aires égales
Les trois triangles GAB, GBC et GAC sont de même aire.

Figure interactive dans GeoGebraTube : médianes d'un triangle

Partager un triangle en triangles d'aires égales

2. Bissectrices

Point de concours des bissectrices d'un triangle

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en un même point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Figure interactive dans GeoGebraTube : cercle inscrit dans un triangle

3. Médiatrices

en : perpendicular bisector

Accompagnement du programme de 5^e

Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

les points A’, B’ et C’ sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.

Figure interactive dans GeoGebraTube : médiatrices d'un triangle

Construire un triangle connaissant ses médiatrices

Remarques :

Un triangle est acutangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'intérieur du triangle
Un triangle est obtusangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'extérieur du triangle

Barycentre

Le point O est le barycentre de [A, sin(2Â)] ; [B, sin(2B)] ; [C, sin(2C)].
Avec la relation vectorielle d'Euler = + + ,
on trouve aussi que O est le barycentre des points pondérés
[A, tan(B)+tan(C)] ; [B, tan(Â)+tan(C)] ; [C, tan(Â)+tan(B)].

Voir : quatre relations d'Euler

Application : construction géométrique du centre d'un cercle

Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle ABC), retrouver le centre de ce cercle.

Construction d'Euclide

Tracer les médiatrices de deux cordes du cercle :

Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner deux médiatrices (d₁) et (d₂) de [AB] et [BC].

Le centre est le point O, point d'intersection de ces deux médiatrices.

Figure interactive dans GeoGebraTube : centre d'un cercle

Remarque : avec la troisième option du « menu point » : « milieu ou centre », GeoGebra permet de tracer directement ce centre d'un cercle.

Construction avec la règle à bords parallèles
Problème de Napoléon : construction au compas seul

4. Hauteurs et symétriques de l'orthocentre

en : symmetrical of the orthocentre

Les symétriques A₁, B₁ et C₁ de H par rapport aux milieux des côtés du triangle se trouvent sur le cercle circonscrit.
Les symétriques A₂, B₂ et C₂ de l'orthocentre, par rapport aux côtés du triangle, se trouvent sur le cercle circonscrit.

Figure interactive dans GeoGebraTube : symétriques de l'orthocentre