Descartes et les Mathématiques

Deux triangles isocèles

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JN de Grenoble 2011

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dans un pentagone

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Les cas d'isométrie des triangles étaient un des outils essentiels des collégiens d'autrefois pour faire de la géométrie. Bannis par la réforme des mathématiques modernes, ils ont fait leur réapparition en seconde en 2000, avant d'être balayés par les dernières modifications de programmes. Pourtant, il y a en leur faveur de bons arguments, à la fois théoriques et didactiques.

Côté théorique, le problème de la transitivité de l'action d'un groupe est fondamental. Or, que font les cas d'isométrie des triangles ? Ils décrivent exactement les orbites du groupe des isométries dans son action sur les triangles en donnant des critères commodes qui permettent d'affirmer l'existence d'une isométrie échangeant deux triangles (avec comme conséquence l'égalité des éléments autres que ceux utilisés) sans être obligé, comme c'est le cas actuellement, d'exhiber celle-ci. D'ailleurs leur démonstration est une parfaite illustration de ce principe de transitivité : on envoie un sommet sur un autre, puis une demi-droite sur une autre, etc. et peu importe quelle est la transformation finale.

Côté didactique, Daniel Perrin donne l'exemple très simple des segments ajoutés, mais il y en a beaucoup d'autres et vous trouverez ci-dessous l'exercice des deux triangles isocèles.
En espérant ainsi convaincre le lecteur de l'efficacité des cas d'isométrie des triangles, par rapport à l'usage direct des transformations.
En vérité, dans le plan, comme on connaît toutes les isométries, il est toujours possible de repérer laquelle employer. En revanche, ce qui est plus délicat c'est de prouver qu'elle fait bien ce qu'on suppose. On y arrive, mais c'est souvent lourd et, presque toujours, inutile.

Ces exemples montrent que l'utilisation des cas d'isométrie, au collège, est souvent plus commode que celle des transformations.
Mais, en vérité, le problème est maintenant bien plus grave : avec les nouveaux programmes, ces exercices ne pourront plus être donnés nulle part. En effet, il n'y a plus les cas d'isométrie, et il n'y aura bientôt plus les transformations.

Daniel Perrin : La géométrie : un domaine hors-programme ?

APMEP : Bulletin vert n^o 496 – Novembre 2011

Travaux dirigés

Énoncé

On considère un triangle isocèle ABC dans lequel la médiatrice du côté AC coupe le prolongement de la base BC au point D.
On joint DA que l'on prolonge d'une longueur AE = BD.
  – Montrer que le triangle DAC est isocèle. Conséquences ?
  – Comparer les triangles ABD et CAE.
  – Que peut-on dire du triangle CDE ?

1. Euclide

Démonstration par le deuxième cas d'isométrie des triangles

Les triangles ABD et CAE sont isométriques, car :
  – les côtés sont de même mesure par construction : BD = AE et AB = CA,
  – les angles ABD et CAE sont égaux, car ils ont même supplémentaire α.

De l'isométrie des triangles ABD et CAE, on déduit l'égalité des angles CDE = DEC.
Le triangle CDE est isocèle, car deux angles sont égaux.

Avec GeoGebra, noter les égalités des côtés, marquer les angles égaux α = ABC = ACB puis α = CAD et tracer les triangles isométriques ABD et CAE.

Lorsque l'on déplace le point A, le triangle DAC est isocèle tant que D est à l'extérieur de [BC].
Après le cas particulier du triangle équilatéral, lorsque α < 60°, le triangle DAC n'est plus isocèle.

2. Rotation

Il est facile d'identifier la rotation qui transforme le triangle ABD en CAE, en dessinant le centre I du cercle circonscrit à ABC.
Le centre de la rotation est situé sur la médiatrice de [AC] et sur la médiatrice de [BA], c'est donc le point I. L'angle de la rotation est l'angle au centre 2α du triangle ABC.

Cette rotation permet d'obtenir une construction du point E (attention au sens des angles avec GeoGebra).
Le triangle DAC est isocèle quel que soit l'angle α.

3. Symétries

Une troisième démonstration très simple du fait que CDE est isocèle.

La symétrie par rapport à la médiatrice de [BC] transforme ABD en ACD’,
la symétrie par rapport à la médiatrice de [AC] transforme ACD’ en CAE.

