Descartes et les Mathématiques

Courbes de poursuite
Les quatre chiens

Simulation de processus dynamiques : création itérative en 1^ère S.

Sommaire

1. Problème des quatre chiens

2. Figures itératives : carrés gigognes

3. Étude d'une suite tendant vers 0

4. Figures itératives : polygones réguliers

a. triangles gigognes

b. pentagones gigognes

5. Retour sur les carrés emboîtés

Étude d'une suite tendant vers 1

6. Courbes du chien

Les problèmes des chiens sont des problèmes de poursuite et
d'interception, dans lesquels on cherche les trajectoires et
les points de rencontre de chiens, placés initialement aux
coins d'un polygone régulier.

1. Figures géométriques et concept de limite

Courbe de poursuite

C'est Léonard de Vinci qui étudia le premier les problèmes de poursuite.
Ce sont des problèmes idéaux pour les ordinateurs, qui se décrivent
facilement à l'aide d'algorithmes simples.

Peut être l'objet d'un chapitre d'une leçon, hors sujet, de l'agrégation
(que j'ai raté trois fois !).

Énoncé
Quatre chiens, quatre mouches, quatre scarabées, quatre lièvres,
quatre tortues ou quatre souris (pour les anglophones :
four mice problem ; four bugs, four spiders…) :
moult versions pour un même problème…

On suppose que quatre chiens identiques « au sens mathématique
du terme » sont situés aux quatre sommets d'un carré ABCD.

Le chien A se met à courir en direction du chien B, qui lui-même
court en direction du chien C, le chien C vers le chien D
et le chien D vers le chien A.

La vitesse des chiens est constante en norme. Au fur à mesure
des déplacements les chiens parcourent des segments de droite
et modifient leurs trajectoires pour rester en direction de leur cible.

Ce problème, important en balistique pour l'étude de la poursuite
de missiles, a été étudié au XIX^e siècle et nous allons le simuler
avec le logiciel.
Ne pas confondre cette application des suites à la géométrie avec
les suites géométriques, étudiées en analyse.

Situation
A chaque déplacement une fraction k de la longueur du côté du
carré est parcourue.
Étant donné un nombre k compris entre 0 et 1, on considère la

suite des carrés obtenus à partir d'un premier carré A₀B₀C₀D₀

par l'algorithme suivant : le carré numéro n + 1 est obtenu à
partie du carré numéro n en plaçant dans le repère (A_n, A_nB_n)

le point A_n+1 d'abscisse k et en faisant de même pour les trois autres côtés.

2. Figures itératives : carrés gigognes

Première figure itérative

Résultat de l'itération

Les chiens tracent quatre spirales logarithmiques dont le centre
est celui du carré et de longueur égale au côté du carré.

3. Calculs

Associons à ce problème la suite a des
mesures des côtés des carrés a_n = A_nB_n

Choisissons comme unité de longueur A₀B₀,
le côté du premier carré, soit a₀ = 1.

Cas particulier k =

Dans le triangle rectangle A₁B₀B₁ d'après la propriété de Pythagore, on a  :
A₁B₁² = A₁B₀² + B₀B₁² = = .

a₁ = A₁B₁ = , a₂ = A₂B₂ = .
La suite (a_n) des longueurs des côtés des carrés est une suite
géométrique de premier terme a₀ = 1 et de raison λ = .

Les aires des carrés sont s₀ = 1, s₁ = , s₂ = … ;
(s_n) est une suite géométrique de premier terme s₀ = 1 et de raison .

Le chien situé en A parcourt les longueurs
b₀ = A₀A₁ = , b₁ = A₁A₂ = , b₂ = A₂A₃ = …

La trajectoire parcourue par le chien A est la ligne polygonale
A₀A₁A₂A₃ … A_n-1A_n. Elle a pour longueur :
t_n = b₀ + b₁ + b₂ + … + b_n-1 =
somme des n premiers termes d'une suite géométrique b_n de premier
terme b₀ = et de raison λ = .
Cette somme est égale à = .

Comme λ est compris entre 0 et 1, lorsque n tend vers +∞, λⁿ tend vers 0,
la limite est égale à = ≈ 1,19 ;
c'est la longueur d'une trajectoire.

Cas général

Dans le triangle rectangle A₁B₀B₁, d'après la propriété de Pythagore, on a :
A₁B₁² = A₁B₀² + B₀B₁² = (1 –k)² + k² = 1 - 2k + 2k².

La suite (a_n) des côtés des carrés est une suite géométrique
de premier terme a₀ = 1
et de raison λ = .

La suite (s_n) des aires des carrés est une suite géométrique
de premier terme s₀ = 1 et de raison 1 - 2k + 2k².

La ligne polygonale A₀A₁A₂A₃ … A_n-1A_n parcourue par le
chien A a pour longueur t_n = b₀ + b₁ + b₂ + … + b_n-1 somme
des n premiers termes d'une suite géométrique de premier
terme k et de raison λ = . Cette somme est t_n = k.

Comme λ est compris entre 0 et 1, lorsque n tend vers +∞,
λⁿ tend vers 0, la limite est égale à :
l_k = k = .
Cette limite représente la longueur d'une trajectoire.

Approximation de l_k

Le chemin idéal où le chien modifie sa trajectoire à tout instant
correspond au cas où k tend vers 0.

Pour calculer la limite de l_k lorsque k tend vers 0, nous connaissons
en 1^ère S, lorsque x est « petit », les approximations affines :
≈ 1 + et ≈ 1 + x.

Ici nous devons développer la racine à l'ordre 2, avec par exemple
sur la TI-92 la fonction taylor(√(1+x),x,2),
et utiliser ≈ 1 + - . En remplaçant x par - 2k + 2k²
et en négligeant les termes supérieurs au degré 2 {ou directement
sur la TI-92 avec la fonction taylor(√(1-2*k+2*k^2),k,2)}
on obtient ≈ 1 - k + .

