Descartes et les Mathématiques

Maxima - Minima

Ancienne classe de 1^ère S

De nombreuses situations menant à des problèmes d'optimisation :
à partir de figures géométriques, études d'aires et recherche d'extrema.

Sommaire

1. Aire minimum de deux demi-disques

2. Aire de l'arbelos

    Cercles d'Archimède

3. Aire maximum de deux lunules

4. Le quadrilatère qui tourne

5. Aire et périmètre maximums d'un rectangle

6. Aire et périmètre d'un triangle isocèle, inscrit dans un cercle

7. Fonction définie par une aire

8. Deux cercles tangents, tangents à l'intérieur d'un carré

9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle

Technique GeoGebra : dans les exercices de cette page est utilisée
l'affichage d'une seule figure avec deux fenêtres : la fenêtre Graphique
à gauche pour la figure géométrique, la fenêtre Graphique 2,
à droite pour une fonction.

1. Aire minimum de deux demi-disques

On considère la figure suivante : (C) est un cercle
de centre O et de rayon 1, [AB] est un diamètre.
À partir d'un point M de [AB], tracer deux demi-cercles
de diamètre [AM] et [MB] (voir figure ci-dessous).
Il s'agit de trouver la position du point M où la
somme des aires des demi-disques est minimum.

Indication

Le problème est posé dans le cadre géométrique.
En appelant x le rayon d'un des demi-cercles, l'aire de la partie hachurée est égale à :
π (2x² – 2x + 1) / 2. La résolution s'effectue dans le cadre algébrique.

2. Arbelos d'Archimède

Arbelos d'Archimède, tricercle de Mohr, tranchet du cordonnier ou
couteau du savetier :
domaine compris entre trois demi-cercles tangents deux à deux

2.a. Aire de l'arbelos

On considère un arbelos formé par un demi-cercle de diamètre AB = 5,
M étant un point du segment [AB], les deux demi-cercles de diamètres [AM] et [MB].

On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point variable
du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB].

Si AM = x et AB = 5, l'aire de l'arbelos est π × AM × MB = πx (5 – x),
pour x = 1 ou x = 4 l'aire de l'arbelos est égale
à π soit 8/25 de l'aire du demi-disque de diamètre [AB].

Pour x = , l'aire maximale est égale à la moitié de l'aire
du demi-disque de diamètre [AB].

La perpendiculaire à [AB] au point M coupe le grand demi-cercle au point C.

(CM) est la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC ;
MC est moyenne géométrique des projections des petits côtés sur l'hypoténuse :
MC² = AM × MB = x (5 – x).
On a donc
MC = = , AC = = et BC = = .

Le cercle (c), de diamètre [MC], a la même aire que celle de l'arbelos : π × MC².
Il coupe les petits côtés du triangle ABC en D et E situés sur les petits demi-cercles.
La droite (DE) est une tangente commune à ces deux demi-cercles.

2.b. Cercles d'Archimède

en : Archimedes’ circles
de : Treillisse

Les cercles jumeaux d'Archimède (c) et (c’) sont deux cercles inscrits
dans l'arbelos, simultanément tangents à la droite (MC), au demi-cercle
de diamètre [AB], au demi-cercle de diamètre [AM] pour (c)
et au demi-cercle de diamètre [BM] pour (c’).

Ces deux cercles ont même diamètre d = = , si AB = 5
(calcul d'Archimède, à l'aide des diamètres des trois demi-cercles
formant l'arbelos, dans le livre des lemmes).

Dans un repère orthonormé d'origine A, tel que B(5, 0),
les centres ont pour coordonnées O(x - , ) et O’(x + , )
(Pythagore dans les triangles rectangles formés par le centre d'un cercle jumeau,
sa projection sur (AB) et le centre du demi-cercle correspondant).

La ligne des centres (OO’) coupe, à l'extérieur
de [OO’], le cercle (c) en D et le cercle (c’) en E.
Le cercle de diamètre [DE] est tangent aux cercles (c) et (c’).
Ce cercle est le plus petit cercle contenant les deux cercles jumeaux.

Son aire π × DE² est la même aire que π × MC²,
celle de l'arbelos, car DE = OO’ + d = MC.

