Descartes et les Mathématiques
La géométrie dans l'espace en seconde
GéoSpace au lycée : règle d'incidence, alignement, intersection, théorème des 3 perpendiculaires - Solides de Platon.
Sommaire
1. Orthogonalité dans l'espace : définitions
Théorème de la porte
Théorème du toit
Théorème des 3 perpendiculaires
2. Règle d'incidence
Montrer un alignement
3. Traces d'un plan
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1. Orthogonalité dans l'espace : définitions
1.a. Deux droites de l'espace sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes et forment un angle droit (dans le plan qui les contient toutes deux).
Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires.
Avec GéoSpace, créer une vue avec un plan de face contenant une des droites pour visualiser l'orthogonalité.
1.b. Théorème de la porte
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes distinctes de ce plan.
Truc du menuisier : la droite (d), perpendiculaire aux droites (d1) et (d2) sécantes en O, est perpendiculaire au plan (p). La porte (p1) tourne alors normalement autour de (d).
Figure 3D dans GeoGebraTube : théorème de la porte
Théorème : une droite perpendiculaire à deux droites sécantes distinctes d'un plan est orthogonale à ce plan (ces deux droites sont sécantes au point d'intersection de la droite orthogonale et du plan).
Propriété : une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Remarque : pour démontrer que deux droites sont orthogonales, il suffit de démontrer que l'une des droites appartient à un plan orthogonal à l'autre.
1.c. Théorème du toit
Si on a :
• deux droites parallèles d1 et d2,
• un plan P1 contenant d1,
• un plan P2 contenant d2,
alors la droite d d'intersection des deux plans P1 et P2, si elle existe, est parallèle aux droites d1 et d2.
Figure 3D dans GeoGebraTube : théorème du toit
Voir : intersection de plans
WikiPédia : théorème du toit
Prisme droit de base un trapèze
Diagonales des faces non parallèles
ABCDEFGH est un prisme droit de base le trapèze ABEF,
avec (AB)//(EF) et EF < AB.
Que peut-on dire des diagonales (DE) et (CF) des faces ADHE et BCGF non parallèles ?
Figure 3D dans GeoGebraTube : diagonales d'un prisme de base un trapèze
Illustration du théorème du toit
CDHG est un trapèze, avec (CD)//(GH),
EFGH est un rectangle, donc (GH)//(FE),
d'où (CD)//(FE), CDEF est un trapèze.
La droite (EF) est contenue dans le plan (CDE).
Les droites (DE) et (CF) sont coplanaires et donc concourantes en K.
Soit I et J les points d'intersection des côtés non parallèles des trapèzes.
Les plans (ADHE) et (BCGF) ont pour intersection la droite (IJ).
D'après le théorème du toit, (IJ) est parallèle à (AD) et (BC).
Le point K, contenu dans ces deux plans, est situé sur (IJ).
1.d. Théorème des trois perpendiculaires
Soit (d) est une droite contenue dans un plan (p) et M un point de l'espace.
Si H est le projeté orthogonal de M sur (p) et K est le projeté orthogonal de H sur (d), alors K est le projeté orthogonal de M sur (d).
Indication
La droite (MH) est orthogonale à (d) car elle est orthogonale au plan (p) qui contient la droite (d). (HK) est orthogonale à (d) par définition du point K. Le plan (MHK) est donc orthogonal à (d) car il contient deux droites sécantes orthogonales à (d). Par suite, (d) est orthogonale à toute droite de (MHK) et en particulier à (MK) ce qui prouve que K est le projeté orthogonal de M sur (d).
Figure 3D dans GeoGebraTube : théorème des trois perpendiculaires
2. Règle d'incidence
2.a. Pour montrer l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.
A, B et C sont trois points non alignés n'appartenant pas à un plan (p).
La droite (AB) coupe le plan (p) en C’,
la droite (AC) coupe le plan (p) en B’,
la droite (BC) coupe le plan (p) en A’.
Les points A’, B’ et C’ sont alignés.
En effet, ils appartiennent à la droite d'intersection des deux plans sécants (ABC) et (p).
Figure 3D dans GeoGebraTube : règle d'incidence
2.b. Montrer un alignement
Dans l'espace, soit trois demi-droites distinctes (d1), (d2), (d3) d'origine O.
Sur chaque demi-droite on place deux points : A1 et B1 sur (d1) ;
A2 et B2 sur (d2) ; A3 et B3 sur (d3).
Les droites (A1A2) et (B1B2) se coupent en I, (A2A3) et (B2B3) en J et (A1A3)
et (B1B3) en K
Que peut-on dire des points I, J et K ?
Indication
Considérer l'intersection des plans (A1A2A3) et (B1B2B3).
Étudier les situations de parallélisme : (A1A2) // (B1B2) par exemple.
Figure 3D dans GeoGebraTube : montrer un alignement
2.c. Lieux géométriques et point fixe
A, B, P et P’ sont quatre points d'un plan (p), les droites (AP) et (BP’) n'étant pas parallèles.
Selon la figure ci-contre, sur la demi-droite (d) passant par le point P, perpendiculaire au plan (p), on place un point M variable.
Le plan (ABM) coupe la demi-droite (d’), perpendiculaire au plan (p), passant par P’, au point M’.
Les droites (AM) et (BM’) se coupent en I, et (AM’) et (BM) en J.
Lorsque l'on déplace le point M, quel est le lieu géométrique de I ? de J ?
Montrer que la droite (IJ) passe par un point fixe.
Figure 3D dans GeoGebraTube : lieux et point fixe dans l'espace
3. Traces d'un plan
Tracer un plan en perspective
Comment faire un plan avec GéoSpace
Pour représenter un plan, placer trois points dans ce plan,
compléter le parallélogramme formé par ces trois points
et tracer trois des côtés qui représentent des bords en perspective.
Figure 3D dans GeoGebraTube : tracer un plan en perspective
Trois plans sécants (p1), (p2) et (p3) se coupent en O.
La droite (d1) est l'intersection des plans (p2) et (p3),
(d2) est l'intersection des plans (p1) et (p3),
(d3) est l'intersection des plans (p1) et (p2).
Trois points distincts A, B et C sont dans les plans (p1), (p2) et (p3).
Trouver les traces du plan (ABC) sur chacun des trois plans.
Figure 3D dans GeoGebraTube : traces d'un plan
Si (BC) est parallèle au plan (p1), la trace dans (p1) est la parallèle à (BC) passant par A,
sinon la droite (BC) coupe le plan (p1) en M et la trace sur (p1) est la droite (AM).
La droite (AM) coupe éventuellement (d3) en I et (d2) en J.
Les traces sont alors les droites (IB) et (JC) ; en général, la trace du plan (ABC) est le triangle IJK.
Dans les cas particuliers, utiliser des parallèles passant par des sommets du triangle ABC.
