Descartes et les Mathématiques

La Géométrie - Fin du Livre Deuxième

Ovales de Descartes

Fac-similés de « La Géométrie » et commentaires sur les ovales, en rapport avec la fabrication de lentilles optiques.

Table des matières

Descartes utilise la méthode des tangentes pour étudier les propriétés des ovales, qu'il a inventés pour sa Dioptrique.

Ovales où les rayons lumineux, issus d'un même foyer se réfractant en un même point, après la rencontre de la courbe.

Descartes propose deux constructions des ovales dans sa Géométrie : une construction point par point, puis un tracé avec règle et corde.

La Géométrie - Premier ovale - Page 352

Ci-contre en haut de l'image, la fin du chapitre sur la conchoïde de la page sur la méthode des tangentes.

Explication de quatre nouveaux genres d'ovales qui servent à l'optique

Au reste, afin que vous sachiez que la considération des lignes courbes ici proposée n'est pas sans usage, et qu'elles ont diverses propriétés qui ne cèdent en rien à celles des sections coniques, je veux encore ajouter ici l'explication de certaines ovales (ovale est du féminin chez Descartes) que vous verrez être très utiles pour la théorie de la catoptrique et de la dioptrique.

Voici la façon dont je les décris :

Premièrement, ayant tiré les lignes droites FA et AR, qui s'entrecoupent au point A, sans qu'il importe à quels angles, je prends en l'une le point F à discrétion, c'est-à-dire plus ou moins éloigné du point A, selon que

Premier ovale de Descartes

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Sur un axe, deux foyers F et G de part et d'autre d'un point A. La proportion qui mesure les réfractions est donnée par un angle GAR, grâce à un point R tel que AR = AG.
On projette un point 5 de l'axe en 6 sur la droite (AR) tel que k = A5/A6 soit cette proportion.

Soit (c₁) le cercle de centre F et de rayon F5 et (c₂) de centre G et de rayon R6.
L'ovale est le lieu des points I d'intersection des cercles (c₁) et (c₂) lorsque le point 5 varie.

Équation bipolaire : r + k r’ = c.

En effet, r = FI = F5 = FA + A5 = FA + k A6 et r’ = IG = 6R = AR – A6.
De A6 = AR – r’, on trouve r = FA + k (AR – r’), et on conclut r + k r’ = FA + k AR = c

La Géométrie - Livre second - Page 353

je veux faire ces ovales plus ou moins grandes, et de ce point F, comme centre, je décris un cercle qui passe quelque peu au-delà du point A, comme par le point 5 ; puis de ce point 5 je tire la ligne droite 56 (notation des points par des chiffres bien maladroite), qui coupe l'autre au point 6, en sorte que A6 soit moindre que A5 selon telle proportion donnée qu'on veut, à savoir selon celle qui mesure les (indices de) réfractions si on s'en veut servir pour la dioptrique.

Après cela je prends aussi le point G en la ligne FA du côté où est le point 5, à discrétion, c'est-à-dire en faisant que les lignes AF et GA ont entre elles telle proportion donnée qu'on veut.

Puis je fais RA égale à GA en la ligne A6, et du centre G décrivant un cercle dont le rayon soit égal à R6, il coupe l'autre cercle de part et d'autre au point I, qui est l'un de ceux par où doit passer la première des ovales cherchées.

Pour montrer les variations du point 5 et de sa projection 6, Descartes duplique la construction au point 7 et en sa projection 8. Il trace alors deux nouveaux points I de l'ovale :

Puis derechef du centre F je décris un cercle qui passe un peu au-deçà ou au-delà du point 5, comme par le point 7, et ayant tiré la ligne droite 78 parallèle à 56, du centre G je décris un autre cercle dont le rayon est égal à la ligne R8, et ce cercle coupe celui qui passe par le point 7 au point I, qui est encore l'un de ceux de la même ovale ; et ainsi on en peut trouver autant d'autres qu'on voudra, en tirant derechef d'autres lignes parallèles à 78, et d'autres cercles des centres F et G.

Pour le deuxième ovale de Descartes, le point R, nommé S est placé de l'autre côté de A (k négatif dans l'équation bipolaire).

Pour les troisième et quatrième ovales, les foyers sont à l'intérieur de l'ovale. Le foyer G, nommé H, est tel que F est entre H et A.

