Descartes et les Mathématiques
Angles inscrits au collège
Angles inscrits égaux et supplémentaires, théorème limite de cocyclicité,
milieux d'arcs et bissectrices, quadrilatères inscriptibles.
Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle,
un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc.
Le théorème de l'angle inscrit affirme que deux angles inscrits
interceptant le même arc de cercle ont la même mesure.
Sommaire
1. Angle inscrit - Angle au centre - Propriétés et démonstrations
2. Angle inscrit dans un demi-cercle
3. Bissectrice
4. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques
Propriétés des Angles
Un secteur angulaire est une figure plane obtenue par intersection
ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes
ou confondues.
L'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel positif qui mesure
la proportion du plan occupée par le secteur angulaire.
La somme des angles d'un triangle vaut 180° (π radians).
L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme
des deux angles intérieurs non adjacents.
Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90°
(les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires).
Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180°.
Deux angles à côtés parallèles sont égaux s'ils sont de même nature
(aigu ou obtus), ou supplémentaires si l'un est aigu, l'autre obtus.
Deux angles à côtés perpendiculaires sont égaux s'ils sont de même
nature (aigu ou obtus), ou supplémentaires si l'un est aigu, l'autre obtus.
Deux droites parallèles découpent sur une sécante des angles
alternes internes, alternes externes ou correspondants de même mesure.
Les angles internes du même côté ou externes du même côté
sont supplémentaires. Les réciproques sont vraies.
1. Propriétés de l'angle inscrit et au centre
Classe de 3e
Soit (c) un cercle de centre O et de rayon r, A et B deux points de ce cercle
et M un point variable sur le cercle (c).
L'angle AMB est inscrit dans le cercle et AÔB est l'angle au centre
correspondant, angle formé par les deux rayons [OA] et [OB] du cercle.
Les propretés de l'angle inscrit et de l'angle au centre établissent
des relations entre les mesures des angles inscrits
et des angles au centre interceptant un même arc.
Au collège, on étudie ces propriétés pour les angles géométriques.
Énoncés, démonstrations et réciproque sont beaucoup plus simples
avec des angles orientés, mais existe-t'il encore un espace
pour ces notions au lycée ?
Angle inscrit
L'angle AMB est inscrit dans le cercle (c)
avec son sommet M situé sur le cercle.
L'arc AB qu'il intercepte peut être sortant
ou rentrant. Dans le second cas, l'angle
géométrique est obtus.
AÔB est l'angle au centre correspondant
à l'angle inscrit.
Théorème de l'angle au centre :
la mesure de l'angle inscrit est la moitié
de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Deux angles inscrits
Théorème de l'angle inscrit
Deux angles inscrits qui interceptent
le même arc ont la même mesure :
AMB = ANB.
(N et M d'un même côté par rapport
à la corde [AB]).
Angles inscrits supplémentaires
Lorsque deux points M et N sont de
part et d'autre de la corde [AB],
les angles inscrits AMB et ANB
sont supplémentaires :
AMB + ANB = 180°
L'angle au centre correspondant à
l'angle inscrit obtus est rentrant,
mais la propriété s'énonce de la même façon.
Corde et tangente
La propriété des angles inscrits se généralise à l'angle que
fait la corde qui sous-tend l'arc avec une tangente.
Théorème limite de cocyclicité
L'angle inscrit a même mesure que l'angle formé par la corde,
qui joint les extrémités de l'arc, avec la partie de la tangente
au cercle à l'une des extrémités de la corde, située à l'opposé
de l'angle en question par rapport à la corde.
Figure interactive dans GeoGebraTube :
angle de la corde et d'une tangente
Théorème limite de cocyclicité
L'angle inscrit BMA a même mesure que l'angle BÂT
de la corde [BA] et de la tangente [AT).
L'angle inscrit BNA a même mesure que l'angle BÂT’
de la corde [BA] et de la tangente [AT’).
