Descartes et les Mathématiques Théorème de Descartes - Cercles de SoddyCas particulier du problème des trois cercles d'Apollonius | |
Sommaire1. Cercles tangents à 3 cercles tangents deux à deux 3. Cercles tangents à une droite et à 2 cercles tangents entre eux et tangents à la droite | |
Deux théorèmes sont nommés théorème de Descartes• Un, en algèbre, pour déterminer le nombre de solutions d'une équation :
• Un théorème de Descartes en géométrie
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1. Cercles tangents à trois cercles tangents deux à deux3 cercles inscrits dans un cercle - Cercle tangent à trois cercles donnés Trois cercles tangents deux à deux étant donnés, il existe deux cercles qui leur sont tangents : ce sont les cercles de Soddy. Trois cercles tangents et deux cercles de SoddySangaku Construction en géométrie synthétiquea) À partir de deux points O1 et O2, construction de deux cercles (c1), (c2) tangents extérieurement en T, puis d'un troisième cercle (c3) tangent en U, a) On donne deux points O1 et O2 et un point T du segment [O1O2] plus près de O2 que de O1. b) Quitte à renommer les cercles on suppose que r1 > r2 > r3 et on trouve deux solutions avec la première construction CCC du problème d'Apollonius grâce à deux cercles auxiliaires de centres O1, O2 ; de rayons r1– r3, r2– r3. Pour cela trouver le point A, image de O3 par l'homothétie qui transforme les cercles auxiliaires, avec O2 image de O1. Il suffit de tracer les cercles tangents à un de ces cercles auxiliaires, passant par O3 et A. Télécharger la figure GéoPlan 4cercles_Descartes.g2w | |
2. Théorème de DescartesExpression clé : cercles de Descartes Calcul des rayons de deux cercles tangents, dans le cas particulier du problème des trois cercles d'Apollonius, cas où les 3 cercles sont tangents deux à deux. Dans la configuration de la figure ci-dessus, étant donné trois cercles tangents deux à deux extérieurement, on peut trouver deux cercles (c4) et (c5) tels que, | |
Cercle (c4) tangent extérieurement à (c1), (c2) et (c3) (k1 + k2 + k3 + k4)2 = 2(k12 + k22 + k32+ k42) (k1 + k2 + k3 – k4)2 = 4(k1k2 + k2k3 + k1k3) ; d'où le calcul de la courbure : on trouve le centre O4 en choisissant la bonne intersection du cercle de centre O1 et de rayon r1+ r4 avec le cercle centre O2 et de rayon r2 + r4 ; |
Cercle (c5) tangent intérieurement à (c1), (c2) et (c3) (k1 + k2 + k4 – k5)2 = 2(k12 + k22 + k42+ k52) (k1 + k2 + k3 + k5)2 = 4(k1k2 + k2k3 + k1k3) ; d'où k5 = − (k1 + k2 + k3) + 2rac(k1k2 + k2k3 + k1k3) et r5 = 1/k5 ; on trouve le centre O5 à une des intersections du cercle de centre O1 et de rayon r5 – r1 avec le cercle centre O2 et de rayon r5 – r2. |
Ces formules se généralisent à quatre cercles quelconques, tangents deux à deux, en appelant courbure l'inverse du rayon. La formule de Descartes, découverte en 1643, établit la relation Voir WikiPédia : Théorème de Descartes Démonstration du théorème de Descartes de Philip Beecroft (1842) : Les droites (UU’), (TT’) et (WW’) sont concourantes au point E, premier point d'Eppstein (2001). Les centres O4 et O5 sont les points de Soddy du triangle O1O2O3. Télécharger la figure GéoPlan 4cercles_demonstration.g2w | |
Géométrie analytiqueCes formules peuvent être utilisées pour construire les deux cercles de Soddy, tangents à trois autres. Cercles donnés tangents extérieurementÉtant donné deux points O1, O2, et trois rayons r1, r2, r3 tels que r1 > r2 > r3 ; Exemple avec k1 = 3, k2 =2, k3 = 15. On trouve k4 = 38 et k5 = 12. Remarque GéoPlan : la première figure du théorème de Descartes est construite en ajoutant r3 au rayon du cercle auxiliaire de centre O5. Cela permet de trouver le cercle (c5) tangent intérieurement aux trois autres. La figure ci-dessus n'en fait qu'une pour traiter ces deux cas et en plus le cas ci-contre. | |