Pour la seconde ovale (Note Tannery : géométriquement identique à la 3^e, comme la 1^ère l'est à la 4^e) il n'y a point de différence, sinon qu'au lieu de AR il faut de l'autre côté du point A prendre AS égal à AG, et que le rayon du cercle décrit du centre G, pour couper celui qui est décrit du centre F et qui passe par le point 5, soit égal à la

La Géométrie - Deuxième ovale - Page 354

ligne S6, ou qu'il soit égal à S8, si c'est pour couper celui qui passe par le point 7, et ainsi des autres ; au moyen de quoi ces cercles s'entre-coupent aux points marqués 2, 2, qui sont ceux de cette seconde ovale A2X.

Pour la troisième et la quatrième, au lieu de la ligne AG il faut prendre AH de l'autre côté du point A, à savoir du même qu'est le point F ; et il y a ici de plus à observer que cette ligne AH doit être plus grande que AF, laquelle peut même être nulle, en sorte que le point F se rencontre où est le point A en la description de toutes ces ovales. Après cela les lignes AR et AS étant égales à AH, pour décrire la troisième ovale A3Y, je fais un cercle du centre H, dont le rayon est

La Géométrie - Troisième et quatrième ovale - Page 355

égal à S6, qui coupe au point 3 celui du centre F, qui passe par le point 5 ; et un autre dont le rayon est égal à S8, qui coupe celui qui passe par le point 7 au point aussi marqué 3, et ainsi des autres.

Enfin, pour la dernière

La Géométrie - Ovale du jardinier - Page 356

ovale, je fais des cercles du centre H, dont les rayons sont égaux aux lignes R6, R8, et semblables, qui coupent les autres cercles aux points marqués 4.

On pourrait encore trouver une infinité d'autres moyens pour décrire ces mêmes ovales.

Tracé de l'ovale de foyers F et G ayant pour diamètre [AV] : le point L divise le segment [FG] dans le rapport A5/A6 et K est le milieu de [AL].

Comme par exemple, on peut tracer la première AV, lorsqu'on suppose les lignes FA et AG être égales, si on divise la toute FG au point L, en sorte que FL soit à LG comme A5 à A6, c'est-à-dire qu'elles aient la proportion qui mesure les réfractions.

Construction avec une ficelle et une règle, à la manière de la méthode du jardinier pour l'ellipse :

Les deux extrémités d'une corde étant fixées en E et G, la corde tendue coulisse autour de K, et autour de C tout en restant plaquée contre la règle qui tourne autour de F.

Puis ayant divisé AL en deux parties égales au point K, qu'on fasse tourner une règle comme EF autour du point F, en pressant du doigt G la corde EC, qui étant attachée au bout de cette règle vers E, se replie de C vers K, puis de K derechef vers C, et de C vers G, où son autre bout soit attaché, en sorte que la longueur de cette corde soit composée de celle des lignes GA, plus AL, plus FE, moins AF; et ce sera le mouvement du point C qui décrira cette ovale, à l'imitation de ce qui a été dit en la dioptrique de l'ellipse

La Géométrie - Livre second - Page 357

et de l'hyperbole; mais je ne veux point m'arrêter plus longtemps sur ce sujet.

Classification, selon la position relative des foyers et par rapport à l'axe tranverse (sécant en L).

Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi[-ment] de même nature, elles sont néanmoins de quatre divers genres, chacun desquels contient sous soi une infinité d'autres genres, qui derechef contiennent chacun autant de diverses espèces que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles ; car selon que la proportion qui est entre les lignes A5, A6, ou semblables, est différente, le genre subalterne de ces ovales est différent ; puis selon que la proportion qui est entre les lignes AF, et AG, ou AH est changée, les ovales de chaque genre subalterne changent d'espèce ; et selon que AG ou AH est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur ; et si les lignes A5 et A6 sont égales, au lieu des ovales du premier genre ou du troisième, on ne décrit que des lignes droites ; mais au lieu de celles du second on a toutes les hyperboles possibles, et au lieu de celles du dernier toutes les ellipses (k = ±1 dans l'équation bipolaire).

Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions

Outre cela, en chacune de ces ovales il faut considérer deux parties qui ont diverses propriétés ; à savoir en la première, la partie qui est vers A, fait que les rayons qui étant dans l'air viennent du point F, se retournent tous vers le point G, lorsqu'ils rencontrent la superficie convexe d'un verre dont la superficie est IAI, et dans lequel les réfractions se font telles que, suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes être mesurées par la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ou semblables, par l'aide desquelles on a décrit cette ovale.

On écrit aussi l'équation bipolaire de l'ovale sous la forme u r + v r’ = c.

Si i₁ et  i₂ sont les angles que font les segments IF et IG avec la normale en I à l'ovale,
on a la relation de la loi de la réfraction :  = = k.

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D'où la propriété qui a motivé l'étude de cet ovale par Descartes :
pour I suffisamment proche de A, le rayon lumineux issus de F, et réfracté en I par l'ovale, converge vers G :

Soit IF₁ et IG₁ deux vecteurs unitaires portés par les rayons focaux. La normale à l'ovale en I a pour vecteur directeur IF₁ = k IG₁. Soit F’ et G’ les projections de F₁ et G₁ sur cette normale en I.
L'égalité des proportions F₁F’/G₁G’ = A5/A6 = k montre que les rayons FI et IG vérifient la loi de réfraction.

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La Géométrie - Ovale - Page 358

Mais la partie qui est vers V fait que les rayons qui viennent du point G se réfléchiraient tous vers F, s'ils y rencontraient la superficie concave d'un miroir dont la figure fût IVI, et qui fût de telle matière qu'il diminuât la force de ces rayons, selon la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ; car de ce qui a été démontré en la Dioptrique, il est évident que, cela posé, les angles de la réflexion seraient inégaux, aussi bien que sont ceux de la réfraction, et pourraient être mesurés en même sorte,

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plus grande que AF, ce miroir serait convexe au milieu vers A, et concave aux extrémités ; car telle est la figure de cette ligne, qui en cela représente plutôt un cœur qu'une ovale.

Mais son autre partie X2 sert pour les réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l'air tendent vers F, se détournent vers G en traversant la superficie d'un verre qui en ait la figure.

La troisième ovale sert toute aux réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l'air tendent vers F, se vont rendre vers H dans le verre, après qu'ils ont traversé sa superficie dont la figure est A3Y3, qui est convexe partout, excepté vers A où elle est un peu concave, en sorte qu'elle a la figure d'un cœur aussi bien que la précédente; et la différence qui est entre les deux parties de cette ovale consiste en ce que le point F est plus proche de l'une que n'est le point H, et qu'il est plus éloigné de l'autre que ce même point H.

En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions, et fait que si les rayons qui viennent du point H rencontraient la superficie concave d'un miroir de même matière que les précédents, et dont la figure fût A4Z4, ils se réfléchiraient tous vers F.

De façon qu'on peut nommer les points F et G ou H les points brûlants (foyers) de ces ovales, à l'exemple de ceux des ellipses et des hyperboles, qui ont été ainsi nommés en la Dioptrique.

Démonstration de ces propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions

Titre page suivante.

J'omets quantité d'autres réfractions et réflexions qui sont réglées par ces mêmes ovales, car n'étant que les converses ou les contraires de celles-ci, elles en

La Géométrie - Normale à l'ovale - Page 360

peuvent facilement être déduites. Mais il ne faut pas que j'omette la démonstration de ce que j'ai dit ; et à cet effet prenons, par exemple le point C, à discrétion en la première partie de la première de ces ovales ; puis tirons la ligne droite CP, qui coupe la courbe au point C à angles droits, ce qui est facile par le problème précédent.

Car prenant b pour AG, c pour AF, c + z pour FC et supposant que la proportion qui est entre d et e, que je prendrai ici toujours pour celle qui mesure les réfractions du verre proposé, désigne aussi celle qui est entre les lignes A5, et A6, ou semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne pour GC :
on trouve que la ligne AP est

ainsi qu'il a été montré ci-dessus (page 350).

De plus du point P ayant tiré PQ à angles droits sur la droite FC, et PN aussi à angles droits sur GC, considérons que si PQ est à PN, comme d est à e, c'est-à-dire, comme les lignes qui mesurent les réfractions du verre convexe AC, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s'y courber en entrant dans ce verre, qu'il s'aille rendre après vers G : ainsi qu'il est très évident de ce qui a été dit en la Dioptrique.