Démonstration :
Si H est le milieu de [AB],
les angles HÔA et BÂT ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires,
ils ont même mesure.
(OH) étant la bissectrice du triangle isocèle BOA,
on a HÔA = 
BÔA et la mesure de BÂT est bien égal à la moitié
de la mesure de l'angle au centre BÔA.
L'angle BÂT est la position limite de l'angle inscrit BMA
lorsque M « tend » vers A.
Figure GeoGebraTube : angle de la corde et d'une tangente
Réciproque du théorème limite
(énoncé simplifié avec les angles orientés, pour le lycée)
si (
, 
) = (
, 
), alors la droite (AT) est tangente
au cercle circonscrit du triangle AMB.
Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre
Théorème de l'angle au centre :
l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre correspondant.
Démonstration
Cas où l'angle inscrit AMB est aigu ; les points A et B
de part et d'autre du diamètre (MI) :
Soit I le deuxième point de rencontre du cercle (c)
avec le diamètre issu de M.
De l'angle plat MÔI,
on déduit que : MÔA + AÔI = 180°.
OA = OM = r. Dans le triangle isocèle MOA, OMA = MÂO
et la somme des mesures des angles du triangle est :
180° = MÔA + OMA + MÂO = MÔA + 2 OMA
De ces deux égalités on en déduit 2 OMA = IÔA,
soit 2 IMA = IÔA.
De même, pour le triangle isocèle MOB,
on a 2 IMB = IÔB.
Comme le point I est entre A et B, faire l'addition des mesures des angles :
2 AMB = 2 AMI + 2 IMB = AÔI + IÔB = AÔB.
En collège on ne fera pas la démonstration dans les deux autres cas
(soustraction d'angles).
Arc capable, voir : angle-rotation
WikiPédia : angle inscrit
Les Éléments d'Euclide - Théorème 19 - Proposition 21
Les démonstrations sont dans le livre III des Éléments d'Euclide
La proposition 20 prouve que l'angle au centre
est le double
de l'angle inscrit correspondant.
La proposition 21 :
Au cercle, les angles qui sont en une même portion, sont égaux entre eux.
prouve que des angles inscrits, interceptant le même arc,
sont égaux et réciproquement.
2. Angle inscrit dans un demi-cercle
Un angle inscrit dans un
demi-cercle est droit.
Cas particulier pour
lequel l'angle au centre
est plat, et donc l'angle inscrit est droit.
3.a. Bissectrice d'un angle inscrit
Si M est un point variable sur l'arc AB, le point I,
intersection de la bissectrice de l'angle inscrit AMB avec (c),
est fixe : c'est le milieu de l'arc AB.
Réciproquement, si I est le milieu d'un arc AB, et M un point
du cercle situé sur le complément de l'arc AB ne contenant pas I,
alors la droite (MI) est la bissectrice de l'angle inscrit AMB.
Application : Les points d'intersection des bissectrices d'un triangle
avec son cercle circonscrit sont les milieux des arcs déterminés
par les sommets.
3.b. Problèmes de constructions
Constructions utilisant des configurations connues
L'exercice proposé :
Soit (Γ) un cercle de centre O et [AB] une corde de (Γ).
Soit M un point de (Γ), distinct de A et de B.
La bissectrice de AMB coupe (Γ) en I.
3.a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.
Quelle conjecture peut-on faire sur le point I et sur le triangle AIB
lorsque M décrit un arc de cercle d'extrémités A et B ?
3.b. Démontrer cette conjecture et préciser la position de I.
3.c. Soit (Γ) un cercle de centre O, [AB] une corde
de (Γ) et N un point du segment ]AB[.
Construire un triangle ABC tel que C ∈ (Γ) et tel
que la bissectrice de ACB passe par N.
Le travail demandé au candidat :
Q.a. Présenter la figure réalisée sur la calculatrice et l'animation
permettant de mettre en évidence la conjecture.