Cercles (c2) et (c3) tangents intérieurement à (c1)Sangaku Exemple avec k1 = −6, k2 = 10, k3 = 19. Lorsque (c2) et (c3) sont tangents intérieurement à (c1), la construction géométrique n'est pas évidente (je ne sais pas caractériser le point A dans ce cas). La figure de géométrie analytique donne les deux solutions. Télécharger la figure GéoPlan 4cercles_analytique.g2w | |
3. Cercles de Soddy particuliersSangaku : cercles tangents à une droite et à deux cercles tangents entre eux et tangents à la droite Soit deux points A et B situés sur une droite (d), un point O1 sur la perpendiculaire en A à (d). La droite (UB) recoupe le cercle (c1) au point T. La perpendiculaire à (d) en B coupe la droite (O1T) au point O2 qui est le centre d'un cercle (c2) passant par T, de rayon r2 = O3U, tangent à (c1) en T et à (d) en B. Justification (figure de droite) : l'homothétie de centre T qui transforme U en B, transforme la droite (AU), perpendiculaire à (d), en une droite parallèle : la perpendiculaire à (d) en B. Les images de O1 et A sont alignées avec T et situées sur cette dernière perpendiculaire : ce sont les points O2 et V. Le cercle (c1) de diamètre [AU] a pour image le cercle (c2) de diamètre [VB]. Ces deux cercles ayant en commun l'unique point T sont tangents en T. Télécharger la figure GéoPlan 3cercles_Descartes.g2w | |
Quitte à renommer les cercles on suppose que r1 > r2 et on trouve deux solutions avec la construction du problème de contact CCD. Pour cela, avec la « méthode de Viète, des translations parallèles », substituer au cercle (c1) le cercle de diamètre [II’] de centre O1, de rayon r1– r2. | |
Théorème de Descartes pour deux cercles et une droiteSoit k1 = 1/r1, k2 = 1/r2, k3 = 1/r3 et k4 = 1/r4 la courbure des quatre cercles, la courbure de la droite étant nulle. | |
Cercle (c3) tangent à (c1), (c2) et (d) (k1 + k2 + k3)2 = 2(k12 + k22 + k32) (k1 + k2 – k3)2 = 4k1k2 ; on a donc 1/rac(r3) = 1/rac(r1) + 1/rac(r2). |
Cercle (c4) tangent à (c1), (c2) et (d) (k1 + k2 + k4)2 = 2(k12+ k22 + k42) (k1 + k2 – k4)2 = 4k1k2 ; on a donc 1/rac(r4) = 1/rac(r2) – 1/rac(r1). |
Théorème de Pythagore Calcul des carrés des longueurs des hypoténuses [O1O2], [O1O3] et [O2O3] des triangles rectangles dont les petits côtés sont parallèles ou perpendiculaires à (d). AB2 + (r1– r2)2 = (r1 + r2)2 d'où AB2 = 4r1r2 et AB = 2rac(r1r2). Si C est la projection de O3 sur (d) on a AC2 + (r1– r3)2 = (r1 + r3)2 d'où AC2 = 4r1r3 et AC = 2rac(r1r3) Comme AB = AC + CB en divisant par 2rac(r1r2r3), on retrouve 1/rac(r3) = 1/rac(r1) +1/rac(r2). Même démonstration avec (c4), sachant que AB = AD – BD (cas de la figure ci-dessus). | |
4. Sangaku : kissing circlesUne infinité de cercles tangents, quatre à quatre, que Soddy a appelé « kissing circles ». Les nombres indiqués sur les disques sont les courbures. Trois cercles étant donnés, il existe deux cercles de Soddy qui leur sont tangents. On commence avec les courbures (–6, 11, 14). On continue avec (–6, 11, 15). Et ainsi de suite, on trouve des cercles dont toutes les courbures sont des entiers. Télécharger la figure GéoPlan soddy_14_11.g2w | |
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Page no 121, créée le 19/6/2008 |