Fac-similés et commentaires de « La Géométrie » de René Descartes sur les problèmes du troisième et quatrième degré :
d'après l'édition de 1637 publiée dans The geometry of Rene Descartes de David Eugene Smith et Marcia L. Latham.
Ce livre troisième est plus un manuel d'algèbre qu'un de géométrie. C'est une nouvelle théorie algébrique des équations, avec des conseils pour bien mener les calculs.
Les équations sont écrites sous forme polynomiale p(x) = 0.
Descartes traite ici la recherche des racines des équations de degré supérieur à deux..
On y trouve la règle des signes et le théorème fondamental de l'algèbre avec la factorisation des polynômes.
Au reste, permettez-moi que je vous demande comment vous gouvernez ma Géométrie ; je crains bien que la difficulté des calculs ne vous en dégoûte d'abord, mais il ne faut que peu de jours pour la surmonter, et par après on les trouve beaucoup plus courts et plus commodes que ceux de Viète. On doit aussi lire le troisième Livre avant le second, à cause qu'il est beaucoup plus aisé.
Dans celivre troisièmeDescartes construit deslignes courbesafin de résoudre des problèmes du troisième degré (« Problèmes solides »).
Soit x et y deux moyennes proportionnelles entre a et b
Nous avons , d'où x2 = ay ; y2 = bx et xy = ab.
Donc x et y peuvent être trouvés en déterminant des intersections avec des paraboles ou hyperboles.
Ces paraboles permettront de trouver graphiquement les racines cubiques.
La Géométrie. LIVRE TROISIÈME - Page 369
De la construction des problèmes, qui sont solides, ou plus que solides
De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème
Encore que toutes les lignes courbes qui peuvent être décrites par quelque mouvement régulier doivent être reçues en la Géométrie, ce n'est pas à dire qu'il soit permis de se servir indifféremment de la première qui se rencontre pour la construction de chaque
problème, mais il faut avoir soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible de le résoudre.
Et même il est à remarquer que par les plus simples on ne doit pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites, ni celles qui rendent la construction ou la démonstration du problème proposée plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.
Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes proportionnelles
Comme, par exemple, je ne crois pas qu'il y ait aucune façon plus facile pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu'on veut, ni dont la démonstration soit plus évidente, que d'y employer les lignes courbes qui se décrivent par l'instrument XYZ ci-dessus expliqué.
Car, voulant trouver deux moyennes proportionnelles entre YA et YE, il ne faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE, et parce que ce cercle coupe
la courbe AD au point D, YD est l'une des moyennes proportionnelles cherchées, dont la démonstration se voit à l'œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD ; car, comme YA ou YB, qui lui est égale, est à YC, ainsi YC est à YD, et YD à YE.
Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre YA et YG, ou pour en trouver six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG qui, coupant AF au point F, détermine la ligne droite YF qui est l'une de ces quatre proportionnelles; ou YHN qui, coupant AH au point H, détermine YH l'une des six ; et ainsi des autres.
Mais pourceque la ligne courbe AD (du montage d'équerres) est du second genre, et qu'on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier (genre) et aussi pourcequ'on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et AH, ce serait une faute en géométrie que les y employer (les lignes du deuxième genre).
Et c'est une faute aussi, d'autre côté, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet.
Avec deux moyennes proportionnelles, Descartes transforme des problèmes du deuxième genre (troisième ou quatrième degré) en problèmes du premier genre (premier et second degré : intersections de droite, cercle ou parabole).Ce serait une faute en géométriede ne pas le faire !
Iciune fautede Descartes : le point D décrit la courbe d'équation du premier genre, mais sa méthode fonctionne pour les courbes pour le point F et pour H qui sont bien du deuxième genre.
Or, afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter l'une et l'autre de ces deux fautes, il faut que je dise quelque chose en général de la nature des équations, c'est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus, et partie inconnus, dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte
Conseil pour l'écriture des équations : transférer tous les termes à gauche.
L'avantage de cet arrangement avait été reconnu par plusieurs auteurs avant Descartes.
Descartes énonce le théorème fondamental de l'algèbre inventé par Albert de Girard en 1629 :
Sachez donc qu'en chaque équation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-à-dire de valeurs de cette quantité.
D'Alembert donnera son nom au théorème et Gauss le démontra en 1799.
