Conclusions sur les équations et les problèmes :
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques,
ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées
Ce livre troisième est plus un manuel d'algèbre qu'un de géométrie. C'est une nouvelle théorie algébrique des équations, avec des conseils pour bien mener les calculs.
La recherche des racines des équations de degré supérieur à deux se fait par l'intersection de courbes géométriques.
On y trouve la résolution d'équation du troisième degré, une résolution de problème avec une équation du quatrième degré et le calcul de la racine cubique à l'aide d'une parabole,
la trisection de l'angle, puis les racines de l'équation du sixième degré par l'intersection d'un cercle et d'une courbe.
Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions
Or quand on est assuré, que le Problème proposé est solide, soit que l'équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré (puissance 4), soit qu'elle ne monte que jusqu'au cube, on peut toujours en trouver la racine par l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou même par quelque partie de l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être ; en ne se servant au reste que de lignes droites et de cercles.
Mais je me contenterai ici de
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donner une règle générale pour les trouver toutes par le moyen d'une Parabole, à cause qu'elle est en quelque façon la plus simple.
Premièrement il faut ôter le second terme de l'équation proposée, s'il n'est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme
z3 = ± apz2 ± a2q, si la quantité inconnue n'a que trois dimensions ;
ou bien à telle z4 = ± apz2 ± a2qz ± a3r, si elle en a quatre ;
ou bien en prenant a pour l'unité, à telle z3 = ± az ± q,
et à telle z4 = ± pz2 ± qz ± r.
Après cela supposant que la Parabole FAG est déjà décrite, et que son essieu est ACDKL, et que son côté droit est a ou 1, dont AC est la moitié, et enfin que le point C est au dedans de cette Parabole, et que A en est le sommet ; il faut faire CD = , et la prendre du même côté, qu'est le point A au regard du point C (lire « qu'est le point C au regard du point A »), s'il y a + p en l'équation ; mais s'il y a – p il faut la prendre de l'autre côté.
Et du point D, ou bien, si la quantité p était nulle, du point C il faut élever une ligne à angles droits jusqu'à E, en sorte qu'elle soit égale à , et enfin du centre E il faut décrire le cercle FG, dont
le demi-diamètre soit AE, si l'équation n'est que cubique, en sorte que la quantité r soit nulle.
Mais quand il y a + r il faut dans cette ligne AE prolongée, prendre d'un côté AR égale à r, et de l'autre AS égale au côté droit de la Parabole qui est r, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit RS, il faut faire AH perpendiculaire sur AE, laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point H, qui est celui par où l'autre cercle FHG doit passer.
Et quand il y a – r il faut après avoir ainsi trouvé la ligne AH, inscrire AI, qui lui soit égale, dans un autre cercle, dont AE soit le diamètre, et lors c'est par le point I,
Or ce cercle FG peut couper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 points, desquels tirant des perpendiculaires sur l'essieu, on a toutes les racines de l'équation tant vraies, que fausses.
À savoir si la quantité q est marqué du signe +, les vraies racines seront celles de ces perpendiculaires, qui se trouveront du même côté de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; et les autres, comme GK, seront fausses : mais au contraire si cette quantité q est marquée du signe –, les vraies seront celles de l'autre côté ; et les fausses, ou moindres que rien seront du côté où est E le centre du cercle.
Et enfin si ce cercle ne coupe, n'y ne touche la Parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires.
En sorte que cette règle est la plus générale, et la plus accomplie qu'il soit possible de souhaiter.
Et la démonstration en est fort aisée.
Car si la ligne GK, trouvée par cette construction, se nomme z, AK sera z2 à cause de la Parabole, en laquelle GK doit être moyenne proportionnelle, entre AK, et le côté droit qui est 1 ; puis si de AK j'ôte AC, qui est , CD qui est ,
il reste DK, ou EM, qui est
dont le carré est
z4– pz2– z2 +
et à cause que DE, ou KM est , la toute GM est ,
dont le carré est ,
et assemblant ces deux carrés, on a
pour le carré de la ligne GE, à cause qu'elle est la base du triangle rectangle EMG.
Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diamètre du cercle FG, elle se peut encore expliquer en d'autres termes, à savoir ED étant
et AD étant ,
EA est
à cause de l'angle droit ADE, puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR qui est r, elle est , et à cause de l'angle droit EAH, le carré de HE,
où EG est
entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que
z4 = pz2– qz + r.
Et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette Équation, ainsi qu'il fallait démontrer.
Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle, en changeant les signes + et – selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il soit besoin que je m'y arête.
L'invention de deux moyennes proportionnelles
Descartes veut résoudre l'équation
z3 = a2q.
(il l'écrit sous la forme z3 ** a2q avec un symbole ressemblant à l'infini pour l'égalité et deux étoiles indiquant que l'équation ne comporte pas de monômes en z2, ni en z).
Le carré a2 est introduit pour que le terme de droite soit aussi de dimension 3 suivant ainsi la règle des homogènes de Viète.
Mais Descartes s'en affranchit aussitôt, faisant a 1
(a = 1) et inventant l'introduction de l'unité.
z et z’ sont deux moyennes proportionnelles de a et q si a, z, z, z’ forment une proportion ainsi que z, z’, z’, q. Maintenant on dirait que a, z, z’, q sont en progression géométrique.
On a alors z’ = et q = et ces quatre nombres sont égaux à a, z, et .
Si on veut donc suivant cette règle trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et q ; chacun sait que posant z pour l'une,
comme a est à z, ainsi z à , et à
de façon qu'il y a Équation entre q et , c'est-à-dire
décrite, avec la partie de son essieu AC, qui est a la moitié du côté droit (corde, perpendiculaire à l'axe au milieu de [AC], de longueur a) ; il faut du point C élever la perpendiculaire CE égale à q et du centre E par A, décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA, pour les deux moyennes cherchées.
Avec la méthode des coordonnées, dont Descartes a jeté les bases (et en conservant son orientation : l'origine est
A, les abscisses z sont dirigées vers la gauche, les ordonnées y vers le bas), la géométrie analytique permet de trouver l'équation du cercle de centre
E(, ) passant par A :
z2 – q z + y2 – a y = 0.
La parabole (FAG) d'équation admet [AC) comme axe et C comme foyer.
L'équation du troisième degré admet des solutions correspondant aux points d'intersection de la parabole et du cercle. Deux solutions fausses kg et KG et une troisième solution avec le point F de coordonnées FL et LA.
En éliminant y dans ces deux équations, on trouve z = = FL et = LA.
La trisection de l'angle ne peut être construite à la règle et au compas, car l'équation z3 = 3z – q n'est pas réductible au second degré dans le corps Q.
Tout de même si on veut diviser l'angle NOP, ou bien l'arc, ou portion de cercle NQTP, en trois parties égales ; faisant NO = 1, pour le rayon du cercle et, pour la subtendue de l'arc donné, et NQ = z pour la subtendue du tiers de cet arc ; l'équation vient z3 = 3z – q, car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT ; et faisant QS parallèle à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS ; en sorte
que NO étant 1, et NQ étant z, QR est z2, et RS est z3 ; et à cause qu'il s'en faut seulement RS ou z3 que la ligne NP, qui est q, ne soit triple de NQ, qui est z,
on a q = 3z – z3
ou bien z3 = 3z – q.
Puis la Parabole FAG étant décrite et CA la moitié de son côté droit principal étant on prend CD = et la perpendiculaire DE = q, et que du centre E, par A, on décrive le cercle FAgG, il coupe cette Parabole aux trois points F, g et G, sans compter le point A qui en est le sommet.
Ce qui montre qu'il y a trois racines en cette Équation, à savoir les deux GK et gk, qui sont vraies ; et la troisième qui est fausse, à savoir FL.
Et de ces deux vraies c'est gk la plus petite qu'il faut prendre pour la ligne NQ qui était cherchée.
Car l'autre GK est égale à NV, la subtendue de la troisième partie de l'arc NVP, qui avec l'autre arc NQP achève le cercle.
Et la fausse FL est égale à ces deux ensembles QN et NV, ainsi qu'il est aisé à voir par le calcul.
Partage en trois d'un angle NÔP qui intercepte la corde NP de longueur q sur un cercle de centre O de rayon ON = 1 : recherche de la longueur z de la corde NQ.
