Descartes et les Mathématiques La géométrie des Olympiades 2002 à 2005Choix de sujets de géométrie des annales académiques et indications de solutions avec GéoPlan-GéoSpace | |
Sommaire2005 1. Un ennéagone Carrés inscrits dans un triangle 2004 3; Pliage du coin d'une feuille Carré d'aire 5 fois plus petite 2002 Sujets traités dans d'autres pages du site 2002 Deux cercles tangents, tangents à un carré 2004 |
Dans d'autres pages du site Sujet national Transformer un quadrilatère en triangle Amiens Partage de l'angle d'un triangle en 4 : construction de-ci, de-là Existe-t-il un triangle ABC tel que la hauteur issue de A, la bissectrice de l'angle BÂC et la médiane relative au côté [BC] partagent l'angle BÂC en quatre angles de même mesure ? Olympiades 2004 - Dijon Réciproque : prouver qu'un triangle ayant angle partagé en 4 angles de même mesure par la hauteur, la bissectrice et la médiane issues du sommet de cet angle, dans cet ordre, est obligatoirement rectangle. Montpellier Construction d'une parabole, à la manière des compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge. Toulouse |
20051. Un ennéagoneAix-Marseille Un ennéagone est un polygone à neuf côtés. On considère la figure suivante dans laquelle AB1 = B1B2 = B2C ; BC1 = C1C2 = C2A et BA2= A2A1 = A1C.
1. Démontrer que la droite (AE) est perpendiculaire à la droite (BC). De même, la droite (BF) est perpendiculaire à la droite (AC) et la droite (CG) est perpendiculaire à la droite (AB) (on ne demande pas de le démontrer). 2. Quel est le rapport de l'aire de l'ennéagone (A1A2F C1C2E B1B2G) sur celle du triangle (ABC) ? | |
1.b. Solution1. • Les points A, C2 et B sont alignés dans cet ordre. = = D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (B1C2) et (BC) sont parallèles. • E est l'orthocentre du triangle (AB1C2) car les droites (B1E) et (C2E) sont, par construction, deux hauteurs de ce triangle. (AE) est la troisième hauteur de ce triangle, donc (AE) est perpendiculaire à (B1C2). • (B1C2) et (BC) et (AE) est perpendiculaire à (B1C2) : on en déduit que (AE) est perpendiculaire à (BC). 2. • Les points A, C2 et B sont alignés. Les points A, E et H sont alignés. (BH) // (C2E) car elles sont toutes deux perpendiculaires à (AC). D'après le théorème de Thalès = = • Le quadrilatère (AC2EB1) est donc une réduction de rapport du quadrilatère (ABHC). Donc : Aire(AC2EB1) = Aire(ABHC) = [Aire(ABC) - Aire(BHC)]. Par un raisonnement analogue, on montre que : • Par addition, il vient : Aire(AC2EB1) + Aire(BA2FC1) + Aire(CB2GA1) = [3 × Aire(ABC) - Aire(BHC) - Aire(AHC) - Aire(AHB)] L'aire de l'ennéagone (A1A2F C1C2E B1B2G) est complémentaire de l'aire précédente, dans le triangle (ABC). On en déduit : Aire(A1A2F C1C2E B1B2G) = Aire(ABC). | |
2. Ombre d'une fenêtreAmiens Figure 1 La figure 1 représente une fenêtre éclairée par le soleil. A’ est l'ombre du point A. Tracer son ombre sur le plancher (l'ombre du coin inférieur gauche est donnée). | |
Figure 2 La figure 2 représente la même fenêtre éclairée cette fois par un lampadaire. Tracer son ombre sur le plancher (l'ombre du bord inférieur est donnée). A’ est l'ombre du point A. B’ est l'ombre du point B On réalisera les constructions, qui resteront apparentes, sur la feuille jointe qui sera rendue avec la copie. | |
