Descartes et les Mathématiques Puissance d'un point par rapport à un cercleGéométrie du cercle pour l'après-bac – Une figure dynamique avec GeoGebra. | |
Sommaire1. Puissance d'un point par rapport à un cercle 2. Application : orthocentre 3. Application de la théorie de l'axe radical 4. Différence des puissances d'un point pour deux cercles |
Dans d'autres pages du site Cercles tangents à des droites ou à des cercles : Cercles tangents, tangents aux côtés d'un triangle |
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1. Définition et propriétés de la puissance d'un pointen : power of a point La puissance d'un point par rapport à un cercle a été introduite par Jakob Steiner en 1830 Notion que j'enseignais en troisième en 1970, 1.a.
Théorème d'Euclide AB × AC = AD × AE. Dans le cas où A est à l'intérieur du cercle, pour le démontrer, il suffit de remarquer que les triangles ABE et ADC sont semblables, ayant leurs angles en A opposés par le sommet et leurs angles inscrits BCD et BÊD égaux. | |
Puissance d'un point extérieur à un cercle et tangenteLorsque A est à l'extérieur du cercle, avec une tangente (AT), on a : AB × AC = AD × AE = AT2. Télécharger la figure GéoPlan puissance_point.g2w Remarque : les cordes (CD) et (BE) sont antiparallèles aux côtés de l'angle CAE. | |
1.b. Proposition 35 du Livre III des éléments d'Euclide | |
Les Éléments d'Euclide - Livre III - Proposition 36 | |
Les Éléments d'Euclide - Livre III - Proposition 37 | |
1.c. Figure dynamique avec GeoGebraDéfinition Pour un point A extérieur à un cercle (c), la puissance du point A par rapport au cercle est le produit AB × AC, où une sécante issue de A coupe le cercle en B et C. Cette puissance est constante lorsque la droite varie. AB × AC = AT2. Elle est aussi égale à la différence du carré de la distance du point au centre du cercle moins le carré du rayon : AB × AC = AO2 – OT2 = d2 – r2. On note c(A) = AO2 – r2 la puissance de A par rapport à (c). Si le point A est sur le cercle, la puissance est nulle : c(A) = 0. Si le point A est à l'intérieur du cercle, la puissance est négative : c(A) = – AB × AC = d2 – r2. Mesures algébriques Quel que soit le point A, la puissance du point A par rapport au cercle est le produit × . Réciproques
Démonstration : angles inscrits et triangles semblables – A extérieur au cercle L'angle inscrit CBT interceptant l'arc CT est égal à l'angle de la corde [TC] et de la tangente (TT’). Les angles supplémentaires ABT et ATC sont aussi égaux et les triangles ABT et ATC ont cet angle égal et l'angle A en commun : ils sont donc semblables. Des rapports de similitude égaux = on déduit, avec l'égalité des produits des « extrêmes » et des « moyens », que AB × AC = AT2. En particulier pour la sécante (AO) la puissance du point A est aussi AD × AE = (AO – OD) × (AO + OE) = AO2 – OE2 = d2 – r2. Figure interactive dans GeoGebraTube : puissance d'un point par rapport à un cercle Cercles tangents à des droites ou à des cercles : voir construction de cercles Moyenne géométrique : construction de Wallis | |
2. Application : orthocentreRelations métriques pour l'orthocentre d'un triangleLa puissance du point H par rapport au cercle circonscrit est : Sachant que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle (voir droite d'Euler) on a : HA1 = 2HA’, HB1 = 2HB’, HC1 = 2HC’; On trouve donc :
Télécharger la figure GéoPlan hauteur2.g2w | |
3. Application de la théorie de l'axe radicalConstruire un point défini par une relation métriqueOn donne quatre points distincts A, B, C, D sur une droite (Δ). Si [AB] et [CD] n'ont pas même milieu, on peut tracer un cercle (c) passant par A et B (EF) est l'axe radical de (c) et (c’). Il rencontre (Δ) au point I cherché. Télécharger la figure GéoPlan theorie_axe_radical.g2w | |