Les angles au centre NÔP, QÔT et TÔP sont égaux au tiers de l'angle NÔP. L'angle inscrit QNP, qui intercepte l'angle au centre double QÔP, est donc égal à NÔQ. Avec (QS) // (TO) les angles alternes-internes SQR et QOT sont égaux.
Les triangles isocèles NOQ, QNR et SQR, ayant les mêmes angles sont semblables.
On a NQ/ON = QR/NQ = RS/QR, donc z/1 = RQ/z soit QR = z2 de même de RS/QR = z on tire RS = z3.
Les longueurs ON, NQ, QR et RS sont en progression géométrique de raison z.
Dans le triangle isocèle QNR, on a NR = NQ = z.
Soit U le point d'intersection de NP et OT. Par symétrie, UTP est un aussi un triangle de côté UP = z.
Dans le parallélogramme QTUS, RU = QT = z.
On a donc NP = NR – RS + RU + UP = z – z3 + z + z = 3z – z3, d'où z3 = 3z – q.
Ci-dessus, Descartes trouve deux racines positives GK et gk et présente la racine négative – FL de façon abrupte.
C'est gk, la plus petite, qu'il faut prendre pour z pour tracer la ligne NQ.
Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions
Il serait superflu que je m'arrêtasse à donner ici d'autres exemples ; car tous les Problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point, qu'on n'a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu'elle sert a trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un angle en trois parties égales.
Ainsi que vous connaîtrez en considérant, que leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des Équations, qui ne montent que jusqu'au carré de carré, ou au cube : et que toutes celles qui montent au carré de carré, se réduisent au carré, par le moyen de quelques autres, qui ne
montent que jusqu'au cube : Et enfin qu'on peut ôter le second ternie de celles-ci.
En sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu'une de ces trois formes :
z3 = – pz + q z3 = + pz + q z3 = + pz – q
Or si on a z3 = – pz + q, la règle dont Cardan attribue l'invention à un nommé Scipio Ferreus, nous apprend que la racine est :
.
Dans ces formules de Cardan, le facteur C indique la racine cubique. Les signes négatifs ont été rectifiés.
Comme aussi lorsqu'on a z3 = + pz + q, et que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est :
.
La Géométrie - Livre troisième - Page 398
Ces formules peuvent être traduites en problèmes géométriques du troisième degré comme la trisection de l'angle.
Ces références à l'Antiquité, justifient Descartes quand il pense ainsi avoir réalisé l’unification des mathématiques.
D'où il parait qu'on peut construire tous les Problèmes, dont les difficultés se réduisent à l'une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour autre chose, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et l'unité.
Puis si on a z3 = + pz – p, et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, en supposant le cercle NQPV, dont le demi-diamètre NO soit , c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée p et l'unité ; et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce cercle qui soit ,
c'est-à-dire qui soit à l'autre quantité donne q comme l'unité est au tiers de p ; il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales, et on aura NQ, la subtendue du tiers de l'un, et NV la subtendue du tiers de l'autre, qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.
Enfin si on a z3 = pz – q en supposant derechef le cercle NQPV, dont le rayon NO
soit et l'inscrite NP
soit , NQ la subtendue du tiers de l'arc NQP sera l'une des racines cherchées, et NV la sustendue du tiers de l'autre arc sera l'autre.
Au moins si le carré de la moitié du dernier terme, n'est point plus grand, que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, car s'il était plus grand, la ligne NP ne pourrait être inscrite dans le cercle, à cause quelle serait plus longue que son diamètre.
de cette Équation ne seraient qu'imaginaires, et qu'il n'y en aurait de réelles que la fausse (en valeur absolue conformément à l'habitude de Descartes quand il énonce des racines fausses -négatives), qui suivant la règle de Cardan serait
Dans ces formules de Cardan, le facteur C indique la racine cubique.
La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu'au carré de carré
La Géométrie - Livre troisième - Page 400
Au reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la valeur des racines par le rapport qu'elles ont aux côtés de certains cubes dont il n'y a que le contenu qu'on connaisse, n'est en rien plus intelligible, ni plus simple, que de les exprimer par le rapport qu'elles ont aux subtendues de certains arcs, ou portions de cercles, dont le triple est donné.
En sorte que toutes celles des Équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.