Indications

Introduction

Exercice sur les angles que l'on peut traiter en troisième et qui rentre bien dans le cadre du programme de seconde de « reconnaissance des propriétés d'un triangle ».
Il se trouve dans un livre de quatrième de 1965. Maintenant l'absence des transformations au lycée ne permet plus de la traiter complètement avant le bac.
Avec un logiciel on peut utiliser les transformations comme boite noire en éventuellement parachutant quelques éléments : par exemple le centre du cercle circonscrit comme centre de rotation.

Rotations et symétrie permettent d'explorer donner deux configurations donnant des ouvertures à ce problème.

Outils

1. Outils -Triangle isocèle

Connaître les propriétés relatives aux angles

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.

ABC est un triangle isocèle de base [BC]. Le cercle de centre A passant par C rencontre la droite (AB) en B et K.

A’ est le milieu de [BC], B’ est le milieu de [AC] et C’ est le milieu de [AB] ; (AA’), médiatrice de [BC] est l'axe de symétrie du triangle.
Les autres droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice) relatives à la base sont confondues avec cette droite.

Les médiatrices sont concourantes au point I, centre du cercle circonscrit.

Le seul prérequis mathématique est connaître les propriétés des angles :
  – dans un triangle isocèle d'angle à la base α, l'angle supplémentaire de l'angle au sommet est 2α ;
  – dans le cercle circonscrit, 2α est aussi l'angle au centre qui intercepte les côtés, autres que la base.

Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle isocèle

Construction

Figure interactive dans GeoGebraTube : construction du triangle isocèle

Avec GeoGebra, comme en géométrique analytique, le choix des variables est important.
Placer des points B et C sur l'axe (Ox), respectivement d'abscisse b et - b, et un troisième sommet A sur l'axe (Oy) d'ordonnée a.
Dessiner le triangle isocèle ABC dont la base [BC] est sur l'axe (Ox), et l'axe de symétrie (Oy).

Figure de base

Triangles
isométriques

Recherche
d'isométrie

Rotation

Symétries

Outils

2. Figure de base

Figure dans GeoGebraTube : figure de base - deux triangles isocèles

Énoncé plus moderne

ABC est un triangle isocèle en A. La médiatrice du côté [AC] coupe (BC) au point D.
Comme sur la figure ci-dessus, on place un point E sur la droite (AD) tel que AE = BD.
  – Montrer que le triangle DAC est isocèle.
  – Comparer les angles ABD et CAE.
  – Montrer que les triangles ABD et CAE sont isométriques.
  – Quelle est la nature du triangle CDE ?

Figure de base

Triangles
isométriques

Recherche
d'isométrie

Rotation

Symétries

Outils

3. Triangles isométriques

Figure dans GeoGebraTube : démonstration par isométrie des triangles

Report de mesure : le point E se place à la règle et au compas.
Avec GeoGebra le report de mesure se fait avec l'outil compas, qui permet de tracer le cercle de centre A de rayon BD.
Il faut choisir le point E entre les deux points d'intersection de ce cercle et de la droite (DA).

Euclide : démonstration par le deuxième cas d'isométrie des triangles

Les triangles ABD et CAE sont isométriques, car :
  – les côtés sont de même mesure par construction : BD = AE et AB = CA,
  – les angles ABD et CAE sont égaux, car ils ont même supplémentaire α.

Première démonstration par calcul d'angles :

De l'isométrie des triangles ABD et CAE, on déduit l'égalité des angles CDE = DEC.
Le triangle CDE est isocèle, car deux angles sont égaux.

Deuxième démonstration, moins conviviale par mesure de côtés :

Le triangle DAC est isocèle, car il a comme son axe de symétrie la médiatrice de [AC].
    α = ACB est l'angle à la base, des deux triangles isocèles ABC et DAC.
    Dans DAC, les côtés égaux sont DA = DC.

De l'isométrie des triangles ABD et CAE, on déduit les mesures des côtés DA = EC.

On a donc DC = EC. Avec deux côtés de même mesure, le triangle CDE est isocèle en C.

Interactivité

Lorsque l'on déplace le point A, ces conclusions sont confirmées tant que D est à l'extérieur de [BC].
Après le cas particulier du triangle équilatéral, lorsque α < 60°, le triangle DAC n'est plus isocèle.

Figure de base

Triangles
isométriques

Recherche
d'isométrie

Rotation

Symétries

Outils

4. Recherche d'isométrie

Figure dans GeoGebraTube : recherche d'isométrie

Les triangles isométriques sont de même sens : dans quelle isométrie le triangle ABD, a t'il pour image CAE ?