Puis enfin voyons par le calcul, s'il est vrai, que PQ soit à PN ; comme d est à e.

Les triangles rectangles PQF et CMF sont semblables ;

La Géométrie - Livre second - Page 361

d'où il suit que CF est à CM, comme FP est à PQ ; et par conséquent que FP, étant multipliée par CM, et divisée par CF, est égale à PQ.

Tout de même les triangles rectangles PNG, et CMG sont semblables ; d'où il suit que GP, multipliée par CM, et divisée par CG, est égale à PN.

Puis à cause que les multiplications, ou divisions, qui se font de deux quantités par une même, ne changent point la proportion qui est entre elles ; si FP multipliée par CM ; et divisée par CF, est à GP multipliée aussi par CM et divisée par CG ; comme d est à e, en divisant l'une et l'autre de ces deux sommes par CM, puis les multipliant toutes deux par CF, et derechef par CG, il reste FP multipliée par CG, qui doit être à GP multipliée par CF, comme d est à e.

Or par la construction FP est

Ou bien

FP =

et CG est b – z

si bien que multipliant FP par CG il vient

Puis GP est

ou bien

GP =

et CF est c + z

Si bien que multipliant GP par CF, il vient

GP × CF =

Et pourceque la première de ces sommes divisée par d, est la même que la seconde divisée par e, il est manifeste, que FP multipliée par CG est à GP multipliée par CF ;

La Géométrie - Livre second - Page 362

c'est-à-dire que PQ est à PN, comme d est à e, qui est tout ce qu'il fallait démontrer.

Et sachez que cette même démonstration s'étend à tout ce qui a été dit des autres réfractions ou réflexions, qui se font dans les ovales proposées sans qu'il y faille changer aucune chose, que les signes + et – du calcul, c'est pourquoi chacun les peut aisément examiner de soi-même, sans qu'il soit besoin que je m'y arête.

Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j'ai omis en la Dioptrique, lorsqu'après avoir remarqué qu'il peut y avoir des verres de plusieurs diverses figures qui fassent aussi bien l'un que l'autre que les rayons venant d'un même point de l'objet s'assemblent tous en un autre point après les avoir traversés ; et qu'entre ces verres, ceux qui sont fort convexes d'un côté et concaves de l'autre ont plus de force pour brûler que ceux qui sont également convexes des deux côtés ; au lieu que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les lunettes.

Je me suis contenté d'expliquer ceux que j'ai cru être les meilleurs pour la pratique, en supposant la difficulté que les artisans peuvent avoir à les tailler.

C'est pourquoi, afin qu'il ne reste rien à souhaiter touchant la théorie de cette science, je dois expliquer encore ici la figure des verres qui, ayant l'une de leurs superficies autant convexe ou concave qu'on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons qui viennent vers eux d'un même point, ou parallèles, s'assemblent après en un même point ; et celles des verres qui font le semblable, étant également convexes des deux côtés, ou bien la

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convexité de l'une de leurs superficies ayant la proportion donnée à celle de l'autre.

Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l'une de ses superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou, concavité de l'autre

Posons pour le premier cas, que les points G, Y, C et F étant donnés, les rayons qui viennent du point G, ou bien qui sont parallèles à GA se doivent assembler au point F, après avoir traversé un verre si concave, que Y étant le milieu de sa superficie intérieure, l'extrémité en soit au point C, en sorte que la corde CMC et la flèche YM de l'arc CYC sont données.

La question va là, que premièrement il faut considérer de laquelle des ovales expliquées, la superficie du verre YG doit avoir la figure, pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même point, comme vers H, qui n'est pas encore connu, s'aillent rendre vers un autre, à savoir vers F, après en être sortis.

Car il n'y a aucun effet touchant le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfraction d'un point à un autre, qui ne puisse être causé par quelqu'une de ces ovales ; et on voit aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a tantôt été marquée 3A3 (figure troisième ovale - réfraction, page 355), ou par celle de la même qui a été marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée 2X2 (figure seconde ovale page 354).

Et pourceque ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant pour l'une que pour l'autre, prendre Y pour

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leur sommet, C pour l'un des points de leur circonférence, et F pour l'un de leurs points brûlants ; après quoi il ne reste plus à chercher que le point H qui doit être l'autre point brûlant.