(Ces constructions sont analytiques, il manque une preuve synthétique)

Article exporté e n novembre 2007 dans WikiPédia : cercles d'Archimède

3. Aire maximum de deux lunules d'Hippocrate de Chios

Trouver la position du point A où la somme des aires des deux lunules est maximum.

Le point M a pour coordonnées x et a₁ où x est la mesure
de l'angle ACB en radians et a₁ l'aire des lunules.

Remarque : d'après le théorème des deux lunules, la somme
des aires des deux lunules est égale à l'aire du triangle rectangle ABC.
On retrouve bien le fait que l'aire du triangle est
maximale lorsque la hauteur issue de A est maximale.

Ce maximum est atteint lorsque le point A est au milieu du demi-cercle
de diamètre [BC], la hauteur est alors égale à BC/2, rayon du demi-cercle ;
les deux lunules sont alors de même aire égale à BC²/8.

4. Le quadrilatère qui tourne

Aire d'un quadrilatère variable dans un rectangle

Classe de première S

ABCD est un rectangle de longueur a = 9 et de largeur b = 6.
Sur les côtés respectifs de ce rectangle on place les points M, N, P et Q
tels que AM = BN = CP = DQ = x.

  – Où faut-il placer M pour que l'aire du quadrilatère MNPQ
soit la plus petite possible ?

L'objectif de cette activité est d'introduire l'outil fonction sous
sa forme algébrique : lorsque l'on déplace le point M sur [AB]
étudier les variations de l'aire du parallélogramme y = A(x) de MNPQ.

Cet outil prenant du sens comme moyen de résolution d'un problème :
trouver x pour que l'aire soit minimale.

Dans le cadre de droite est représenté le point S(x, y)
permettant d'étudier l'aire y du parallélogramme.

Si a = 9 et b = 6 l'aire du quadrilatère MNPQ est égale à l'aire du rectangle
ABCD moins l'aire des quatre triangles rectangles de côté x et a–x ou b–x.
L'aire du rectangle ABCD est ab = 54.
L'aire de ces quatre triangles est celle deux petits rectangles
x (a–x) + x (b–x) = x (a + b – 2x) = (a + b) x – 2x² = 15 x – 2x².

On a donc : A(x) = 2x² – 15 x + 54
et, par la méthode de complétion du carré, on a : A(x) – A(15/4) = 2(x – 15/4)².
Le minimum de l'aire est atteint pour x = 15/4 = 3,75.

Dans le cas général on a : A(x) = 2x² – (a + b) x + ab
et A(x) – A((a+b)/4) = (4x – a – b)²/8.
Le minimum de l'aire est atteint pour x = (a + b)/4.

Aire du parallélogramme variable et d'un rectangle

Si 0 < x < b/2 ou a/2 < x < b l'aire du parallélogramme MNPQ est égale
à la somme de l'aire B(x) du petit rectangle contenu dans la figure
et l'aire (a + b) x – 2x² des quatre triangles rectangles.

Si b/2 < x < a/2 il faut calculer la différence.

Vérifier que le minimum de l'aire du parallélogramme bleu
est atteint lorsque le petit rectangle rouge est un carré.
Pour cela, dans le cadre de droite sont représentés les points
S(x, y) et T(x, z) permettant d'étudier l'aire y du parallélogramme
et l'aire z = B(x) du petit rectangle.

Variante : carré variable inscrit dans un carré

ABCD est un carré.
Sur les côtés respectifs de ce carré on place les points M, N, P et Q
tels que AM = BN = CP = DQ = x.

  – Montrer que MNPQ est un carré.
  – Pour quelle position du point M, l'aire du carré est-elle minimum ?

Multiplication d'un parallélogramme

Rectangle mobile inscrit dans un rectangle

5. Rectangle inscrit dans un quart de cercle

Aire maximale d'un rectangle dans un quart de cercle

De tous les quadrilatères de périmètre donné, celui qui a l'aire maximum est le carré.
De toutes les figures de périmètre donné, celle qui a l'aire maximum est
le disque (problème de la reine Didon, issu du mythe de la création de Carthage).

Énoncé

AB est le « quart de cercle » situé sur le cercle de centre O et de rayon 7.
ONMP est un rectangle de diagonale [OM],
les côtés [OA] et [OB] sont situés sur les axes (OA) et (OB).
Où doit être situé le point M sur cet arc pour que l'aire du rectangle soit maximale ?