Descartes ne considère que les racines positives, d'où le nombre de racines inférieur ou égal au degré de l'équation (cette quantité).
Car, par exemple, si on suppose x égale à 2, ou bien x – 2 égal à rien ; et derechef x = 3, ou bien x – 3 = 0 ; en multipliant ces deux équations
x – 2 = 0, et x – 3 = 0,
l'une par l'autre, on aura
x2 – 5x + 6 = 0,
ou bien
x2 = 5x – 6,
qui est une équation en laquelle la quantité x vaut 2 et tout ensemble vaut 3.
Que si derechef on fait
x – 4 = 0,
et qu'on multiplie cette somme par
x2 – 5x + 6 = 0,
on aura
x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0,
qui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs, qui sont 2, 3 et 4.
Quelles sont les fausses racines
Mais souvent il arrive que quelques-unes de ces racines soient fausses ou moindres que rien (négatives) ; comme si on suppose que x désigne aussi le défaut d'une quantité qui soit 5 (Solution négative –5), on a
x + 5 = 0,
qui, étant multiplié par
x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0,
fait
x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0
pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2, 3, 4,
et une fausse qui est 5 (x = –5).
Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on connaît quelqu'une de ses racines
Il formule le théorème sur la factorisation d'un polynôme :
Et on voit évidemment de ceci que la somme (membre de gauche) d'une équation qui contient plusieurs racines peut toujours être figureisée par un binôme composé de la quantité inconnue moins la valeur de l'une des vraies racines, laquelle que ce soit, ou plus la valeur de l'une des fausses ; au moyen de quoi on diminue d'autant ses dimensions.
Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine
ne peut être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue + ou – quelque autre quantité, cela témoigne que cette autre quantité n'est la valeur d'aucune de ses racines.
Comme cette dernière
x4 – 4x3– 19x2 + 106x – 120 = 0
peut bien être divisée, par x – 2, et par x – 3, et par x – 4, et par x + 5 ; mais non point par x + ou – aucune autre quantité.
Ce qui montre qu'elle ne peut avoir que les quatre racines 2, 3, 4, et 5 (5 est ici une « fausse racine », maintenant on écrirait –5).
Dans ce paragraphe, Descartes entrevoit, mais n'établi pas explicitement, le théorème fondamental de l'algèbre.
Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation
Le nombre de racines positives est, au plus, égal au nombre de variations de signes de ses coefficients, le nombre de racines négatives est, au plus, le nombre de permanences de ces signes.
D'après Cantor, Descartes l'a apprise dans les écrits de Cardan, mais fut le premier à l'exposer comme règle générale.
On connaît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines, et combien de fausses en chaque Équation.
À savoir il y en peut avoir autant de vraies, que les signes + et – s'y trouvent de fois être changés ; et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes – qui s'entresuivent.
Comme en la dernière, à cause qu'après + x4 il y a – 4x3, qui est un changement du signe + en –,
et après –19x2 il y a +106x, et après +106x il y a –120 qui sont encore deux autres changements, on connaît qu'il y a trois vraies racines (positives) ; et une fausse (négative), à cause que les deux signes –, de 4x3 et 19x2 s'entresuivent.
Comment on fait que les fausses racines d'une équation deviennent vraies, et les vraies fausses
De plus, il est aisé de faire en une même Équation, que toutes les racines qui étaient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles qui étaient vraies deviennent fausses : à savoir en changeant tous les signes + ou – qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième et semblables qui se désignent par les nombres impairs.
Comme si au lieu de
+ x4 – 4x3– 19x2 + 106x – 120 = 0
on écrit
+ x4 + 4x3– 19x2 – 106x – 120 = 0
on a une Équation en laquelle il n'y a qu'une vraie racine, qui est 5, et trois fausses qui sont 2, 3 et 4 (Racine négatives –2, –3 et –4).
Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation sans les connaître
Que si sans connaître la valeur des racines d'une Équation, on la veut augmenter, ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu'au lieu du terme inconnu en supposer un autre, qui soit plus ou moins grand de cette même quantité, et le substituer partout en la place du premier.
