Descartes et les Mathématiques Statistiques doubles en TES avec Casio FX-9850Ajustements linéaires et non linéaires en Terminale ES. | |||
SommaireI. Entrée des données |
Mobile friendly
Page no 25, réalisée le 15/11/2002 | ||
Calculatrice TI-92 |
Casio |
TI-92 |
Annales |
Les calculs se font en utilisant les listes dans le mode STAT pour l'enregistrement des données et la lecture des résultats et le mode RUN pour certains calculs. Initialisation : utiliser list 1 pour la variable xi et list 2 pour la variable yi, les fréquences étant bloquées à 1. List 3 est éventuellement utilisée pour le calcul des valeurs , en fonction de x, des ordonnées de la droite d'ajustement et list 4 pour le calcul des résidus. En cas de problème vérifier les paramètres dans le menu STAT GRPH SET : Entrée des données : se placer dans le mode STAT. Il est prudent d'effacer les données avec le deuxième menu des STAT : 8 DEL-A en se plaçant sur chacune des listes. Puis dans list 1 et list 2 taper chaque valeur suivie de EXE. Ne faire aucune erreur, ni oubli ni valeur antérieure non effacée et vérifier. Exemple Cinéma et télévision (Fractale TES exercice 21 page 24) |
Département |
Milliers de spectateurs au cinéma |
Nombre de téléviseurs |
Loire Atlantique |
2 294 |
381 572 |
Maine et Loire |
1 317 |
240 093 |
Vendée |
741 |
190 037 |
Sarthe |
735 |
188 840 |
Mayenne |
346 |
99 650 |
Dessiner le nuage de points. Calculer les moyennes et . Menu CALC 2VAR. = = ≈1086 ; = = ≈ 220 038. Tracer le centre de gravité G(, ) et une droite D passant par G traversant le nuage de points « au plus près ». Lire sur le graphique les coordonnées u et v d'un point M de cette droite (assez éloigné de G). Par exemple M(2000, 320 000). Puis trouver le coefficient constant sachant que l'équation de la droite passant par G est y − = a (x − ), soit b = − a = 220 038 − a 1086 = 101 664. Taper STO ALPHA B pour mémoriser b (écran : ans → B). |
Le coefficient directeur ayant été mémorisé dans la variable A et le coefficient constant dans la variable B, en mode
RUN placer les valeurs en fonction de x des ordonnées de la droite d'ajustement
d'équation y = a x + b dans list 3 (les valeurs de list 3 permettent aussi de tracer la droite). A list 1 + B → list 3 Calculer les résidus et les ranger dans list 4 : (list 2 − list 3)2 → list 4 puis calculer leur somme : taper deux fois sur 8 : valider Sum puis 8 List : Sum List 4 Dans cet exempl,e on trouve que la somme des résidus est égale à ≈ 2,60 109. |
Cette méthode n'est pas à proprement parler au programme de terminale, mais c'est un bon exercice sur les équations de droites et comme telle e peut être proposée en exercice (Fractale no 13 page 23). Elle n'est malheureusement pas programmée dans la calculatrice Casio. La série étant ordonnée, la partager en deux parties. Ici les deux départements les plus importants d'une part, et les trois autres d'autre part. Calculer les coordonnées des points G1 et G2. G1(u, v), correspond au point moyen associé aux points d'abscisses les plus petites, et G2(s, t) correspondant aux autres points du nuage. Une méthode avec la calculatrice CasioEn mode RUN, après la touche OPTN, recopier list 1 et list 2 dans list 3 et list 4 puis dans list 5 et list 6. list 1 → list 3 Dans le menu LIST, avec la touche DEL, supprimer les (ici les trois) derniers éléments de list 3 et list 4 et les (ici les deux) premiers de list 5 et list 6 En mode Run, calculer les moyennes (OPTN List 8 Mean) Calculer le coefficient directeur a =
= = 126,3. Puis le coefficient constant sachant que l'équation de la droite passant par exemple par G1 est : y − v = a (x − u) ; soit b = v − a u = 310832 − A×1805.5 = 82811. La droite de Mayer a donc pour équation y = 126,3 x + 82811. On peut effectuer, comme ci-dessus chapitre III, le calcul de la somme des résidus. |
La calculatrice donne les principales valeurs remarquables, le coefficient de corrélation, l'équation de la droite de régression Dy / x. On peut obtenir un graphique et une estimation permettant de prévoir en fonction de x ou en fonction réciproque de y. V.a. Calcul des valeurs caractéristiquesDans le mode STAT, utiliser les options CALC puis 2VAR. Moyennes= = ≈1086 = = ≈ 220 038. Variances et écarts-typesNoter les valeurs trouvées sur l'écran de la calculatrice : Covariance∑xy = − =
− 1086 × 220 038 ≈ … Enfin, la variable X et l'écart-type x∑n x2 suivi de EXE. La calculatrice affiche ∑x2 : Puis touche EXIT et choisir la variable Y et le calcul de y∑n x2 suivi de EXE. La calculatrice affiche ∑ y2 à recopier ci-dessus dans : De même, pour le calcul de la covariance utiliser la variable Y puis X, en mémorisant l'effectif n : V.b. droite de régressionRevenir au mode STAT, choisir CALC ou GRPH, puis REG et X. Explications à fournirLa droite de régression a pour coefficient directeur : a = ≈ ≈ 134,7. La droite passe par le centre de gravité G(, ) à représenter sur le graphique ; son équation est : y − = a (x − ). Le coefficient constant est b = − a ≈ 73667. Mémorisation des coefficientsAprès l'exécution des calculs de la régression avec la