Et on le trouve en considérant que la différence qui est entre les lignes FY et FC doit être à celle qui est entre les lignes HY et HC comme d est à e, c'est-à-dire comme la plus grande des lignes qui mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi qu'on peut voir manifestement de la description de ces ovales.

Et pourceque les lignes FY et FC sont données, leur différence l'est aussi, et ensuite celle qui est entre HY et HC, pourceque la proportion qui est entre ces deux différences est donnée.

Et de plus, à cause que YM est donnée, la différence qui est entre MH et HG l'est aussi ; et enfin pourceque CM est donnée, il ne reste plus qu'à trouver MH le côté du triangle rectangle CMH dont on a l'autre côté CM, et on a aussi la différence qui est entre CH la base et MH le côté demandé ; d'où il est aisé de le trouver : car si on prend k pour l'excès de GH sur MH, et n pour la longueur de la ligne CM, on aura pour MH.

Et après avoir ainsi le point H, s'il se trouve plus loin du point Y,

La Géométrie - Livre second - Page 365

que n'en est le point F, la ligne CY doit être la première partie de l'ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3A3 (figure troisième ovale - réfraction, page 355).

Mais si HY est moindre que FY, ou bien elle surpasse HF de tant, que leur différence est plus grande à raison de la toute FY, que n'est e la moindre des lignes qui mesurent les réfractions comparée avec d la plus grande, c'est-à-dire que faisant HF = c, et HY = c + h, dh est plus grande que 2ce + eh, et lors CY doit être la seconde partie de la même ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3Y3 (figure troisième ovale - réfraction, page 355) ; ou bien dh est égale ou moindre que 2ce + eh, et lors CY doit être la seconde partie de l'ovale du second genre, qui a ci-dessus été nommée 2X2 (figure seconde ovale - réfraction, page 354) ; et enfin si le point H est le même que le point F, ce qui n'arrive que lorsque FY et FC sont égales, cette ligne YC est un cercle.

Après cela il faut chercher CAC l'autre superficie de ce verre, qui doit être une ellipse dont H soit le point brûlant, si on suppose que les rayons qui tombent dessus soient parallèles ; et lors il est aisé de la trouver.

Mais si on suppose qu'ils viennent du point G, ce doit être la première partie d'une ovale du premier genre dont les deux points brûlants soient G et H, et qui passe par le point C ; d'où on trouve le point A pour le sommet de cette ovale, en considérant que GC doit être plus grande que GA d'une quantité qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme d à e ; car ayant pris k pour la différence qui est entre CH et HM, si on suppose x pour AM, on aura x – k pour la différence qui est entre AH et CH ; puis si on prend g pour celle qui est entre GC et GM qui sont données, on aura g + x pour celle qui est entre GG, et GA ; et

La Géométrie - Deuxième verre optique - Page 366

pourceque cette dernière g + x est à l'autre x – k comme d est à e,
on a ge + ex = dx – dk, ou bien pour la ligne x, ou AM, par laquelle on détermine le point A qui était cherché.

Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l'une de ses superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou, concavité de l'autre

Posons maintenant pour l'autre cas, qu'on ne donne que les points G, C et F, avec la proportion qui est entre les lignes AM et YM, et qu'il faille trouver la figure du verre ACY qui fasse que tous les rayons qui viennent du point G s'assemblent au point F.

On peut derechef ici se servir de deux ovales dont l'une AG ait G et H pour ses points brûlants, et l'autre CY ait F et H pour les siens.

Et pour les trouver, premièrement, supposant le point H, qui est commun à toutes deux, être connu, je cherche AM par les trois points G, C, H, en la façon tout maintenant expliquée, à savoir, prenant k pour la différence qui est entre CH et HM, et g pour celle qui est entre GC et GM, et AG étant la première partie de l'ovale du premier genre,

j'ai pour AM ;

puis je cherche aussi MY par les trois points F, C, H, en sorte que CY soit la première partie d'une ovale du troisième genre ; et prenant y pour MY,

La Géométrie - Livre second - Page 367

et f pour la différence qui est entre CF et FM, j'ai f + y pour celle qui est entre CF et FY; puis ayant déjà k pour celle qui est entre CH et HM, j'ai k + y pour celle qui est entre CH et HY, que je sais devoir être à f + y comme e est à d, à cause de l'ovale du troisième genre, d'où je trouve que y ou

MY est ;

puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour AM et MY,

je trouve

pour la toute AY : d'où il suit que, de quelque côté que soit supposé le point H, cette ligne AY est toujours composée d'une quantité qui est à celle dont les deux ensemble GC et CF surpassent la toute GF, comme e, la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les réfractions du verre proposé, est à d – e la différence qui est entre ces deux lignes, ce qui est un assez beau théorème.