Comme si on veut augmenter de 3 la racine de cette Équation x4 + 4x3 – 19x2 – 106x – 120 = 0
il faut prendre y au lieu d' x, et penser que cette quantité y est plus grande qu' x de 3, en forte que y – 3 est égal à x, et au lieu d' x2, i1 faut mettre le carré d' y – 3 qui est y2 – 6y + 9 et au lieu d' x3 il faut mettre son cube qui est
y3 – 9y2 + 27y – 27,
et enfin au lieu d' x4 il faut mettre son carré de carré
(Puissance 4) qui est
y4 – 12y3 + 54y2 – 108y + 81.
Et ainsi décrivant la somme précédente en substituant par tout y au lieu d' x on a
y4
– 12y3
+ 54y2
- 108y
+ 81
+ 4y3
- 36y2
+ 108y
- 108
- 19y2
+ 114y
- 171
- 106y
+ 318
- 120
----
----
----
----
----
y4
- 8y3
- y2
+ 8y
*
= 0
Descartes indique l'absence d'un terme par le caractère *, mis à la place de ce terme, nous l'ôterons ainsi que le facteur 1 qu'il laisse parfois (Note Victor Cousin).
ou bien y3 – 8y2 – y + 8 = 0, où la vraie racine qui était 5 est maintenant 8, à cause du nombre trois qui lui est ajouté.
Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même Équation,
il faut faire y + 3 = x et y2 + 6y + 9 = x2 et ainsi des autres de façon
qu'au lieu de x4 + 4x3 – 19x2 – 106x – 120 = 0 on met
y4
+ 12y3
+ 54y2
+ 108y
+ 81
+ 4y3
+ 36y2
+ 108y
+ 108
- 19y2
- 114y
- 171
- 106y
- 318
- 120
----
----
----
----
----
y4
+ 16y3
+ 71y2
- 4y
- 420
= 0
La Géométrie - Livre troisième - Page 375
Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, et au contraire
Et il est à remarquer qu'en augmentant les vraies racines d'une Équation, on diminue les fausses de la même quantité ; ou au contraire en diminuant les vraies, on augmente les fausses.
Et que si on diminue soit les unes soit les autres, d'une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles, et que si c'est d'une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou de fausses vraies.
Comme ici en augmentant de 3 la vraie racine qui était 5, on a diminué de 3 chacune des fausses, en sorte que celle qui était 4 n'est plus que 1, et celle qui était 3 est nulle, et celle qui était 2 est devenue vraie et est 1, à cause que – 2 + 3 fait + 1.
C'est pourquoi en cette Équation
y3 – 8y2 – y + 8 = 0
il n'y a plus que 3 racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vraies,
il n'y en a qu'une vraie qui est 2,
à cause que + 5 – 3 fait + 2,
et trois fausses qui sont 5, 6 et 7.
Comment on peut ôter le second terme d'une équation
Or par cette façon de changer la valeur des racines sans les connaître, on peut faire deux choses, qui auront ci-après quelque usage : la première est qu'on peut toujours ôter le second terme de l'Équation qu'on examine, à savoir en diminuant les vraies racines, de la quantité connue de ce second terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si l'un de ces deux termes étant marqué du signe +, l'autre est marqué du signe – ; ou bien en l'augmentant de la même quantité, s'ils ont tous deux le signe +, ou tous deux le signe –.
Comme pour ôter le second terme de la dernière Équation qui est
y4 + 16y3 + 71y2 – 4y – 420 = 0
ayant divisé 16 par 4, à cause des 4 dimensions du terme y4, il vient derechef 4,
c'est pourquoi je fais z – 4 = y, et j'écris
z4
- 16z3
+ 96z2
- 256z
+ 256
+ 16z3
- 192z2
+ 768z
- 1024
+ 71z2
- 568z
+ 1136
- 4z
+ 16
- 420
___
______
_______
_______
______
z4
*
- 25z2
- 60 z
- 36
= 0
où la vraie racine qui était 2 est 6, à cause qu'elle est augmentée de 4 ; et les fausses qui étaient 5, 6, et 7, ne sont plus que 1, 2 et 3 ; à cause qu'elles sont diminuées chacune de 4.
pourceque divisant 2a par 4 il vient il faut faire z + = x
et écrire
z4
+ 2 az3
+ 3/2 a2z2
+ 1/3 a3z
+ 1/16 a4
- 2 az3
- 3 a2z2
- 3/2 a3z
+ 1/4 a4
+ 2 a2z2
+ 2 a3z
+ a4
- c2z2
- 2 ac2z
- 1/4 a2c2
- 2 a3z
- a4
+ a4
___
______
__________
___________
_______________
z4
*
+(a2-c2)z2
-(a3+ac2)z
+5/16 a4 - 1/4 a2c2
= 0
La Géométrie - Livre troisième - Page 377
et si on trouve après la valeur de z, en lui ajoutant a on aura celle de x.