touche MENU, choisir le mode calcul RUN. Avec la touche VARS choisir F3 les STAT puis encore F3 le mode GRPH. a → A et le coefficient constant b dans la variable B : F2 → ALPHA B b → B Il est aussi possible de mémoriser l'équation dans l'éditeur de fonction avec le menu GRPH et, après le calcul de régression REG et X, utiliser la l'option COPY. V.c. Coefficient de corrélationLe coefficient de corrélation r est un nombre compris entre −1 et 1. Le voisinage de 1 ou de −1 indique en principe une bonne corrélation, sans que l'on puisse directement en dire plus. On ne peut conclure à la validité d'une corrélation qu'en fonction du contexte statistique. r = ≈ ≈ 0,987. Très bon taux de corrélation. Ce qui montre qu'actuellement en France, contrairement à une idée reçue, le développement du Cinéma va de pair avec celui de la télévision. Mémorisation du coefficient Après l'exécution des calculs de la régression avec la touche MENU, choisir le mode calcul RUN. Avec la touche VARS choisir F3 les STAT puis encore F3 le mode GRPH. F1 → ALPHA R EstimationLorsque r est voisin de 1 ou de −1 on peut effectuer des estimations avec, en fonction du contexte, une bonne fiabilité. Dans le mode RUN avec la touche OPTN choisir les STAT : taper : 1000 208372 De même : 500 000 3164,9 V.d. Calcul de la somme des résidusComme au chapitre III on va placer dans list 3 les valeurs calculées en fonction de x des ordonnées des points de la droite d'ajustement d'équation y = a x + b. Avec les flèches de direction se placer sur le titre list 3 qui apparaît en inversion vidéo. Pour les résidus, carrés des écarts, se placer avec les flèches de direction sur le titre list 4 qui apparaît en inversion vidéo.
list 4 contient alors les résidus. Se placer sur une case vierge, par exemple, dans list 5 et calculer leur somme : taper deux fois sur 8 : valider Sum puis 8 List et enfin taper 4 et terminer par EXE : affichage : Sum List 4 On calcule ainsi la somme des résidus égale à : ≈ 1,08 109. La droite Dy / x est donc une meilleure approximation que les ajustements précédents. |
VI.a. Fonction inverse : valeur d'une voiture d'occasionVoici, en 1999, la cote Argus d'un type de voiture d'occasion : |
Année de mise en circulation |
1998 |
1997 |
1996 |
1995 |
1994 |
1993 |
1992 |
Cote Argus en milliers de francs |
58 |
48 |
38 |
32 |
24 |
19 |
15 |
Le but de ce problème est d'estimer le prix d'une voiture de ce type non cotée mise en circulation en 1990. Ajustement classique On note x l'âge de la voiture (en années) et y la cote Argus (en milliers de francs). 1.a. Représenter graphiquement la série (xi, yi). b. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x et tracer cette droite. (Effectuer les calculs avec trois chiffres significatifs). c. Calculer le coefficient de corrélation linéaire r1de y en x. d. Peut-on estimer la valeur d'une voiture mise en circulation en 1990 ? Expliquer. Calculs des inverses2. Les spécialistes pensent qu'on aura un meilleur ajustement en remplaçant les sept valeurs yi par les valeurs . a. Présenter dans un tableau la série double (xi, zi), i variant de 1 à 7. b. Calculer le coefficient de corrélation linéaire r2 de z en x. Comparer r1 et r2. c. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression de z en x sous la forme z = mx + p (m et p étant arrondis à 10− 6 près). d. À l'aide de cette équation peut-on estimer la valeur d'une voiture mise en circulation en 1990 ? Donner le résultat et expliquer. Indications de correction Dans la première partie introduire, en mode STAT, xi
dans list 1 et yi dans list 2. La séquence CALC REG X permet de trouver l'équation y = − 7,17 x + 62,1. Pour la deuxième partie conserver list 1 pour la variable xi ; Transférer la variable yi de list 2 vers list 3 (list 2 → list 3) : Puis faire le changement de variable zi dans list 2 (en calculant 1/list 3 → list 2) ; En tapant deux fois sur EXIT, le retour au mode CALC REG X permet de trouver le coefficient r2 = 0,973 et l'équation z = m x + p avec m = 8,115 10– 3 et p = 4,197 10– 3. Le coefficient r2 est en principe moins pertinent que r1 mais son voisinage de 1 indique une bonne corrélation : |
Au cours d'une séance d'essai, un pilote d'automobile doit, quand il reçoit un signal sonore dans son casque, arrêter le plus rapidement possible son véhicule. Au moment du top sonore, on mesure la vitesse de l'automobile puis la distance nécessaire pour arrêter le véhicule. Pour six expériences, on a obtenu les résultats suivants : |
