René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Les coniques du problème de Pappus avec GeoGebra

Le problème de Pappus dans la Géométrie (version classique)

La Géométrie - Livre second – texte et notes pour mobiles

De la nature des lignes courbes

La méthode des tangentes

Ovales de Descartes

Livre troisième – texte et notes pour mobiles

Les équations

La racine cubique

Problème de Pappus à quatre droites

la Géométrie de Descartes - le problème de Pappus

GeoGebra Version interactive

La Géométrie
Livre premier

Note sur le Problème de Pappus

1. Le problème de Pappus « à quatre droites »

Le problème de Pappus « à quatre droites » est la recherche du lieu géométrique d'un point C tel que le produit des distances de C à deux d'entre elles soit égal au produit des distances de C aux deux autres droites.

Descartes utilise des rapports de similitude plutôt que des distances et cherche le lieu du point C dont les segments menés de ce point à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux.

Étant donné les quatre droites (AB), (EF), (AD) et (GH), le problème de Pappus, est de trouver le lieu géométrique des points C dont les segments (en pointillés sur la figure ci-dessus) menés de ce point C à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux.

Le lieu de Pappus est alors l'ensemble des points C tel que CB × CF = CD × CH.

2. Solution du problème de Pappus « à quatre droites »

Dans la page des figures de Pappus, nous avons fait, avec GéoPlan, les figures des calculs de Descartes.
Ici, avec GeoGebra nous ferons des projections orthogonales et nous utilisons un repère orthonormé, d'origine A, où nous respectons les notations modernes.

Descartes exprime les longueurs des segments en fonction de deux inconnues x et y et en liaison avec la notion moderne de « distance d'un point à une droite donnée par son équation ».
La droite (AB) est choisie comme axe des abscisses, AB comme abscisse et CB comme ordonnée,
puis les trois droites (EF), (AD) et (GH), données de position par rapport à la première, ont pour équations ax + by + c = 0, dx + ey = 0 et fx + gy + h = 0 (avec a2 + b2 = 1 ; d2 + e2 = 1 ; f2 + g2 = 1).

Pour un point C(x, y), nous utilisons les mesures algébriques des projections orthogonales :

x = mes(AB), y = mes(CB), mes(CF) = ax + by + c, mes(CD) = dx + ey et mes(CH) = fx + gy + h.

Le lieu des points C tel que CB × CF = CD × CH est celui des points tel que mes(CB) × mes(CF) = ± mes(CD) × mes(CH).

D'où deux équations du second degré y × (ax + by + c) = ± (dx + ey) × (fx + gy + h) qui sont celles des deux coniques du lieu.

Ces coniques passent par quatre points situés aux intersections des droites : les points A et G, et les points P et Q situés sur la droite (ES).

Une des deux courbes a été oubliée dans les calculs de Descartes.

Solution générale

la Géométrie de Descartes - coniques solution du pb de Pappus - avec Geogebra - copyright Patrice Debart 2010

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : problème de Pappus

Cercle solution du problème à 4 droites

la Géométrie de Descartes - cercle solution du pb de Pappus - avec Geogebra- copyright Patrice Debart 2010

Cas où le coefficient de xy, dans l'équation de la conique, est nul.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercle solution du problème de Pappus

g2w Voir aussi les calculs de Descartes dans les figures de Pappus avec GéoPlan

Parabole solution du problème à quatre droites

la Géométrie de Descartes - parabole solution du pb de Pappus - avec Geogebra- copyright Patrice Debart 2010

Cas où le coefficient de y2 est nul.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : parabole du problème de Pappus

g2w Voir aussi les calculs de Descartes dans les figures de Pappus avec GéoPlan

Conique de Pappus passant par un point donné

la Géométrie de Descartes - conique de Pappus passant par un point donné - copyright Patrice Debart 2010

Par tout point C du plan, il est possible de construire une conique (ou deux droites) passant par C, solution du problème de Pappus.

 

Remarque :

Pour tout point C on a le rapport
λ = (CB × CF) /(CD ×CH).

La conique de Pappus passant par C est le lieu des points M tels que :
(MB × MF) /(MD × MH) = λ (où B, F, D et H sont les projections de M).

En inversant le sens, une deuxième conique complète le lieu des points M tels que :
(MB × MF) /(MD × MH) = λ.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : conique de Pappus passant par un point


g2w Cette page avec GéoPlan

GeoGebra Version interactive

La Géométrie
Livre premier

La Géométrie
Livre deuxième

Œuvres de Pappus

Théorème de Pappus : plan projectif

Petit théorème de Pappus

Parallélogramme de Pappus : homothétie

Démonstration de Pappus du théorème de Pythagore

Mot

Page mobile friendly Mobile friendly

eur de recherche - Glossaire

Logo Google 

Publimath Publimath : problème de Pappus

Page no 23, réalisée le 28/10/2010
mise à jour le 29/11/2013