Q.b. Dégager les propriétés mises en jeu dans la résolution de
l'exercice et indiquer à quel niveau on peut le proposer.
Q.c. Le candidat rédigera et présentera plusieurs énoncés d'exercices,
variés, de constructions de triangles vérifiant des conditions
métriques ou géométriques.
Indications
L'exercice proposé par le jury se situait délibérément à un niveau
de troisième ou de seconde ;
il s'appuyait essentiellement sur le théorème dit de l'angle inscrit.
La rédaction de la réponse à la question a. pouvait se limiter
à l'observation de l'invariance du point I d'intersection
lorsque l'on déplace le point M, la conjecture étant
donc que ce point est fixe.
3.c. Le point C est le deuxième point d'intersection
du cercle (Γ) et de la droite (IN).
4. Quadrilatère inscriptible
4.a. Points cocycliques
Définitions
Des points cocycliques sont situés sur un même cercle.
Un quadrilatère est inscriptible si les quatre sommets sont cocycliques.
Un quadrilatère est inscriptible si (et seulement si)
deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires.
4.b. Quadrilatère croisé (papillon)
Rappel : un quadrilatère ACBD est croisé si les deux diagonales
[AB] et [CD] sont à l'extérieur du quadrilatère.
Un quadrilatère croisé est concave (quadrilatère non convexe).
Un quadrilatère croisé est inscriptible si (et seulement si)
deux angles opposés sont de même mesure.
ACB = ADB.
Les deux autres angles opposés sont aussi de même mesure.
4.c. Quadrilatère convexe
Rappel : un quadrilatère ACBD est convexe si les deux
diagonales [AB] et [CD] sont à l'intérieur du quadrilatère.
Les angles opposés d'un quadrilatère inscriptible sont supplémentaires :
Un quadrilatère convexe est inscriptible si (et seulement si)
deux angles opposés sont supplémentaires.
ACB + ADB = 180°.
Les deux autres angles opposés sont aussi supplémentaires.
4.d. Éléments d'Euclide - Livre III - Proposition 22
Angles orientés au lycée
La proposition 22 du livre III montre que les angles opposés
d'un quadrilatère inscrit dans un cercle sont égaux à deux droits.
Quatre points A, B, C et D sont cocycliques (ou alignés)
si et seulement si on a :
(
, 
) = (
, 
) (mod π).
Voir : théorème de Ptolémée
4.e. Orthogonalité
Quatre points A, B, C et D sont placés dans cet ordre sur un cercle (Γ).
Le point a est le milieu de l'arc AB, b milieu de l'arc BC,
c milieu de l'arc CD et d milieu de l'arc DA.
Les droites (ac) et (bd) se coupent en I.
Montrer qu'elles sont perpendiculaires.
Indications : étude de mesures d'angle
pour montrer que le triangle Iab est rectangle.
La droite (ab) est la bissectrice de BâC, (ac) est la bissectrice
de CâD ; (ba) est la bissectrice de BbA et (bd) est la bissectrice de AbD.
La mesure de l'angle bâc est égal à la moitié de celle de BâD
et celle de l'angle abd à la moitié de BbD.
Les angles inscrits BâD et BbD sont supplémentaires,
leurs moitiés sont complémentaires :
bâc + abd = 90°.
L'angle en I du triangle Iab est droit, car
aIb + bâc + abd = 180°.
Deux cercles inscrits
Les points J et K sont les centres des cercles
inscrits dans les
triangles ABD et ACD.
Montrer que la droite (bd) est la médiatrice de [JK].
Quatre cercles inscrits
Les points L et M sont les centres des cercles
inscrits dans les triangles BCD et ABC.
JKLM est un rectangle de centre I.
Solution des quatre cercles inscrits
Le centre J du cercle inscrit dans le triangle ABD est situé
à l'intersection des bissectrices (Da) et (Bd).