2.b. SolutionsFigure 1 : fenêtre éclairée par le soleil. On construit tout d'abord la droite (AA’). En considérant que le soleil se trouve à l'infini, on admet que l'angle d'incidence du soleil est identique pour les quatre coins de la fenêtre. On trace donc les parallèles à (AA’) passant par B, C et D. On construit ensuite les points A2 et B2, pieds des deux côtés de la fenêtre. Les points A2, A et D sont alignés, donc leurs projetés le sont aussi (idem pour B2, B et C). Or A2 et B2 sont leurs propres projetés. On peut donc construire le point D’, point d'intersection de la parallèle à (AA’) passant par D et de la droite (A2A’). On trace ensuite la parallèle à (A2A’) passant par B2, et les points B’ et C’ sont les points d'intersection de cette droite avec les parallèles à (AA’) passant par B et C. Le reste de la construction se fait alors sans peine. | |
Figure 2 : fenêtre éclairée par le lampadaire On construit tout d'abord le point d'intersection des droites (AA’) et (BB’), nommé I. On construit ensuite les points A2 et B2, pieds des deux côtés de la fenêtre. Les points A2, A et D sont alignés, donc leurs projetés le sont aussi (idem pour B2, B et C). Or A2 et B2 sont leurs propres projetés. On peut donc construire le point C’, point d'intersection des droites (IC) et (B2B’), et le point D’, point d'intersection de (ID) et (A2A’). Le reste de la construction se fait alors sans peine. | |
Carrés inscrits dans un triangleOn considère un triangle ABC dont les trois angles sont aigus. On inscrit dans ce triangle le carré IJKL tel que I et J soient sur [BC], K sur [AC] et L sur [AB] comme indiqué sur la figure ci-dessous. On peut construire, de même, deux autres carrés C2 et C3 inscrits dans le triangle ABC, l'un «posé» sur [CA], l'autre « posé » sur [AB]. 1 : Exprimer le côté du carré IJKL en fonction de a et h. Voir aussi : construction avec une homothétie Cas particulier : carré inscrit dans un triangle rectangle | |
20043. Pliage du coin d'une feuilleTriangle dans rectangle : une lumière neuve sur un problème ancien Problème connexe avec les travaux de l'ingénieur allemand Walter Porstmann, qui a établi en 1922 le rapport de la longueur à la largeur de la feuille A4 à . Fiche professeur Ce problème ouvert peut faire l'objet d'une activité réalisable en première S ou en terminale S, après le cours sur l'étude des fonctions, y compris la composée de fonctions. TICE : utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour émettre des conjectures, car la solution mathématique n'est ni directe, ni évidente. En une séance d'une heure, les élèves construisent la figure avec GéoPlan. Le logiciel leur permet d'émettre des conjectures. Les plus rapides construisent la représentation graphique de la fonction. | |
Exercice Triangle inscrit dans un rectangleNational Soit ABCD une feuille de papier rectangulaire de largeur AB = 4 et de longueur BC = 6. Soit R un point de [AB] (bord inférieur de la feuille) et T un point de [AD] (bord droit de la feuille). On replie la feuille suivant le segment [RT] et on appelle S la nouvelle position du point A (coin inférieur droit de la feuille). Dans tout l'exercice, on s'intéresse au cas où S est sur le segment [BC] (bord gauche de la feuille). On pose AR = x, AT = y. 1°) Trouver les valeurs minimale et maximale de x. Approche GéoPlan Placer un point libre R sur le segment [AB]. Si R est à gauche du milieu de [AB] le cercle de centre R passant par A coupe le segment [BC] en S. La médiatrice de [AS] coupe la droite (AD) en T. Si T appartient au segment [AD] le triangle RST représente le bord replié de la feuille. Dans le cadre de droite de la figure ci-dessus on place les points M(x, y) et N(x, z) où z = A(x) est l'aire du triangle SRT. | |
Figure 1 |
Figure 2 |
Figure 3 Aire(RST) minimale |