Indication

x = ON, y = OP ; OM² = ON² + OP² = x² + y² = 7² donc y² = 49 – x² soit y = .
L'aire du rectangle est xy = .

Cette aire est maximale lorsque x = 7≈ 4,95
(voir étude de la fonction paragraphe suivant).

Lorsque le point M est variable sur le segment [AB],
on trouve une parabole : voir analyse en 1L.

Périmètre maximal d'un rectangle dans un quart de cercle

Classe de 2^nde

Où doit être situé le point M sur cet arc pour que
le périmètre du rectangle ONMP soit maximal ?

Variante

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2005 - Sujet 30

Soit C un cercle de rayon 4 cm.
Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle.

6.a. Aire maximum d'un triangle inscrit dans un cercle

Pour tout triangle inscrit dans un cercle et non équilatéral,
il existe un triangle isocèle inscrit dans le cercle, d'aire strictement plus grande.

Démonstration : si ABC est un triangle inscrit
tel que AB ≠ AC. Soit A’ le milieu de l'arc BC contenant A.
La distance de A’ au côté (BC) est supérieur à la distance de A’ à (BC),
la hauteur issue de A au triangle ABC est supérieure à celle issue de A’à A’BC.
donc aire(ABC) > aire(A’BC).

Corollaire : les triangles inscrits dans un cercle d'aire maximale
(s'ils existent) sont les triangles équilatéraux.

Triangle isocèle inscrit dans un cercle

Solution graphique de ce problème d'optimisation géométrique :
pour démontrer, il est possible de se restreindre à l'ensemble des triangles isocèle.

Classe de première S

Données : le triangle ABC, isocèle au sommet A,
est inscrit dans un cercle (c) donné de centre O et de rayon 1.

Trouver le triangle inscrit d'aire maximale

H est un point variable du diamètre [AJ] du cercle (c).
La perpendiculaire en H à (AO) coupe le cercle en B et C.
Le triangle isocèle ABC est inscrit dans le cercle (c).

Soit x = AH, la longueur de la hauteur en A du triangle ABC, variant de 0 à 2.
L'aire y du triangle ABC est représentée dans le cadre de droite par le point S(x, y).

En déplaçant le point H, on peut conjecturer que l'aire est maximale
pour x = et ABC est un triangle équilatéral.

Indications

Le cercle (c) ensemble des points B tels que BO² = (x – 1)² + y² = 1,
a pour équation x² + y² – 2x = 0 dans un repère d'origine A.
D'où BH = . L'aire du triangle est A(x) = x.
Montrer que A() est le maximum, revient à démontrer que x²(2x – x²) ≤ ,
soit 16x⁴ – 32x³ + 27 ≥ 0.

16x⁴ – 32x³ + 27 = (2x – 3)² (4x² + 4x + 3) est positif pour x appartenant à [0, 2].

6.b. Triangle inscrit dans un cercle de périmètre maximal

Terminale S - ÉduSCOL - Épreuve pratique 2007 - Sujet 027

Le triangle ABC, isocèle de sommet A est inscrit
dans un cercle (c) donné de centre O et de rayon 1.

Soit x = AH et y représente dans cette deuxième figure le périmètre
du triangle ABC. Dans le cadre de droite est représenté le point P(x, y).

En déplaçant le point H, on peut conjecturer que le périmètre est maximal
pour la même valeur x = . et ABC est encore un triangle équilatéral.

Utilisation du logiciel GeoGebra

Dans le Graphique 2, à droite, sont représentés simultanément les points
S(x, y) et P(x, z) où y est l'aire du triangle ABC et z est le périmètre du triangle ABC.
L'intérêt est de suivre simultanément les positions correspondantes de S et P et de
montrer que le maximum de chaque fonction est atteint pour la même valeur de x.

6.c. Triangle d'aire donnée et de périmètre minimum

La méthode pour résoudre ce problème est
voisine de celle utilisée pour le problème 6.a. :
Pour tout triangle non équilatéral, il existe un
triangle isocèle de périmètre strictement plus petit.

Corollaire : les triangles d'aire donnée et de périmètre
minimal (s'ils existent) sont les triangles équilatéraux.

Trouver le triangle isocèle de périmètre minimal.

Données : le triangle ABC, isocèle au sommet A, a pour aire s.

Soit x = AH, la longueur de la hauteur en A du triangle ABC, variant de 0 à 2.