Comment on peut faire que toutes les fausses racines d'une équation deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses
La seconde chose, qui aura ci-après quelque usage est, qu'on peut toujours en augmentant la valeur des vraies racines, d'une quantité qui soit plus grande que n'est celle d'aucune des fausses, faire qu'elles deviennent toutes vraies, en sorte qu'il n'y ait point deux signes + ou deux signes – qui s'entrent-suivent, et outre cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré la moitié de celle du second.
Car encore que cela se fasse, lorsque ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins de juger à peu près de leur grandeur, et de prendre une quantité, qui les surpasse d'autant, ou de plus, qu'il n'est requis à cet effet.
Où il est manifeste, que 504n2, qui est la quantité connue du troisième terme est plus grande, que le carré de qui est la moitié de celle du second.
Et il n'y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmente les vraies racines, ait besoin à cet effet d'être plus grande, à proportion de celles qui sont données, que pour celui-ci.
Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies
Mais à cause que le dernier terme s'y trouve nul, si on ne désire pas que cela soit, il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines ; et ce ne saurait être de si peu, que ce ne soit assez pour cet effet.
Non plus que lorsqu'on veut accroître le nombre des dimensions de quelque Équation, et faire que toutes les places de ses termes soient remplies.
Comme si au lieu de x5 * * * * – b = 0 (Errata : b au lieu de 6), on veut avoir une Équation, en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions, et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement pour x5 * * * * – b = 0 écrire x6 * * * * – bx * = 0
puis ayant fait y – a = x on aura
supposée, toutes les places de l'Équation ne laissent pas d'être remplies.
Comment on peut multiplier ou diviser les racines d'une équation sans les connaître
De plus on peut, sans connaître la valeur des vraies racines d'une Équation (Schooten a omis, avec raison, de traduire ce mot « vraies »), les multiplier ou diviser toutes, par telle quantité connue qu'on veut.
Ce qui le fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée, ou divisée, par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à quelque autre.
Puis multipliant, ou divisant la quantité connue du second terme, par cette même qui doit multiplier, ou diviser les racines, et par son carré, celle du troisième, et par son cube, celle du quatrième, et ainsi jusqu'au dernier.
Comment on réduit les nombres rompus (nombre rationnel) d'une équation à des entiers
Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et rationaux, les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds (nombre irrationnel), qui se trouvent dans les termes des équations.
Comme si on a
et qu'on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes s'expriment par des nombres rationaux ; il faut supposer ,
et multiplier par la quantité connue du second terme, qui est aussi , et par son carré qui est 3 celle du troisième qui est , et par son cube qui est 3 ; celle du dernier, qui est , ce qui fait
y3 – 3 y2 + y – = 0.
Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les quantités connues ne s'expriment que par des nombres entiers ; il faut supposer z = 3y, et multipliant 3 par 3, par 9, et par 27,
on trouve
z3 – 9z2 + 26z – 24 = 0,
où les racines étant 2, 3 et 4, on connaît de là que celles de l'autre d'auparavant
étaient , 1, et et que celles de la première étaient , et .
Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle autre qu'on veut
Cette opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque autre donnée, comme si ayant
x3 – b2x + c3 = 0.
On veut avoir en sa place une autre Équation, en laquelle la quantité connue, du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici b2, soit 3a2, il faut supposer
puis écrire
Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires
Les racines positives sont dites « vrayes », les négatives « fausses » ou « moindres que rien ».
Au reste tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles ; mais quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.
Le mot « imaginaire » de Descartes sera utilisé par la suite pour désigner les nombres complexes, qu'il ne savait pas calculer.
Comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci, x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une réelle, qui est 2, et pour les deux autres, quoi qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne saurait les rendre autres qu'imaginaires.