Car si par exemple, on pense connaître la racine de cette Équation
z3 = – qz + p,
à cause qu'on sait qu'elle est composée de deux lignes, dont l'une est le côté d'un cube, duquel le contenu est , ajouté au côté d'un carré, duquel derechef le contenu est
;
et l'autre est le côté d'un autre cube, dont le contenu est la différence qui est
entre , et le côté de ce carré dont le contenu est
,
qui est tout ce qu'on en apprend par la règle de Cardan.
Il n'y a point de doute qu'on ne connaisse autant ou plus distinctement la racine de celle-ci
z3 = + qz – p,
en la considérant inscrite dans un cercle, dont le demi-diamètre est , et sachant qu'elle y est la subtendue d'un arc dont le triple a pour subtendue .
sont beaucoup moins embarrassés que les autres, et ils se trouveront beaucoup plus cours si on veut user de quelque chiffre particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu'on fait du chiffre pour exprimer le côté des cubes.
Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les Équations qui montent jusqu'au carré de carré, par les règles ci-dessus expliquées.
En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.
Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.
Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les Équations qui montent jusqu'au carré de carré, par les règles ci-dessus expliquées.
En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.
Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques, ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées
Phrases clefs et aboutissement de la Géométrie : par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Géomètres se réduit à ... chercher la valeur des racines de quelqu'Équation ;
En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.
Il est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde, pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l'est pas.
Mais, si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Géomètres se réduit à un même genre de Problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelqu'Équation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu'on a choisi la plus générale et la plus simple.
Et particulièrement pour ce qui est des Problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir être construis, sans qu'on y emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on peut assez trouver, de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions ; en l'une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points, qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux
lignes données, et en l'autre les deux points, qui divisent en trois parties égales un arc donné : car d'autant que la courbure du cercle ne dépend, que d'un simple rapport de toutes ses parties, au point qui en est le centre ; on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné ; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points différents.
Mais pour cette même raison, il est impossible qu'aucun des Problèmes qui sont d'un degré plus composés que les solides, et qui présupposent l'invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d'un angle en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections coniques.
C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse, si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se décrit par l'intersection d'une Parabole et d'une ligne droite en la façon ci-dessus expliquée.
Car j'ose assurer qu'il n'y en a point de plus simple en la nature, qui puisse servir à ce même effet ; et vous avez vu comme elle suit immédiatement les sections coniques, en cette question tant cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doivent être reçues en Géométrie.
Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n'a point plus de six dimensions
Vous savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités qui sont requises pour la construction de ces Problèmes, on les peut toujours réduire a quelque Équation, qui ne monte que jusqu'au carré de cube, ou
Puis vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette Équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies ; et avec cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second ; et enfin comment, si elle ne monte que jusqu'au sursolide, on la peut hausser jusqu'au carré de cube ; et faire que la place d'aucun de ses termes ne manque d'être remplie.
Or afin que toutes les difficultés, dont il est ici question, puissent être résolues par une même règle, je désire qu'on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu'on les réduise toujours à une Équation de telle forme
y6 – py5 + qy4 – ry3 + sy2 – ty + v = 0
et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée p.
Puis ayant fait la ligne BK indéfiniment longue des deux côtés du point B ayant tiré la perpendiculaire AB, dont la longueur soit il faut dans un plan séparé décrire une Parabole, comme CDF dont le côté droit principal soit
que je nommerai n pour abréger.
Après cela il faut poser le plan dans lequel est cette Parabole sur celui ou sont les lignes AB et BK, en sorte que son essieu DE se rencontre justement au-dessus de la ligne droite BK ; et ayant pris la partie de cet essieu, qui est entre les points E et D, égale à , il faut appliquer sur ce point E une longue règle, en telle façon qu'étant aussi appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure toujours jointe à ces deux points, pendant qu'on haussera ou baissera la Parabole
tout le long de la ligne BK, sur laquelle son essieu est appliqué au moyen de quoi l'intersection de cette Parabole et de cette règle, qui se fera au point C, décrira la ligne courbe ACN, qui est celle dont nous avons besoin de nous servir pour la construction du Problème proposé.