Vitesse vi en km/h |
21 |
43 |
62 |
77 |
98 |
115 |
Distance d'arrêt yi en m |
8 |
20 |
33 |
55 |
102 |
137 |
1. Calculer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire r1de y en v. 2. Les spécialistes pensent qu'on aura un meilleur ajustement en remplaçant les six valeurs vi
par les valeurs xi = vi2. 3. Dans un repère orthogonal, construire le nuage de points associé à cette nouvelle série double : 4. a. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation
de la droite de régression de y en x sous la forme y = mx + p (m et p étant arrondis à 10– 2 près). b. Quelle est la distance d'arrêt estimée correspondant à une vitesse de 150 km/h ? c. À l'aide de cette équation, déterminer la valeur estimée de x correspondant à une distance d'arrêt de 180 m, puis la vitesse correspondante du véhicule. d. Le manuel du Code de la route donne, pour calculer la distance d'arrêt (en mètres), la méthode suivante : Indications de correction Pour la première question introduire, en mode STAT, vi dans list 1 et yi dans list 2. La séquence CALC REG X permet de trouver r1 = 0,96. L'équation d'ajustement, non demandée, y = 1,4 v − 37,6 qui donne des valeurs négatives pour les vitesses inférieures à 27 km/h et des distances de freinage sous-évaluées pour les grandes vitesses n'est pas satisfaisante. Pour la suite, conserver list 2 pour la variable yi ; Transférer la variable xi de list 1 vers list 3 (list 2 → list 3) : Puis faire le changement de variable xi dans list 1 (en calculant le carré : list 32 → list 1) : En tapant deux fois sur EXIT, le retour au mode CALC REG X permet de calculer r2 = 0,996 ce qui est une très bonne corrélation. L'équation y = m x + p avec m = 0,0104 et p = − 1,09 donne la distance de freinage ne fonction de la vitesse : y = 0,0104 v2 − 1,09. Pour v = 150 on peut estimer la distance de freinage à 232 mètres. On peut prévoir qu'une voiture s'arrêtant sur 180 m ferait du 132 km/h. La prévention routière utilise la fonction y = 0,01 v2 qui donne une très bonne approximation et permet de prévoir 225 m de freinage pour 150 km/h ou 134 km/h pour 180 m de freinage. |
Lors d'une épidémie, on a relevé toutes les semaines xi le nombre de cas yi. |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
yi |
94 |
221 |
446 |
1050 |
1. Représenter le nuage de points dans un repère convenable. Un ajustement affine paraît-il justifié ? 2. On pose zi = ln yi (ln désigne le logarithme népérien). Calculer l'équation de la droite de régression de z en x par la méthode des moindres carrés. 3. Trouver une relation entre x et y de la forme y = α βx. 4. Combien de malades peut-on prévoir pour la cinquième semaine ? Indications de correction Question 2. Introduire xi dans list 1 et yi dans list 3. Faire le changement de variable zi (ln list 3 → list 2) : En tapant deux fois sur EXIT, le mode CALC REG X permet de trouver l'équation ln y = b x + a avec b = 0,7941 et a = 3,764. Question 3. Transférer la variable yi
de list 3 vers list 2 (list 3 → list 2) ; De nouveau le mode CALC REG EXP permet de trouver : Question 4. On a une bonne corrélation, avec r = 0,9992 donc on peut prévoir pour la cinquième semaine α β5 = 2287 malades. |
La marge brute d'autofinancement (M.B.A.) d'une entreprise de 1996 à 2001 en pourcentage de son chiffre d'affaires est donnée par le tableau suivant où xi représente le rang de l'année et yi la M.B.A. en pourcentage : |
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
yi |
8,13 |
8,51 |
8,79 |
9 |
9,15 |
9,31 |
1. Représenter le nuage de points dans un repère convenable. 2. On pose zi = eyi. Calculer l'équation de la droite de régression de z en x par la méthode des moindres carrés. 3. En déduire une relation entre x et y. 4. En quelle année la marge brute d'autofinancement devrait dépasser 10 % ? Indications de correction Introduire xi dans list 1 et yi dans list 3. Faire le changement de variable zi (ex list 3 → list 2) : Le mode CALC REG X permet de trouver l'équation ey = a x + b avec a = 1518 et b = 1933 ; r = 0,9996 indiquant une très bonne corrélation. On a donc la relation ey = 1518 x + 1933 soit y = ln(1518 x + 1933). Utilisation du programme de la calculatriceLe programme d'ajustement par régression logarithmique effectue un ajustement linéaire entre les variables ti = ln xi et yi. Transférer la variable yi de list 3 vers list 2 : De nouveau dans le mode STAT, CALC REG LOG permet de trouver : On a alors la relation y = 0,6575 ln x + 8,094. Avec une moins bonne corrélation, on prévoit 10 % en 2009 au bout de 14 ans. |
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