La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan
Or quand pour trouver la construction de quelque problème, on vient à une Équation, en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions ; premièrement si les quantités connues, qui y sont, contiennent quelques nombres rompus (fractions numériques), il les faut réduire à d'autres entiers, par la multiplication tantôt expliquée ; et s'ils en contiennent de sourds (Nombres irrationnels), il faut aussi les réduire à d'autres rationaux, autant qu'il sera possible, tant par cette même multiplication
que par divers autres moyens, qui sont assez faciles à trouver.
Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuvent diviser sans fraction le dernier terme, il faut voir, si quelqu'une d'elles, jointe avec la quantité inconnue par le signe + ou –, peut composer un binôme, qui divise toute la somme ; et si cela est le Problème est plan, c'est-à-dire il peut être construit avec la règle et de compas ; car ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; ou bien l'équation étant divisée par lui, se réduit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver après la racine, par ce qui a été dit au premier livre (équation du second degré, page 302).
Par exemple si on a y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0, le dernier terme, qui est 64, peut être divisé sans fraction
par 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 64.
C'est pourquoi il faut examiner par ordre si cette Équation ne peut point être divisée par quelqu'un des binômes, y2 – 1 ou y2 + 1, y2 – 2
ou y2 + 2, y2 – 4 etc. et on trouve qu'elle peut l'être par y2 – 16, en cette sorte.
+ y6
– 8y4
– 124y2
– 64 = 0
- y6
– 8y4
– 4y2
_______
_______
_______
_______
- 16
0
– 16y4
– 128y2
_______
_______
- 16
- 16
_______
_______
_______
_______
y4
+ 8y2
+ 4 = 0.
Les deux membres 16 de la quatrième ligne sont affectés du signe –
La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine
Je commence par le dernier terme, et divise – 64 par – 16 ce qui fait + 4, que j'écris dans le quotient, puis je multiplie + 4 par + y2, ce qui fait – 4y2 ;
c'est pourquoi j'écris – 4y2 en la somme, qu'il faut diviser, car il y
faut toujours écrire le signe + ou – tout contraire à celui que produit la multiplication et joignant que je divise derechef par – 16,
et j'ai + 8y2, pour mettre dans le quotient et en le multipliant par y2, j'ai – 8y4, pour joindre avec le terme qu'il faut diviser, qui est aussi – 8y4, et ces deux ensemble font – 16y4,
que je divise par – 16,
ce qui fait + y4 pour le quotient,
et – y6 pour joindre (ajouter) avec + y6, ce qui fait 0, et montre que la division est achevée.
Mais s'il était resté quelque quantité, ou bien qu'on n'eut pu diviser sans fraction quelqu'un des termes précédents, on eut par là reconnu, quelle ne pouvait être faite.
le dernier terme se peut diviser sans fraction
par a, a2, a2 + c2, a3 + ac2 et semblables.
Mais il n'y en a que deux qu'on ait besoin de considérer, à savoir a2, a2 + c2 ; car les autres donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient, qu'il n'y en a en la quantité connue du pénultième terme, empêcheraient que la division ne s'y pût faire.
Et notez, que je ne compte ici les dimensions de y6, que pour trois, à cause qu'il n'y a point de y5, ni de y3, ni de y en toute la somme.
Or en examinant le binôme
y2 – a2 – c2 = 0,
on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte
+ y6
+ a2} y4
– a4} y2
– a6 }
– 2c2}
+ c4}
– 2a4c2} = 0
– a2c4 }
– y6
– 2a2} y4
– a4} y2
– a6 }
+ c2}
– a2c2}
– a2y4}
_______
_________
_________
___________
0
÷ – a2 – c2
÷ – a2 – c2
÷ – a2 – c2
_______
_________
_________
___________
+ y4
+ 2a2} y2
+ a4 } = 0
– c2}
+ a2c2}
Le résultat de la division est alors y4 + (2a2 – c2) y2 + a4 + a2c2 = 0
Et la preuve en est aisée à faire par la multiplication.
Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique
Mais lorsqu'on ne trouve aucun binôme, qui puisse ainsi diviser toute la somme de l'équation proposée, il est certain que le Problème qui en dépend est solide.
Et ce n'est pas une moindre faute après cela, de tâcher à le construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce serait d'employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n'a besoin que de cercles : car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s'appelle faute.
La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ; et quels sont ceux qui sont solides
L'invention de Descartes, par coefficients indéterminés, permet de résoudre des équations du quatrième degré.