Dans le cercle (Γ) l'angle ADa est la moitié de l'angle ADB.
Cet angle inscrit a même mesure que l'angle inscrit AdB.
Dans le cercle de centre d, passant par A, et par D
(sur le cercle Γ, le point d est le milieu de l'arc AD),
soit J’ l'intersection de ce cercle avec [dB], l'angle au centre AdJ’
est la moitié de l'angle inscrit ADJ’. J’ est aussi sur (Da) :
J et J’ sont confondus. Le point J est situé sur le cercle.
On montre, de même, que le centre K du cercle inscrit dans
le triangle ACD est situé sur le cercle de centre d passant par A.
La droite (db), bissectrice de l'angle BdC, est la médiatrice
de la corde [JK] (axe de symétrie du triangle isocèle dJK).
5. Trapèze isocèle
Angles inscrits et trapèze
Deux parallèles coupent un cercle selon un trapèze.
Montrer que les diagonales forment des triangles isocèles :
Deux droites parallèles (d) et (d’) coupent un cercle (c)
en A, B et C, D de telle façon que ABCD soit un trapèze convexe.
Les diagonales [AD] et [BC] se coupent en I.
Montrer que ABI est un triangle isocèle.
Indications
Les angles inscrits BÂC et BDC ont même mesure.
Les angles alternes-internes BDC et ABD ont même mesure.
D'où BÂC = ABD ; le triangle ABI est isocèle.
Montrer que le trapèze est isocèle
Deux droites parallèles (d) et (d’) coupent un cercle (c),
de centre O, en formant un trapèze ABCD.
Les diagonales [AD] et [BC] se coupent en I distinct de O.
Les points H et K sont les milieux des côtés parallèles [AB] et [CD].
Les droites (AB) et (CD) se coupent en J.
Montrer que ABCD est un trapèze isocèle.
Indications
ABI est isocèle d'où BÂC = ABD,
les angles inscrits CÂD et CBA ont même mesure,
d'où BÂD =ABC. ABJ est un triangle isocèle et ABCD est un trapèze isocèle.
O, I et J sont alignés sur la droite (HK) médiatrice de [AB] et [CD].
(cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S)
6. Milieux d'arcs et cordes
A, B et C étant trois points situés sur un cercle (c),
D est le milieu de l'arc AB et E le milieu de l'arc AC.
La droite (DE) coupe la corde (AB) en F et la corde (AC) en G.
Démontrer que AF = AG.
Indications
Les arcs AD et DB sont égaux et on les égalités des mesures des
angles inscrits α = BÂD = ABD = AED.
De même, les arcs AE et EC sont égaux et β = CÂE = ECA = EDA.
Les angles externes EGC et DFB, des triangles EAG et DAF,
sont égaux à α + β.
De même, les angles opposés par le sommet AGF = AFG = α + β.
Le triangle AGF est isocèle et AF = AG.
7. Triangle inscrit dans 2 cercles sécants
Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts I et J sont sécants en A et B.
Soit C un point du cercle (c). La droite (BC) recoupe le cercle (c’) en D.
Que dire du triangle ACD lorsque l'on déplace le point C sur le cercle (c).
Indication
Le triangle ACD a des angles fixes,
les mêmes angles que AIJ (ces triangles sont semblables).
Étudier les angles inscrits ACB et ADB :
– en les comparant aux angles aux centres AIB et AJB,
– ou bien en étudiant le cas particulier où [AC] est un diamètre de (c).
Figure interactive dans GeoGebraTube :
alignement dans une similitude
Triangles particuliers
– le triangle ACD est équilatéral si chacun des cercles
passe par le centre de l'autre,
– il est isocèle si les cercles sont de même rayon
(seconde, alignement avec un point et son transformé par une rotation),
– il est rectangle si AIJ est rectangle (les cercles sont orthogonaux)
En terminale S, voir l'étude avec une similitude.
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Page no 103,crée le 4/2/2007 |