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Polygones réguliersFigures interactives avec GeoGebra De Ptolémée à Gauss, construction à la « règle et au compas » des polygones réguliers de 5, 6, 8 côtés. | |||
Sommaire1. Polygone constructible 5. Pentagone - Construction de Ptolémée |
6. Hexagone 8. Octogone 10. Dodécagone
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Construction du pentagone régulier |
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Savoir construire un polygone régulier, à n côtés, c'est savoir construire le point de coordonnées (cos Les Éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés. Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Théorème de GaussSoit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible, à la « règle et au compas », si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles. En effet, l'identité de Bézout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1. On obtient l'angle Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés : Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était constructible à la règle et au compas. Polygones constructibles Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20… les polygones à n côtés sont constructibles. Voir : solides de Platon | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Polygone régulierUn polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur et les angles la même mesure. Il peut être convexe ou croisé. Un polygone régulier à n côtés se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de Un polygone régulier convexe est composé de (n - 2) triangles. Si on additionne les angles de ces triangles, on obtient la somme des angles intérieurs du polygone. La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à Les rayons d'un polygone inscrit dans un cercle relient ses sommets à son centre. Les apothèmes relient les milieux des côtés au centre.
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5. Pentagone - Construction de Ptolémée | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or : tracer un cercle (c1) de centre O, de rayon r, passant par A(r, 0). K est le milieu de [OA’], le cercle (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet, KB’ = KU = r Le point B a pour coordonnées OI = r cos | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6. Hexagone | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon r de ce cercle. Construction de l'hexagone à partir du cercle circonscritPour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus. Géométrie dynamique Placer deux points O et A, Le cercle de centre A, passant par O, coupe le cercle (c) en B et F, Tracer les côtés de l'hexagone ABCDEF. Cliquer dans la case à cocher pour effacer les cercles de construction.
Voir : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. OctogoneLa longueur du côté est : 2 r sin Voir le calcul du sinus : angle trigonométrie | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Octogone inscrit dans un cercleTracer deux diamètres [AE] et [CG] perpendiculaires du cercle : ACEG est un carré.
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Octogone inscrit dans un carréTracer les diagonales du carré et marquer le centre O du carré, point d'intersection des diagonales. Tracer alternativement les cercles centrés sur chaque sommet, passant par le centre O. En joignant les points d'intersection de ces cercles avec les côtés du triangle, on obtient un octogone régulier.
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Octogone croisé
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10. Dodécagone avec quatre triangles équilatérauxQuatre triangles équilatéraux construits à l'intérieur d'un carré À l'intérieur d'un carré ABCD, construire quatre triangles équilatéraux ABE, BCF, CDG et DAH. Les quatre sommets internes des triangles équilatéraux forment un carré EFGH. Le milieu des petits côtés et les intersections des côtés des triangles proches des sommets forment un dodécagone régulier. L'aire du dodécagone est égale au cinquième de l'aire du carré.
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Table des matières | |||
Constructions du pentagone régulier | |||
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Page no 93, créée le 30/8/2009 | |||
GeoGebraBook : 
Avec GéoPlan
, sin 
, il vient : u
= 
la relation de Bézout 2 × 3 - 5 = 1,
- 
= 
, 
) = 
, le point B tel que (
) = − 
= φ (nombre d'or)
= φ
.
, d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = r(
) = 
et OI = 
= − 
r,
= 
≈ 0,765 r