Que si on a une Équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions, il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds (irrationnels) et rompus (fractions), s'il y en a, voir si on pourra trouver quelque binôme, qui divise toute la somme, en le composant de l'une des quantités, qui divisent sans fraction le dernier terme.
Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; ou du moins après cette division, il ne reste en l'équation que trois dimensions, en suite de quoi il faut derechef l'examiner en la même sorte.
Mais lorsqu'il ne se trouve point de tel binôme, il faut en augmentant, ou diminuant la valeur de la racine, ôter le second terme de la somme, en la façon tantôt expliquée.
Et après la réduire à une autre, qui ne contienne que trois dimensions.
Ce qui se fait en cette sorte.
Au lieu de + x4 ± px2 ± qx ± r = 0,
il faut écrire + y6 ± py4 + (p2 ± 4r)y2 – 4q = 0.
Et pour les signes (ambigus) + ou – que j'ai omis, s'il y a
eu + p en la précédente Équation, il faut mettre en celle-ci + 2p,ou s'il y a eu – p, il faut mettre – 2p, et au contraire s'il y a eu + r, il faut mettre – 4r, ou s'il y a eu – r, il faut mettre + 4r, et soit qu'il y ait eu + q, ou – q, il faut toujours mettre – q2, et + p2, au moins si on suppose que x4, et y6 sont marqués du signe +, car ce serait tout le contraire si on y supposait le signe –.
Par exemple si on a
x4 – 4x2 – 8x + 35 = 0
il faut écrire en son lieu
y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0,
car la quantité que j'ai nommé p étant – 4, il faut mettre – 8y4 pour 2py4 ; et celle, que j'ai nommée r étant 35,
il faut mettre (16 – 140)y2,
c'est-à-dire – 124y2, au lieu de (p2 – 4r)y2 ;
et enfin q étant 8, il faut mettre – 64, pour – q2. Tout de même au lieu de
x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0
il faut écrire
y6 – 34y4 + 313y2 – 400 = 0 ;
Car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6, et 400 est le carré de 20.
Car p est à a2 – c2, et p2 est a4 – a2c2 + c4,
et 4r est – a4 + a2c2,
et enfin – q2 est – a6 – 2a4c2 – a2c4.
Après que l'équation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur de y2 par la méthode déjà expliquée ; et si elle ne peut être trouvée, on n'a point
besoin de passer outre ; car il suit de là infailliblement que le problème est solide.
Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la précédente Équation en deux antres, en chacune desquelles la quantité inconnue n'aura que deux dimensions, et dont les racines seront les mêmes que les siennes.
À savoir, au lieu de
+ x4 ± px2 ± qx ± r = 0,
il faut écrire ces deux autres
+ x2 – yx + ± ± = 0 et
+ x2 + yx + ± ± = 0.
Et pour les signes + et – que j'ai omis, s'il y a +p en l'équation précédente, il faut mettre en chacune de celles-ci ; et –, s'il y a en l'autre –p.
Mais il faut mettre + en celle où il y a –yx; et – en celle où il y a + yx, lorsqu'il y a +q en la première ;
et au contraire s'il y a –q, il faut mettre – , en celle où il y a –yx ;
et + en celle où il y a +yx.
Ensuite de quoi il est aisé de connaître toutes les racines de l'équation proposée, et par conséquent de construire le problème, dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles, et des lignes droites.
Par exemple à cause que faisant y6 – 34y4 + 313y2 – 400 = 0,
pour x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0,
on trouve que y2 est 16, on doit au lieu de cette équation
x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0,
écrire ces deux
La Géométrie - Livre troisième - Page 386
autres + x2 – 4x – 3 = 0,
et + x2 + 4x + 2 = 0,
car y est 4, est 8, p est 17, et q est 20, de façon que
fait –3, et
fait + 2.
Et tirant les racines de ces deux Équations, on trouve toutes les mêmes, que si on les tirait de celle où est x4, à savoir on en trouve vue vraie, qui est + 2, et trois fausses,
qui sont – 2, 2 + et 2 – .
Ainsi ayant x4 – 4x2 – 8x + 35 = 0,
(x4 * – 4x2 – 8x + 35 : l'astérisque, omis par Descartes, a été rétabli par Schooten)
pourceque la racine de
y6 – 8y4 – 124y2 + 64 = 0,
est derechef 16, il faut écrire
x2 – 4x + 5 = 0 et x2 + 4x + 7 = 0.