Car après qu'elle est ainsi décrite, si on prend le point L en la ligne BK, du côté vers lequel est tourné le sommet de la Parabole, et qu'on face BL égale à DE,
c'est-à-dire à ;
puis du point L, vers B, qu'on prenne en la même ligne BK, la ligne LH,
égale à ,
et que du point H ainsi trouvé, on tire à angles droits, du côté qu'est la courbe ACN, la ligne HI, dont la longueur soit
,
qui pour abréger sera nommée ; et après, ayant joint les points L et I, qu'on décrive le cercle LPI, dont IL soit le diamètre ; et qu'on inscrive en ce cercle la ligne LP dont la longueur soit
.
Puis enfin du centre I, par le point P ainsi trouvé, qu'on décrive le cercle PCN.
Ce cercle coupera ou touchera la ligne courbe ACN, en autant de points qu'il y aura de racines en l'équation : en sorte que les perpendiculaires tirées de ces points sur la ligne BK, comme CG, NR, QO, et semblables, seront les racines cherchées.
Sans qu'il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette règle.
Car si la quantité s était si grande, à proportion des autres p, q, r, t et v, que la ligne LP se trouvât plus grande que le diamètre du cercle
cercle IL, en sorte qu'elle n'y put être inscrite, il n'y aurait aucune racine en l'équation proposée qui ne fût imaginaire ; non plus que si le cercle IP était si petit, qu'il ne coupât la courbe ACN en aucun point.
Et il la peut couper en six différents ainsi qu'il peut y avoir six diverses racines en l'équation.
Mais lorsqu'il la coupe en moins, cela témoigne qu'il y a quelques-unes de ces racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu'imaginaires.
Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouvement d'une Parabole vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour la décrire.
Comme si ayant les mêmes quantités que devant pour AB et BL ; et la même pour BK, qu'on avait posée pour le côté droit principal de la Parabole; on décrit le demi-cercle KST dont le centre soit pris à discrétion dans la ligne BK, en sorte qu'il coupe quelque part la ligne AB, comme au point S, et que du point T, du il finit, on prenne vers K la ligne TV, égale à BL; puis ayant tiré la ligne SV, qu'on en tire une autre, qui lui soit parallèle, par le point A, comme AC; et qu'on en tire aussi une autre par S, qui soit parallèle à BK, comme SC ; le point C, ou ces deux parallèles se rencontrent, sera l'un de ceux de la ligne courbe cherchée.
Et on en peut trouver, en même sorte, autant d'autres qu'on en désire (Construction point par point de la parabole).
Or la démonstration de tout ceci est assez facile, car appliquant la règle AE avec la Parabole ED sur le point C ; comme il est certain qu'elles peuvent y être appliquées ensemble, puisque ce point C est en la courbe ACN, qui est décrite par leur intersection ;
si CG se nomme y,
GD sera ,
à cause que le côté droit, qui est n, est à CG, comme CG à GD, et ôtant DE,
qui est de GD,
on a – , pour GE.
Puis à cause que AB est a BE comme CG est à GE ;
AB étant ,
BE est –
Et tout de même en supposant que le point C de la courbe a été trouvé par l'intersection des lignes droites, SC parallèle à BK, et AC parallèle à SV. SB gui est égale à CG, est y : et BK étant égale au côté droit de la Parabole, que j'ai nommé n,
BT est car comme KB est à BS, ainsi BS est à BT.
et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE, qui est par conséquent – comme devant, d'où on voit que c'est une même ligne courbe qui se décrit en ces deux façons.
Après cela, pourceque BL et DE sont égales, DL et BE le sont aussi : de façon qu'ajoutant LH, qui est ,
à DL qui est – ,
on a la toute DH,
qui est – +
et en ôtant GD, qui est
on a GH, qui est – + – .
Ce que j'écris par ordre en cette sorte
GH = .
Et le carré de GH est
,
Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q, on trouvera toujours que le carré de là ligne droite, qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes, et avec les mêmes signes + et –.
De plus IH étant et LH étant ,
IL est
à cause de l'angle droit IHL ; et LP étant
à cause aussi de l'angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH, IM est la différence qui est entre IH et HM ou CG, c'est-à-dire entre et y,
en sorte que son carré est toujours
pour le carré de CM, qui est égal au carré de GH déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par n2y2,
on a .
