Descartes et les Mathématiques La trisection | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sommaire1. Exercice du Capes 2007 2. Trisection de l'angle de Racine rationnelle d'une équation du troisième degré Racine constructible d'une équation 3. dicothomie 6. Point fixe - Méthode de Newton |
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Par Françoise Bourhis-Lainé Utilisation de suites pour la recherche de solutions approchées d'une équation numérique 1. Exercice | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Le problème de la trisection d'un angle est le suivant : étant donné un angle θ, dont on connaît par exemple le cosinus, on cherche à calculer cos (). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Travail demandé au candidat1) Rédiger un énoncé demandant la résolution de l'équation à l'aide d'un algorithme de dicothomie. 2) Rédiger un énoncé correspondant au programme actuel de terminale S, mettant en ouvre une méthode du point fixe. 3) Rédiger un énoncé permettant de déterminer x0 à 10−3 près par une méthode de fractions continues, menant au moins à l'encadrement : x0 < 4) Montrer que l'équation 8 x3 − 6 x − 1 = 0 n'a pas de racine rationnelle et en déduire que le nombre cos() n'est pas solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. 5) Proposer un exercice supplémentaire dans le cadre du thème. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Trisection de l'anglePartager un angle quelconque en trois angles égaux. Pour la trisection d'un angle θ, il faut trouver t tel que 3t = θ. On a : cos 3t = 4 cos3t − 3 cos t. La trisection revient à savoir si les solutions de cette équation sont constructibles. D'après Wantzel, pour que la trisection soit possible, l'équation 4 x3 − 3 x − cos θ = 0 doit être réductible au second degré dans Q. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Trisection dePar exemple, la trisection d'un angle de mesure θ = n'est pas possible : cos(), solution de l'équation irréductible dans Q[X] : 4 x3 − 3 x − = 0, est algébrique sur Q de degré 3. Ce qui montre, du même coup, l'impossibilité de construire à la « règle et au compas » l'ennéagone régulier (9 côtés), résultat prouvé en 1801 par Gauss. Indication Soit une solution rationnelle irréductible de l'équation 8 x3 − 6 x − 1 = 0. Il s'ensuit, dans Z, l'égalité : 8p3 − 6pq2 − q3 = 0. Dans ce cas particulier, de l'égalité : 8p3 − 6pq2 = q3, on trouve que q est pair. Polynôme minimal du troisième degré P(x) = 8 x3 − 6 x − 1 admet comme solution cos(). Cette solution n'est pas rationnelle. Soit un autre polynôme Q(x) de Q[X], de degré moindre, qui aurait cos() comme 0. Q(x) est donc du second degré. En remplaçant x par cos(), on trouve que R(cos()) = 0, cette solution n'étant pas rationnelle, cette première contradiction impose donc R(x) = 0. P(x) est irréductible dans Q[X].
cos() n'est pas solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. Voir aussi une démonstration montrant si l'équation admet une solution constructive, elle admet une solution rationnelle, d'où la contradiction. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Analyse Racine rationnelle d'une équation du troisième degré à coefficients entiersSoit P(x) = ax3 + bx2 + cx + d un polynôme de degré 3 à coefficients entiers, l'équation P(x) = 0 admet une solution rationnelle x0 = avec p et q premiers eux, alors p divise d et q divise a. Par exemple pour 8x3 − 6x − 1 = 0.
Si une solution existe dans Q, c'est un des facteurs de . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Si l'équation (E) possède une racine constructible alors elle possède aussi une racine rationnelleSoit P(x) = x3 + px + q, si P possède une racine constructible alors il possède aussi une racine rationnelle. Démonstration (à vérifier !) Le but est de se débarrasser des racines carrées, étape par étape, pour arriver à un nombre rationnel. Soit a une racine constructible de P, alors il existe une tour d'extension quadratique, suite de corps P(a) = P(u + v√µ) = r + s√µ = 0 ; r, s, µ ∈ Kn−1 (car dans l'expression de r et s, il n'y a que des u, v, µ, p, q) Pour la trisection de l'angle, examinons le cas particulier où θ = . Dans K = Q(cos) = Q() = Q l'équation 4 x3 − 3 x − = 0 devient 8x3 − 6x − 1 = 0. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. dicothomieLa fonction f(x) = 4 x3 − 3x − , étudiée sur [0, 1] en raison du cosinus, a pour dérivée f’(x) = 12 x2 − 3. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution unique x0 sur l'intervalle [a, b]. La dicothomie est une méthode itérative qui permet d'obtenir de proche en proche des encadrements successifs de plus en plus précis de x0. On arrête l'algorithme lorsque la longueur de l'intervalle est inférieure à la précision p demandée. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Recherche par dicothomie |
Solution de la dicothomie | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Télécharger la figure GéoPlan trisec_dico.g2w Solution Après 6 itérations on a : 0,938 < x0 < 0,945. cos() ≈ 0,94 à 10−2 près. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Algorithmef(x) = 4*x^3−3*x −
Fin Tant que |