Or, ayant ainsi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties AM et MY; au moyen de quoi, pourcequ'on a déjà le point M, on trouve aussi les points A et Y, et ensuite le point H par le problème précédent.

Mais auparavant il faut regarder si la ligne AM ainsi trouvée est plus grande que

,

ou plus petite, ou égale.

Car si elle est plus grande, on apprend de là que la courbe AC doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et CY la première d'une du troisième, ainsi qu'elles ont été ici supposées ; au lieu que si elle est plus petite, cela montre que c'est GY qui doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et que AC doit être la première d'une du troisième; enfin si AM est égale à

La Géométrie - Livre second - Page 368

,

les deux courbes AC et CY doivent être deux hyperboles.

On pourrait étendre ces deux problèmes à une infinité d'autres cas que je ne m'arrête pas à déduire, à cause qu'ils n'ont eu aucun usage en la dioptrique.

On pourrait aussi passer outre et dire, lorsque l'une des superficies du verre est donnée, pourvu qu'elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques ou de cercles, comment on doit faire son autre superficie, afin qu'il transmette tous les rayons d'un point donné à un autre point aussi donné, car ce n'est rien de plus difficile que ce que je viens d'expliquer, ou plutôt c'est chose beaucoup plus facile à cause que le chemin en est ouvert.

Mais j'aime mieux que d'autres le cherchent, afin que s'ils ont encore un peu de peine à le trouver, cela leur fasse d'autant plus estimer l'invention des choses qui sont ici démontrées.

Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions, ou bien sur une superficie courbe

Au reste je n'ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu'on peut décrire sur une superficie plate ; mais il est aisé de rapporter ce que j'en ai dit à toutes celles qu'on saurait imaginer être formées par le mouvement régulier des points de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions : à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne courbe qu'on veut considérer, sur deux plans qui s'entre-coupent à angles droits, l'une sur l'un et l'autre sur l'autre ; car les extrémités de ces perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de ces plans, desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer tous

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les points et les rapporter à ceux de la ligne droite, qui est commune à ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la courbe, qui a trois dimensions, sont entièrement déterminés.

Même si on veut tirer une ligne droite qui coupe cette courbe au point donné à angles droits, il faut seulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné; car ayant élevé deux autres plans, un sur chacune de ces lignes droites, qui coupe à angles droits le plan où elle est, on aura l'intersection de ces deux plans pour la ligne droite cherchée.

Et ainsi je pense n'avoir rien omis des éléments qui sont nécessaires pour la connaissance des lignes courbes.

Note Adam et Tannery : L'alinéa qui précède est, dans la Géométrie de Descartes, le seul endroit où il aborde réellement un problème concernant les trois dimensions.
Or précisément, la solution qu'il indique est erronée, et il est singulier qu'aucun de ses contemporains ne l'ait remarqué.

Non seulement, en un point donné d'une courbe gauche, il y a une infinité de normales situées dans un même plan ; mais encore la droite construite par Descartes ne peut être normale que dans des cas très particuliers, comme on le voit aisément si, au lieu d'une courbe, on considère une droite dans l'espace et ses projections sur deux plans rectangulaires.

La théorie des ovales fera l'objet d'une Note dans le volume des Œuvres contenant les écrits posthumes.

Quant à l'élégante construction de la normale à la conchoïde, elle a récemment été l'objet d'une remarquable divination de M. Zeuthen (Nyt Tidsskrift for Matematik de C. Juel et V. Trier, Copenhague, 1900, pp. 49-58). Cette normale est la diagonale d'un parallélogramme dont les côtés, dirigés suivant le rayon vecteur CA et la perpendiculaire CH à la droite fixe BH, sont inversement proportionnels
aux vitesses de variation (ou aux différentielles) de AC et de CH.

On a, en effet, aisément : (AC – EC) CH = EC . AB ;
d'où .