Rectangle inscrit - Figures dynamiques

1. Question sur le forum cadxp

Posté par Patrick le 27/7/2004 à 23:22

Un problème de géométrie intéressant soulevé par un utilisateur CAO (Tom), sur le forum Planetar :

1\ la largeur du petit rectangle, par exemple 10 unités.
2\ je veux que chaque sommet du petit rectangle soit situé sur un côté différent du grand rectangle, et ce quel que soit le grand rectangle initial.

La solution peut être manuelle, mathématique ou algorithmique de façon à être implémentée en Lisp ou VBA par exemple.

Aucune solution n'a été trouvée pour l'instant…

Une solution

L = 75 longueur du grand rectangle vert et H = 54 largeur ; l = 83.14 longueur du petit rectangle bleu.

Un peu de maths…

Variables :
L = AB la longueur du grand rectangle ABCD vert,
H = AD la hauteur (largeur) de ce même rectangle,
l = NP la longueur du petit rectangle MNPQ bleu,
h = MN =10 la hauteur de ce même rectangle.
x = AN le petit côté du petit triangle rectangle AMN du coin,
y = AM le grand côté de ce triangle ;
x’ = NB le grand côté du grand triangle BNP,
y’ = BP le petit côté de ce triangle.

Télécharger les figures GéoPlan cadxp.g2w et cadxp_2.g2w

Mise en équation

x + x’ = L
y + y’ = H
x² + y² = h² d'après le théorème de Pythagore, dans le triangle AMN.
x / y’ = y / x’ (= h / l) est égal au rapport de similitude des triangles rectangles AMN et BNP.

Pour résoudre ce système de quatre équations à quatre inconnues, substituer les deux premières équations à la dernière :

x (L - x) = y (H - y) d'où Lx - x² = Hy - y² et Lx - x² - Hy + y² = 0.

La relation de Pythagore permet de calculer y² = h² - x² donc - 2 x² + Lx + h² = Hy.

Il suffit d'élever au carré et de substituer à nouveau y² : (- 2 x² + Lx + h²)² = H²(h² - x²).

On obtient une équation du quatrième degré qui a deux solutions réelles de signes contraires, seule la solution positive convient.

Il n'est pas possible d'obtenir une solution exacte, mais une calculatrice comme la TI-92 ou le logiciel Derive permettent de trouver une solution approchée.

Par exemple, pour L = 90 et H = 64 la TI-92 trouve x = 5,500049.

Géométrie dynamique

Créer à partir d'un point M de [AD] une ligne brisée MNPM’ telle que MN = h et continuer à angles droits. En général, M et M’ sont distincts.
Déplacer le point M pour le faire coïncider avec le point M’ pour fermer le rectangle et trouver manuellement une solution approchée.

Figure interactive avec GéoPlan

• Figures classiques : voir la version non interactive de cette page

Cliquer dans la figure :
taper L pour modifier la longueur L avec les flèches du clavier,
taper H pour modifier la hauteur H,
taper M et déplacer le point M pour le faire coïncider avec le point M’,
touche + ou - pour modifier le pas de pilotage de M au clavier.

2. Variante : la boite à lettres

Une boite à lettres normalisée doit, suivant les spécifications de la poste française, respecter les dimensions :
H= 26 cm × L = 26 cm × P = 34 cm.

Déterminer la largeur d'un paquet dont la face rectangulaire de longueur 30 cm a été insérée suivant la figure ci-contre.

3. Olympiades académiques 2004 - Mise en boite

Amiens

Un objet a la forme d'un parallélépipède rectangle de base carrée de côté a = 68 cm et de hauteur inconnue. Il est vendu conditionné dans une boîte cubique de côté a = 68 cm dont il épouse la forme.
Alors qu'on l'insère dans la boîte, l'objet reste coincé en position inclinée, la boîte ferme quand même, l'arête supérieure affleurant juste le couvercle.
Quelle est la hauteur de l'objet ?

Indications

La « vue de face » d'une perspective cavalière de la figure permet de transformer ce problème en problème plan.

On peut se placer a priori dans le cas particulier où l'objet est centré sur la diagonale de la face, ce qui donne la figure suivante :

La diagonale ac du carré vaut a = 2y + l= 2y + a,
donc 2y = a - a = a( - 1).

Ensuite on constate que d'après la symétrie de la figure, le triangle AMQ dans le coin inférieur gauche est un demi-carré, par conséquent h = 2y.

La hauteur de l'objet vaut donc h = 68( - 1) ≈ 28,17 cm.

Télécharger la figure GéoPlan rectangle_inscrit.g2w