4. Différence des puissances d'un point pour deux cerclesFormule d'usage fréquent en géométrie du cercle, qu'il faut savoir appliquer sans faute de signe. On considère deux cercles c(O, r) et c’(O’,r’) avec O et O’ distincts. c(M) – c’(M) = MO2 – MO’2 – (r2 –r’2). En employant les carrés scalaires Soit K le pied de l'axe radical des deux cercles. On a vu que : Donc c(M) – c’(M) = 2 . – 2 . = 2 . + 2 . = 2 .. Soit H la projection de M sur (OO’). c(M) – c’(M) = 2 . (1) Télécharger la figure GéoPlan theorie_axe_radical.g2w | |
5. Relation d'EulerDistance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit Si le cercle circonscrit (c) d'un triangle ABC a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit (c’) a pour centre I et pour rayon r. La relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres : OI2 = R2 – 2Rr. Pour un cercle exinscrit (c1) le centre I1, intersection de la bissectrice intérieure issue de A et de deux bissectrices extérieures issues de B et C, est le barycentre de La relation d'Euler devient : OI12 = R2 + 2Rr1. Figure interactive dans GeoGebraTube : cercles inscrit et exinscrit du triangle DémonstrationAvec la puissance du point I par rapport aux cercles (c) et (Γ). La bissectrice de l'angle BAC recoupe le cercle circonscrit en O1, milieu de l'arc BC, qui ne contient pas A. Appliquons la formule (1) au point I et aux cercles (Γ) et (c) : Γ(I) – c(I) = – 2 OO1. A’I = – 2 Rr, car les vecteurs OO1 et A’I sont de sens contraires. Comme Γ(I) = 0 et c(I) = IO2 – R2, on a bien OI2 = R2 – 2Rr. De même, en appliquant la formule (1) au point I1 et aux cercles (Γ) et (c), on trouve : Γ(I1) – c(I1) = 2 OO1 × A1I1 = 2 Rr1, car les vecteurs OO1 et A1I1 sont de même sens, d'où OI12 = R2 + 2Rr1. Voir : quatre relations d'Euler | |
6. Premier théorème de la médianePar Henry Plane – Plot n° 41 Soit un triangle ABC et le cercle de centre A passant par le milieu A’ de [BC] et recoupant (BC) en M. La puissance φ(B) de B par rapport au cercle de rayon AA’ est φ(B) = AB2 – AA’2 = × et la puissance de C est φ(C) = AC2 – AA’2 = × . Alors AB2 + AC2 – 2 AA’2 = × + × . soit AB2 + AC2 – 2 AA’2 = ( + ) = × = . AB2 + AC2 = 2AA’2 + (formule d'Apollonius de Perge − premier théorème de la médiane). Figure interactive dans GeoGebraTube : médiane et puissance d'un point
Triangle rectangle : où l'on retrouve Pythagore Si le triangle est rectangle en A, alors A est sur le cercle de diamètre [BC] et AA’ = BA’ = BC/2. La formule d'Apollonius devient AB2 + AC2 = 2(BC/2)2 + = BC2. Différence des carrés des longueurs de deux côtés φ(B) = AB2 – AA’2 = × , φ(B) – φ(C) = AB2 – AC2 = ( + ). Introduisons H milieu de [MA’]. H est le milieu d'une corde et [AH], hauteur du triangle ABC, est orthogonal à (BC). AB2 – AC2 = ( + ) = ( + + + ) = (2 ) = (4 ) = (4 ). AB2 – AC2 = 2 . Triangle rectangle : où l'on retrouve Pythagore Si le triangle est rectangle en C, alors C et H sont confondus = et AB2 – AC2 = 2 = BC2. Où l'on constate que le théorème de Pythagore n'est pas seule affaire d'aires équivalentes et que l'ordre traditionnel des théorèmes tel qu'il est étudié peut être perturbé. Voir aussi : l'enseignement de la géométrie | |
Table des matièresBibliographie : Commeau – Géométrie maths élem – Masson, 1963 (mon livre de cours en terminale). Coxeter et Greitzer – Redécouvrons la géométrie – Dunod – 1971 – Éditions Jacques Gabay –1997 |
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