Car ici
fait 5, et
fait 7.
Et pourcequ'on ne trouve aucune racine, ni vraie, ni fausse, en ces deux dernières Équations, on connaît delà que les quatre de l'Équation dont elles procèdent sont imaginaires ; et que le Problème, pour lequel on l'a trouvée, est plan de sa nature ; mais qu'il ne saurait en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre.
Tout de même ayant
z4 + (a2 – c2)z2 – (a2 + ac2)z –a4 – a2c2 = 0,
pourcequ'on trouve a2 + c2 pour y2, il faut écrire
Et pourceque nous avons fait ci-dessus , nous apprenons que la quantité x, pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est
.
Exemple de l'usage de ces réductions - Page 387
Mais afin qu'on puisse mieux connaître l'utilité de cette règle, il faut que je l'applique à quelque problème.
Si le carré AD, et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté AC jusqu'à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé BD jusqu'à G, en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E qu'on demandait.
Mais pour ceux qui ne sauraient point cette construction, elle serait assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseraient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, (ou CE,) à cause que ce
La Géométrie - Livre troisième - Page 388
sont elles qui conduisent le plus aisément à l'Équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d'expliquer.
Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a – x, et comme CF ou a – x est à FE ou c(sur certaines figures, c est noté le long du segment FE), ainsi FD ou x est à BF,
qui par conséquent est .
Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont l'un x et l'autre a,
leurs carrés, qui sont x2 + a2, sont égaux à celui de la base,
qui est ;
de façon que, multipliant le tout par
x2 – 2ax + a2,
on trouve que l'équation est
x4 – 2ax3 + 2a2x2 – 2a3x + a4 = c2x2,
ou bien
x4 – 2ax3 + (2a2 – c2) x2 – 2a3x + a4 = 0 ;
et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est
que si on posait BF, (ou CE,) ou BE, pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une Équation en laquelle il y aurait quatre
dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler, et on y viendrait assez aisément ; au lieu que si c'était DG qu'on supposât,
on viendrait beaucoup plus difficilement à l'Équation, mais aussi elle serait très simple.
Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le Problème proposé n'est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une Équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.
Je pourrais encore ajouter diverses règles pour démêler les Équations qui vont au cube ou au carré de
carré, mais elles seraient superflues ; car lorsque les Problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci.
Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré
Je pourrais aussi en ajouter d'autres pour les équations qui montent jusqu'au sursolide (puissance 5), ou au carré de cube, ou au-delà, mais j'aime mieux les comprendre toutes en une, et dire en général que, lorsqu'on a tâché de les réduire à même forme que celles d'autant de dimensions qui viennent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu'ayant dénombré tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose n'a pu succéder par aucun, on doit s'assurer qu'elles ne sauraient être réduites à de plus simples ; en sorte que si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des autres.
Humour de Descartes
Au reste, j'ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j'ai dit, à cause qu'elles m'ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la peine d'examiner méthodiquement si j'ai failli, elles se présenteront à vous d'elles-mêmes; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu'en les lisant.
Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions
Or quand on est assuré, que le Problème proposé est solide, soit que l'équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré (puissance 4), soit qu'elle ne monte que jusqu'au cube, on peut toujours en trouver la racine par l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou même par quelque partie de l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être ; en ne se servant au reste que de lignes droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de
Descartes et les Mathématiques
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, d'où x2 = ay ; y2 = bx et xy = ab.
du premier genre, mais sa méthode fonctionne pour les courbes 
pour le point F et 
pour H qui sont bien du deuxième genre.
Télécharger la 
il faut faire z + 
a4
qui est la moitié de celle du second.
,
la quantité connue du second terme, qui est aussi 
, et par son cube qui est 3
, ce qui fait
y – 
= 0.
, 1, et 
et que celles de la première étaient 
, 
et 
.
a2 – c2, et p2 est 
a4 – a2c2 + c4,
a4 + a2c2,
± 
± 
= 0 et
+ 2, et trois fausses,
et 2 – 
a4 – 
z + 
a2 –
,
.
, nous apprenons que la quantité x, pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est
.
.
;
, soit 
.
admet bien la solution positive :
.
qui conduit à l'équation du second degré : x(x + c) = a(a + b).
.
.