Puis remettant , pour n2y4 ;
et pour 2my3 ;
et multipliant l'une et l'autre somme par n2y2, on a
égal à .
C'est-à-dire qu'on a,
y6 – py5 + qy4 – ry3 + sy2 – ty + u = 0.
D'où il paraît que les lignes CG, NR, QO, et semblables sont les racines de cette Équation, qui est ce qu'il fallait démontrer.
Créer quatre moyennes proportionnelles
La Géométrie - Livre troisième - Page 411
Titre de paragraphe oublié
Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes a et b, ayant posé x pour la première, l'Équation est x5 – a4b = 0, ou bien x6 – a4b x = 0.
Et après avoir décrit la ligne courbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire
LH =
et HI =
et LP = ,
car le cercle qui, ayant son centre au point I passera par le point P ainsi trouvé, coupera la courbe aux deux points C et N, desquels ayant tiré les perpendiculaires NR et CG, si la moindre NR est ôtée de la plus grande CG, le reste sera x, la première des quatre moyennes cherchées.
Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq parties égales, et d'inscrire une figure de onze ou treize côtés égaux dans un cercle, et de trouver une infinité d'autres exemples de cette règle.
Toutefois il est à remarquer qu'en plusieurs de ces exemples il peut arriver que le cercle coupe si obliquement la parabole du second genre, que le point de leur intersection soit difficile à reconnaître, et ainsi que cette construction ne soit pas commode pour la pratique ; à quoi il serait aisé de remédier en composant d'autres règles à l'imitation de celle-ci, comme on en peut composer de mille sortes.
Mais mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j'ai fait, si on considère qu'ayant réduit à une même construction tous
les problèmes d'un même genre, j'ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d'autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d'eux en une infinité de façons.
Puis outre cela, qu'ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d'un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus composés en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini. (Il a réitéré la transformation de Descartes avec un cercle et une droite pour le degré 2, un cercle et une parabole pour les degrés 3 et 4, un cercle et une parabole de Descartes pour les degrés 5 et 6, mais il est inexact que l’on puisse aller au delà ; une équation de degré 8, en général, ne peut être résolue par une parabole de Descartes et une conchoïde)
Car, en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres.
L'humour de Descartes est passé à la postérité :
Et j'espère que nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j'ai ici expliquées, mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.
Sur tablette numérique ou smartphone, bascule automatique vers la 
, et la prendre du même côté, qu'est le point A au regard du point C (lire « qu'est le point C au regard du point A »), s'il y a + p en l'équation ; mais s'il y a – p il faut la prendre de l'autre côté.
, et enfin du centre E il faut décrire le cercle FG, dont
, CD qui est 
,
,
,
,
, et à cause de l'angle droit EAH, le carré de HE,
** a2q avec un symbole ressemblant à l'infini pour l'égalité et deux étoiles indiquant que l'équation ne comporte pas de monômes en z2, ni en z).
et q = 
et ces quatre nombres sont égaux à a, z, 
a la moitié du côté droit 
, 
) passant par A :
= FL et 
Télécharger la 
et la perpendiculaire DE = 
![\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 + \frac{1}{27}p^3}}-\sqrt[3]{-\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2+\frac{1}{27}p^3}}](objet/formule_cardan.png)
.![\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 - \frac{1}{27}p^3}}+\sqrt[3]{\frac12 q -\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}](objet/formule_cardan2.png)
.
, c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée p et l'unité ; et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce cercle qui soit 
,
, NQ la subtendue du tiers de l'arc NQP sera l'une des racines cherchées, et NV la sustendue du tiers de l'autre arc sera l'autre.![\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}+\sqrt[3]{\frac12 q -\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}](objet/formule_cardan3.png)
, ajouté au côté d'un carré, duquel derechef le contenu est
;
, il faut appliquer sur ce point E une longue règle, en telle façon qu'étant aussi appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure toujours jointe à ces deux points, pendant qu'on haussera ou baissera la Parabole
;
,
,
; et après, ayant joint les points L et I, qu'on décrive le cercle LPI, dont IL soit le diamètre ; et qu'on inscrive en ce cercle la ligne LP dont la longueur soit
.
,
de GD,
– 
.
,
,
,
.
.
, pour n2y4 ;
pour 2my3 ;
.
,