Figure 4 x = 4 : maximum |
En déplaçant le point R de A vers B on s'aperçoit : Indications 1°) La plus petite valeur de x respectant les conditions est obtenue lorsque T est D (figure 2). Donc, BS = 6 - 2. Or RS = AR = x et BR = 4 - x. D'après Pythagore dans le triangle rectangle BRS : Le maximum pour x est de 4 (figure 4) ; x est compris entre 9 - 3 et 4. 2°) Les triangles rectangles SRT et ART sont symétriques : AR = RS = x, AT = ST = y ; (RT) est la médiatrice de [AS]. tan(BÂS) = = et tan(ATR) = = , donc y = 3°) L'aire du triangle SRT mesure A(x) = SR × ST / 2 = = , x variant sur I[9 - 3, 4]. Voir : minimum-maximum | |
4. Mise en boiteAmiens Un objet a la forme d'un parallélépipède rectangle de base carrée de côté Indications La « vue de face » d'une perspective cavalière de la figure permet de transformer ce problème en problème plan. On peut se placer a priori dans le cas particulier où l'objet est centré sur la diagonale de la face, ce qui donne la figure suivante : La diagonale AC du carré a pour longueur a = 2y + l = 2y + a, donc 2y = a - a = a( - 1). Ensuite on constate que d'après la symétrie de la figure, le triangle AMQ dans le coin inférieur gauche est un demi-carré, par conséquent h = 2y. La hauteur de l'objet vaut donc h = 68( - 1) ≈ 28,17 cm. Deux variantes : voir la page rectangle dans un rectangle | |
Multiplication de l'aire d'un triangleVoir triangle en seconde Corse Partage de l'angle d'un triangle en 4Voir construction de-ci, de-là Dijon Existe-t-il un triangle ABC tel que la hauteur issue de A, la bissectrice de l'angle BÂC et la médiane relative au côté [BC] partagent l'angle BÂC en quatre angles de même mesure ? | |
Carré d'aire cinq fois plus petiteSolution avec le produit scalaire ABCD est un carré de côté 1. À partir de du milieu des côtés de ce carré ABCD, on construit la figure ci-dessous.
1) Justifier que l'on a construit un petit carré à l'intérieur du carré ABCD. Quelle est la longueur de son côté ? | |
2) Dans la suite, on procède au même découpage des carrés ainsi construits et à chaque étape on colorie les quatre petits triangles formés, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
Montrer que l'aire de la partie colorée tend vers un quart de l'aire du carré ABCD, lorsqu'on poursuit indéfiniment cette construction. | |
Partage en deux d'un triangleMontpellier ABC est un triangle quelconque. Problème équivalent posé à Créteil en 2008. | |
Octaèdre régulierOrléans-Tours Deux pyramides, de même base carrée ABCD, de sommets respectifs E et F distincts, sont accolées par leur base et forment un octaèdre régulier, c'est-à-dire un solide formé de huit faces identiques qui sont des triangles équilatéraux. On suppose que AB = 1. Montrer que les faces ABE et CDF sont parallèles et déterminer leur distance, c'est-à-dire la plus courte distance d'un point du plan ABE à un point du plan CDF. Solution En notant I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD], les segments [EI], [EJ], [FI] et [FJ] sont alors des hauteurs d'un triangle équilatéral de côté 1 : ils mesurent tous
. Par suite, EIFJ est un losange. Puisque le losange EIFJ est dans le plan médiateur des segments [AB] et [CD], la distance entre les deux plans (ABE) et (CDF) est aussi la hauteur h du losange. Or les diagonales du losange EIFJ mesurent IJ = 1 et EF = (c'est la diagonale du carré ACF) : Deux cercles tangents, tangents à un carré : voir minimum-maximum | |
Table des matières |
Google friendly |
Faire de la géométrie dynamique en 1ère S |
|
Page no 83, créée le 31/5/2005 |