Calculatrices TI-92, Voyage 200rédiger l'algorithme dans l'éditeur de programmes : dicothomie() Prgm 4*x^3−3*x−1/2 → f(x) 1/2 → a 1 → b While b−a>10^(−2) (a+b)/2 → c If f(a)*f(c)<0 Then c → b Else c → a EndIf Disp c Pause EndWhile EndPrgm Puis exécuter le programme en tapant dans la fenêtre ¨Home : dichotom() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Excel
Cellule B2 pour a taper 0,5 Cellule C2 taper la formule =(B2+D2)/2 et recopier vers le bas. Cellule E2 taper la formule de la fonction =4*B2^3−3*B2−1/2 recopier ver la droite en F2 et G2, Cellule B3 taper la formule =SI(E2*F2<0;B2;C2) et recopier vers le bas, Télécharger la feuille de calcul dicothomie.xls | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Encadrement par balayageAvec la calculatrice ou un tableur dresser un tableau de valeur sur [0, 1] avec le pas 0,1 :
Avec Excel taper 0 et 0,1 dans les cases A1 et B1 et recopier ces deux cellules vers la droite jusqu'à la valeur 1, x0 est dans l'intervalle [0,9 ; 1]. On recommence avec les valeurs 0,9 et 0,91 à recopier vers la droite :
x0 est dans l'intervalle [0,93 ; 0,94]. On termine avec les valeurs 0,93 et 0,0931 à recopier vers la droite :
Après 3 itérations on a : 0,939 < x0 < 0,940. cos() ≈ 0,939 à 10−3 près. Télécharger la feuille de calcul balayage.xls Avec la calculatrice TI-92 taper la fonction dans le menu ¨y=, Recommencer avec l'origine en 0.9 et un pas de 0.01 et ainsi de suite. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Parties proportionnellesSupposons toujours que f(a) < 0 et f(b) > 0, et considérons la corde [AB] joignant les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)). D'après la figure, le point C d'intersection de cette corde avec l'axe des abscisses est déterminé par : (c−a)/−f(a) = (b−c)/f(b) soit c = (a f(b) − b f(a))/(f(b) − f(a)) Si nous remplaçons l'instruction de dicothomie : (a+b)/2 → c par l'instruction : (a f(b)−b f(a))/(f(b)−f(a)) → c on obtient la méthode des parties proportionnelles dont la convergence est, en général, un peu plus rapide que la dicothomie.
Après 4 itérations on a cos() ≈ 0,939 7 à 10−4 près. Télécharger la figure GéoPlan trisec_propor.g2w | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Point fixeDe l'équation 4 x3 − 3x − = 0 on trouve 4 x3 = 3x + et x = (3x + )1/3 permet de trouver une suite xn+1 = (3 xn + )1/3. Avec x1 = 1 on calcule en 3 itérations x4 = 0,940 à 10−3 près ; x13 = 0,939 692 6 à 10−7 près ; Méthode de Newtona est une valeur approchée de la solution cherchée. On détermine le point B d'intersection de l'axe des abscisses avec la tangente au point A(a, f(a)) à la courbe représentative de f. La tangente en A a pour équation y − f(a) = f’(a)(x − a). La fonction itérative de Newton g(x) = x − f(x)/ f’(x) permet de trouver une suite Ici g(x) = (16x3 + 1) /(6(2x +1)(2x − 1)). Avec x1 = 1 on calcule au moins deux décimales à chaque itération : et enfin x5 = 0,939 692 620 786 donne sur la TI-92 Avec la calculatrice TI-92, choisir l'option suite dans le menu mode, puis taper la suite u1(n) en fonction de u1(n−1) dans le menu ¨y= avec ui1 = 1. Préparer la construction de «l'escargot » en choisissant dans menu F7 Axes de cet écran le mode TOILE d'araignée WEB. La courbe et la droite d'équation y = x apparaît dans l'écran ¨Graph, choisir le mode F3 TRACE et afficher « l'escargot » en répétant l'appui sur la « flèche suivante ». Remarque : la courbure étant très faible, la courbe et la tangente sont peu différenciées, et sur le petit écran de la calculatrice «l'escargot » est difficilement visible. Télécharger la figure GéoPlan trisec_newton.g2w | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Fractions continuesComme cos() est compris entre et 1 le premier terme de la fraction continue est 1 et on substitue à x la fraction 1/(1+1/y) dans l'équation (E). 1/(1+1/15) < cos() < 1/(1+1/16) soit 15/16 < cos() < 16/17 Avec la calculatrice TI-92, la substitution 4 x^3 − 3 x − 1/2 | x = 1/(1+1/y) renvoie Factoriser pour obtenir (y3−15y3−9y−1)/(2 /(y+1)3). Effacer le dénominateur ou utiliser la fonction numér(. Et résoudre l'équation y3 − 15y3 − 9y − 1 = 0. Termes suivants Dans y3−15y3−9y−1 substituer y = 15+1/z. L'équation −136z3 + 216z2 + 30z + 1 admet une solution comprise entre 1 et 2. On a donc un quatrième terme égal à 1. cos() = [0, 1, 15, 1…] 1/(1+1/(15+1/2)) < cos() < 1/(1+1/(15+1/1)) soit 31/33 < cos() < 16/17 Continuer en substituant z = 1 + 1/t, et ainsi de suite… | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Développement de cos(2x)Nous allons chercher un algorithme pour calculer une suite convergeant vers cos(x). cos(2x) = cos2(x) − sin2(x) = 1 − 2sin2(x). Pour x petit sin(x) ≈ x ; cos(x) = 1 − 2sin2() ≈ 1− x2/2. Posons C(x) = 1 − cos(x) ≈ x2/2, on a C(2x) = 2C(x)(2 − C(x)). Si on se donne la valeur approchée de C(x/2n) comme valeur initiale : x2/(2 × 4n) → C, Calculatrices TI-92, Voyage 200 Rédiger l'algorithme dans l'éditeur de programmes : kos(x) Prgm 18 → n x^2/(2*4^n) → c For i,1,n 2*c*(2−c) → c EndFor Disp 1−c EndPrgm Puis exécuter le programme, après avoir choisi le mode approché, en tapant dans la fenêtre ¨Home : kos(π/9) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Capes, page no 3, créée le 18/4/2007 |