Donc,
l_k = ≈
                ≈ ≈ ≈ 1 +

Lorsque k tend vers 0, a pour limite 0, l_k tend vers 1.
La longueur d'une trajectoire est égale au côté du carré.
On a donc une courbe « illimitée » qui a pourtant une longueur finie.
Cette courbe admet un « point limite » qui,
par raison de symétrie, est le centre O des carrés.

Encadrement de l_k

Pour démontrer, utilisons l'encadrement 1 - k < < 1 - k + k².

On a (1 - k + k²)² = 1 - 2k + 3k² - 2k³ + k⁴
et en élevant au carré la double inégalité :

1 - 2k + k² < 1 - 2k + 2k² < 1 – 2k + 2k² + k²(1 – k)².
Les différences entre les termes sont les nombres positifs k² et k²(1 – k)².
Ces inégalités sont bien vérifiées.

d'où k <1 - < k - k² et 1 < < .

Donc, 1 < l_k < . Si 0 < k < , alors < 1 + 2k.

1 < l_k < 1 + 2k, lorsque k tend vers 0, 1 + 2k a pour limite 1 et,
d'après le théorème des gendarmes, l_k tend vers 1. La longueur d'une
trajectoire est bien égale au côté du carré.

4. Figures itératives : polygones réguliers

Plus généralement, le problème des chiens est un problème de
poursuite et d'interception dans lequel on cherche le point de
rencontre de chiens, placés initialement aux coins d'un polygone régulier.

Les chiens se déplacent à la même vitesse constante en norme.
Au fur et à mesure des déplacements les chiens parcourent des
segments et modifient leur trajectoire pour rester en direction de leurs cibles.

Les chiens tracent des spirales logarithmiques dont le centre
est celui du polygone et de longueur égale au côté du polygone.

4.a. Triangles gigognes

Première figure itérative

Résultat de l'itération

4.b. Pentagones gigognes

5. Retour sur les carrés emboîtés

Autre forme d'après la brochure d'accompagnement
des programmes de 1^ère S :
la suite obtenue n'est ni arithmétique, ni géométrique, une formule
explicite ne peut se conjecturer facilement et la limite n'est pas nulle.

À chaque étape du déplacement, la longueur
parcourue sur le côté du carré est d'une unité.

On part d'un carré A₀B₀C₀D₀ de côté 10 unités.
Sur chaque côté, en tournant dans le même sens, on place
un point situéà la distance 1 de chaque sommet du carré.
On obtient le carré A₁B₁C₁D₁, et on itère…

On obtient des carrés de plus en plus petits,
mais on a l'impression que cela s'arrête.

Nous admettrons que tous les quadrilatères sont des carrés.

Soit u_n la longueur du côté du carré A_nB_nC_nD_n avec u₀ = 10.
Le théorème de Pythagore, dans le triangle
A_n+1B_nB_n+1, rectangle en B_n, permet d'écrire :
u_n+1² = (u_n - 1)² + 1 ;
u est donc la suite définie par récurrence par
u₀ = 10 et u_n+1 = .

Voici les calculs effectués avec un tableur :

On remarque que les résultats se stabilisent à partir de n = 12 :
l'affichage de A_n+1 est confondu avec B_n. Le tableur affiche la valeur
approchée 1 à partir de n = 15. Les chiens ne se rattrapent pas,
mais tournent sur les bords de carrés de côtés de longueurs voisinent de 1.

Mais on peut démontrer que pour tout n, u_n ≥ 1,
et montrer par l'absurde que u_n ≠ 1, donc u_n > 1.
En déduire que u est une suite décroissante.

Pour montrer que la suite u est convergente vers l = 1 solution de l'équation :
l = , nous utiliserons la suite auxiliaire v
telle que v_n = u_n - 1, où v_n représente la longueur de A_n+1B_n :

v est une suite décroissante dont tous les termes sont strictement positifs.
Pour tout n ≥ 0, on a v_n+1 <

Démonstration de ces inégalités par comparaison de carrés :

(v_n+1 + 1)² = u_n+1² = (u_n - 1)² + 1 = v_n² + 1 est à comparer
avec ( + 1)² = v_n⁴/4 + v_n² + 1.

Comme 0 < v_n²/4, on a v_n² + 1 < v_n⁴/4 + v_n² + 1
et puisque le membre de gauche vaut (v_n+1 + 1)²
et le membre de droite vaut ( + 1)²,
on obtient l'inégalité : (v_n+1 + 1)² < ( + 1)².
En raison de la croissance de la fonction racine,
par extraction de la racine de ces termes positifs : v_n+1 + 1 < + 1
et enfin, par soustraction de 1, v_n+1<  ; d'où l'assertion.

Application des inégalités

Comme v₁₀ < 1, on a v₁₁ << et pour n ≥ 10, v_n+1 << ,
donc pour n ≥ 10 on a 0 < v_n < .
La suite v de termes positifs, majorés par une suite
géométrique de limite nulle, a une limite égale à 0.
La suite u, telle que u_n = v_n + 1, a une limite égale à 1.

6. Laisser donc courir le chien - Courbes du chien

Le chien de Léonard Euler

Un chien a l'habitude de courir avec son maître.
Il s'efforce d'aller vers lui, mais comme ce dernier se
déplace, il modifie régulièrement sa trajectoire, en progressant
par bonds successifs.

Le chien et le maître courent à la même vitesse.

Ci-dessus : tractrice, courbe du chien lorsque le maître se déplace sur une droite.

Courbe du chien lorsque le maître se déplace sur un cercle.

Table des matières

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