Une étape de la recherche est de trouver de l'image du triangle ABD par la translation de vecteur .
On obtient le triangle A₁AD’.

L'angle CAA₁ est supplémentaire de l'angle au sommet de ABC, il mesure 2α.
La rotation de centre A et d'angle 2α transforme A₁ en C, donc [AA₁] en [AC].

Le triangle DAC isocèle en D, ayant  α comme angle à la base,
a pour angle au sommet 180° - 2α, supplémentaire de 2α.
EAD’ = EAA₁ + A₁AD’ = DAB + ABD.

Cette somme des deux angles de ABD a pour supplémentaire 180° - 2α.
Donc EAD’ = 2α.

La rotation de centre A et d'angle 2α transforme D’ en le point E situé sur la droite (DA).
La rotation de centre A, d'angle 2α, transforme le triangle A₁AD’ en CAE.

La composée de la translation de vecteur et de cette dernière rotation transforme le triangle ABD en CAE.
Sans expliciter cette transformation, on a bien démontré que ces triangles sont isométriques.

Autrefois on savait expliciter cette composée comme rotation d'angle 2α.
Mais le groupe transitif des rotations-translations est une affaire de mathématiques modernes…

Figure de base

Triangles
isométriques

Recherche
d'isométrie

Rotation

Symétries

Outils

5. Rotation

Figure dans GeoGebraTube : démonstration par rotation

En passant la recherche du paragraphe précédent, il est facile d'identifier la rotation qui transforme le triangle ABD en CAE, surtout si on dessine le centre I du cercle circonscrit à ABC.

Le centre de la rotation est situé sur la médiatrice de [AC] et sur la médiatrice de [BA], c'est donc le point I.
L'angle de la rotation est l'angle au centre 2α du triangle ABC.

Cette rotation permet d'obtenir une construction du point E (attention au sens des angles avec GeoGebra).

Interactivité

Cette construction est plus fiable que la première. Le triangle DAC est isocèle quel que soit l'angle α. En effet, il est logique que lorsque A se déplace vers A’, que le point E se déplace vers D. Modifier l'énoncé de l'exercice en conséquence.

Figure de base

Triangles
isométriques

Recherche
d'isométrie

Rotation

Symétries

Outils

6. Symétries

Figure dans GeoGebraTube : démonstration par symétrie

Une rotation de centre I, d'angle 2α, est la composée de deux symétries par rapport à des droites sécantes en I, d'angle α.

La symétrie par rapport à la médiatrice de [BC] transforme ABD en ACD’, d'où AD = AD’.
La symétrie par rapport à la médiatrice de [AC] transforme ACD’ en CAE, d'où AD’ = CE.

Soit AD = CE. Mais comme dans le triangle isocèle ADC, AD = CD, on a CE = CD qui est une troisième démonstration très simple du fait que CDE est isocèle.

Figure de base

Triangles
isométriques

Recherche
d'isométrie

Rotation

Symétries

Certes, maintenant, sans les étudier, on parle d'isométrie plutôt que d'égalité ; cela fait plus savant et on largue la moitié des élèves.
Mais sans Euclide, ni les transformations, l'enseignement des mathématiques au lycée est devenu bien fade.

Pourtant cet exercice assez simple, démontré dans trois cadres, permet des activités fécondes qui n'excluent pas quelques difficultés, voire certains contresens.
Le logiciel aide aux calculs d'angles et prend en charge les transformations qui ne sont plus au programme.
La géométrie dynamique permet d'explorer des situations comme α < 60°.

Bibliographie

[DPR] Jean-Claude Duperret, Daniel Perrin, Jean-Pierre Richeton – Exemples d'utilisation des cas d'isométrie et de similitude – Une illustration du rapport Kahanne sur la géométrie – Bulletin vert n^o 435 – Septembre 2001

D'après Macia Gaspard – Isométries du plan en Terminale – Bulletin vert n^o 377 :
Une isométrie f du plan, où un point B a pour image A (distinct de B), se décompose de façon unique en f = r o t où t est la translation de vecteur et r est une isométrie fixant A (r est une rotation de centre A si f est une isométrie directe, c'est une symétrie d'axe passant par A si f est une isométrie indirecte).

Faire de la géométrie
avec GeoGebra

Atelier APMEP,
JN de Grenoble 2011

Aire minimale d'un triangle
inscrit dans un rectangle

Page n^o 178, créée le 13/10/2011
mise à jour le 10/11/2014