Dans un repère d'origine H, A pour coordonnées (x, 0), B(0, 2s/x) et C(0, - 2s/x).

Le périmètre y = 2 AB + BC du triangle ABC est
représentée dans le cadre de droite par le point P(x, y).

En déplaçant le point A, on peut conjecturer que le
périmètre est minimum lorsque ABC est un triangle équilatéral.

6.d. Triangle de périmètre donné et d'aire maximum

De tous les triangles de périmètre donné, et dont un côté a une longueur
donnée, celui qui a l'aire maximum est le triangle isocèle qui a pour base ce côté.
De tous les triangles de périmètre donné,
celui qui a l'aire maximum est le triangle équilatéral.

7. Fonction définie par une aire

Énoncé (Première S)

Dans la figure ci-dessous AB = 8, AI = 2. [Ax) et [Bx’) deux demi-droites
perpendiculaires à [AB]. M est un point variable sur [Ax) et N est le point
[Bx’) tel que le triangle MIN est rectangle en I.

Soit x = AM et y = A(x) l'aire du triangle.

Résolution du problème

On se propose de faire une étude algébrique du comportement de A(x)
lorsque M décrit [Ax).

Montrer que les côtés des triangles MAI et IBN sont proportionnels.

En déduire que A(x) = et étudier la fonction.

8. Deux cercles tangents, tangents à un carré

Olympiades Poitiers 2002

Énoncé

Soit un carré ABCD de côté a. Un cercle (c) intérieur au carré est
tangent à (AB) et (AD). Un cercle (c’), intérieur au carré est tangent
extérieurement à (c) ainsi qu'aux droites (CB) et (CD).

Soit S la somme des aires des cercles (c) et (c’).
Quelles sont les valeurs maximales et minimales de S ?

Indication

Les centres O et O’ des cercles étant à égale distance
des côtés, ils sont situés sur la diagonale [AC] du carré.

Les rayons r et r’ des cercles vérifient :

OA + r + r’ + O’C = AC = a
(r + r’) (1 + ) = a

C'est-à-dire : r + r’ = a (2 – )

Les cercles étant situés à l'intérieur d'un carré de côté a,
leurs rayons restent inférieurs à .
On en déduit que chaque rayon appartient à l'intervalle .

La somme des aires des deux cercles est :

S = π(r² + r’²) = [(r + r’)² – (r – r’)²] = [(6 – 4) a² – (r – r’)²]

On en déduit immédiatement que cette aire est minimale quand
r = r’ = et vaut alors S_min = π(3 – 2 )a².

Et l'aire est maximale quand r est maximal et r’ minimal (ou inversement),
c'est-à-dire lorsque r = et r’ = .

On obtient alors S_max = [(6 – 4)a² – (–1 + )²a²] = (9 – 6)a².

Sujet repris à Bordeaux, aux olympiades 2008

Variante : classe de seconde

Résoudre avec l'algèbre un problème de géométrie.

Dans un carré de côté 4 cm, comme ci-dessus, inscrire deux cercles centrés
sur la diagonale, tels que le rayon de l'un soit le double du rayon de l'autre.

Indication : comme ci-dessus : r + 2r = a (2 – ), soit r = (2 – ).

Voir aussi : remplir un carré avec deux cercles de même rayon

9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle

Classe de seconde

ABC est un triangle rectangle et isocèle en C tel que AB = 10.
Soit J le milieu de [AB] et M est un point de [AJ]. On note x la longueur AM.
On construit le rectangle MNPQ inscrit à l'intérieur
du triangle ABC : N sur [AC] ; P sur [BC] et Q sur [JB].

1) Exprimer les longueurs MN et MQ en fonction de x.
2) on note A(x) l'aire du rectangle MNPQ. Exprimer A(x) en fonction de x
et montrer que A(x) = −2(x – )² + .
3) Étudier le sens de variation et dresser le
tableau de variation de la fonction A sur [0 ; 5].
4) Quelle est la position du point M sur [AB]
pour laquelle l'aire du rectangle MNPQ est maximale ?

Quelles sont les positions du point M pour lesquelles
la longueur du rectangle est le double de la largeur ?

    Variante : les positions pour lesquelles
la longueur est égale à quatre fois la largeur ?

Voir aussi : aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle

Table des matières

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