Descartes et les Mathématiques La géométrie dans l'espace au bac S 2014corrigé de l'exercice Un exercice de l'ancienne seconde qui fait scandale en terminale S ! | |
bac S maths 2014 corrigéExercice du sujet national 2014 Choix d'un plan de l'espace pour réaliser un graphe : Google friendly |
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Exercice 4 (5 points)Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Dans l’espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. 1. On désigne par P le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). a. Donner les coordonnées des points D et F. 2. On désigne par M un point de la droite (DF) et par t le réel tel que DM = t DF. a. Démontrer que ME2 = t2 – t + . | |
IndicationsABCD est un tétraèdre trirectangle. 1. Instructions GéoSpace P plan passant par A et perpendiculaire à la droite (DF) H point d'intersection de la droite (DF) et du plan P a. Donner les coordonnées des points D et F. b. Donner une représentation paramétrique de la droite (DF). De l'équation paramétrique vectorielle = t , on déduit la représentation paramétrique : c. Déterminer une équation cartésienne du plan P. P est un plan orthogonal à 2 (1, 1, -2) à pour équation x + y -2 z = d. x + y -2 z = 0. d. Calculer les coordonnées du point H. e. Démontrer que l’angle EHG est un angle droit. ( - , - ,.- ) ; (- , - ,.- ). Calculons le produit scalaire . = × (- ) + (- ) × + (- ) × (- ) = (-1/18) + (-1/18) + 1/9 = 0. Remarque : AH = est la hauteur du tétraèdre rectangle isocèle et le volume (coin de cube) est . Télécharger la figure GéoSpace national_2014_1.g3w | |
2. On désigne par M un point de la droite (DF) et par t le réel tel que DM = t DF. Télécharger la figure GéoSpace national_2014.g3w a. Démontrer que ME2 = t2 – t + . b. Démontrer que le triangle MEG est isocèle en M. Les points E et G sont symétriques par rapport à (AF), bissectrice de l'angle BÂC. Ils sont donc symétriques par rapport au plan (AFD), orthogonal à (ABC). Dans le triangle rectangle isocèle AEG, de petits côtés , l'hypoténuse EG = = . c. Justifier que α est maximale si et seulement si sin () est maximal. En effet, les fonctions et sin(x) sont croissantes sur [0,]. ME et sin() sont inversement proportionnelles α est maximale si et seulement si ME est minimal. ME est positif donc la fonction carrée est croissante : ME est minimal.si et seulement si ME2 est minimal. d. Conclure. Le minimum est celui de la parabole obtenu pour t = 5/6, soit EM2 = 5/24 D'où sin() = × rac(24/5) = rac(3/5), on en déduit que α ≈1,772 radian, soit 101,5°. IM est la distance minimum entre les droites (DF) et (EG). La droite (IM) en est la perpendiculaire commune. Le plan (MEG) d'équation x + y -2 z = est orthogonal à la droite (DF) et est parallèle au plan P. Télécharger la figure GéoSpace national_2014_2.g3w Note personnelle : un bel exercice. L'introduction de l'angle α est un peu artificielle et permet seulement de visualiser une fonction irrationnelle. | |
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Page no 200, réalisée le 24/6/2014 |