Descartes et les Mathématiques Problèmes de géométrieCAPES externe de mathématiques 2007 - Épreuve sur dossier Par Françoise Bourhis-Lainé |
Sommaire1. Triangle d'aire maximum |
1. Triangle d'aire maximumDeux cercles tangents extérieurement en A, deux points M et M’ respectivement sur l'un et l'autre. Quand l'aire MAM’ est-elle maximum ? Variation de M’, M fixéTélécharger la figure GéoPlan parallelisme_aire_maxi_tr_cercles_tang.g2w |
MédiatricesSoit N et N’ les intersections de (AM’) et (AM) avec les cercles. M1 et M2 les points d'intersection des médiatrices de [AN] et [AN’]. L'aire de AMM’ est égale à la moitié du produit de la base AM’ par la hauteur MH. |
Placer alternativement M en M1 et M’ en M2 jusqu'à obtention de la stabilité. Télécharger la figure GéoPlan parallelisme_aire_maxi_tr_cercles_tang2.g2w |
Solution Tracer les deux droites passant par A, faisant des angles de 60° avec la tangente commune aux deux cercles (c) et (c’). Le triangle AMM’ a un angle en  de 120° et la tangente commune aux cercles est bissectrice de MÂM’.C'est le triangle ayant l'aire maximale, Démonstration Soit APP’ un triangle avec P sur (c) et P’ sur (c’), avec P et P’ du même côté que M par rapport à la droite (OO’). Montrons que si P est distinct de M, l'aire de APP’ n'est pas maximale. Soit Q le deuxième point d'intersection du cercle (c) avec (AP’). Mise en équation A(AMM’) = AM × AM’ sin (MÂM’) Dans le triangle isocèle OAM : AM = 2 r cos(OÂM) = 2 r cos(α) Dans le triangle isocèle OAM’ : AM’ = 2 r’ cos(OÂM’) = 2 r cos(β) d'où A(AMM’) = 2 r r’ cos(α) cos(β) sin(π - α - β) = 2 r r’ cos(α) cos(β) sin(α + β) Il faut prouver que le maximum de cos(α) cos(β) sin(α + β) est atteint pour α = β = . Étudier f(x, y) = cos(x + ) cos(y + ) sin(x + y + ) Or f(x, y) < f(z, z) ou z est x ou y selon le minimum de |x| et |y|. À prouver, c'est vu sur GéoPlan et sur la TI92. On est donc amené à étudier g(x) = f(x, x) = cos2(x + ) sin(2x + ). En linéarisant, g(x) = [cos(4x + ) + 2sin(2x + )]/4 ayant pour dérivée g'(x) = cos(2x + ) - sin(4x + ) = sin( - 2x) - sin(4x + ) admet bien son maximum pour x = 0 - Dixit TI92. |
Thème : problèmes de construction Constructions avec des transformations2. Partage d'une corde en troisL'exercice proposé au candidat Dans cet exercice on considère deux cercles (Γ) et (Γ’) de rayons respectifs r et r’. (figure ci-dessus) Le but de l'exercice est la construction d'une corde [AB] de (Γ) coupant (Γ’) en deux points A’ et B’ telle que : AA’ = A’B’ = B’B. 1) a) Justifier que le point A peut être choisi arbitrairement. b) Montrer que toute corde [AB] de (Γ) coupant (Γ’) en deux points A’ et B’ on a : 2) On fixe un point A sur (Γ) et on note (Γ1) l'image de (Γ) par l'homothétie h de centre A et de rapport a) Montrer que si une corde est solution du problème existe, alors A’ ∈ (Γ1) ∩ (Γ’). b) En déduire le nombre convenable de cordes menées de A (on discutera suivant les valeurs du rapport ). |
Le travail demandé du candidat Q1) Dégager les méthodes utilisées dans cet exercice. Q2) Construire la figure sur le module de géométrie d'une calculatrice et indiquer les utilisations possibles de cette construction par les élèves. Indications Pour une solution on AA’ = AB. D'où l'utilisation de l'homothétie h avec A’ = h(A) et (Γ1) = h(Γ), Faire varier le cercle (Γ’). GéoPlan Taper S pour le cercle (Γ1) Solution, Télécharger la figure GéoPlan parallelisme_partage_corde_trois.g2w |
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