Descartes et les Mathématiques

« La Géométrie » de René Descartes - Discours Second

Texte en français modernisé d'après l'édition de 1637 publiée dans The geometry of Rene Descartes de David Eugene Smith et Marcia L. Latham,
avec la traduction de quelques notes.

Livre second

De la nature des lignes courbes

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Quelles sont les lignes courbes qu'on peut recevoir en géométrie

Dans cette première partie du deuxième livre, Descartes critique vivement les Grecs qui divisaient les problèmes de géométrie en trois classes :
  • Les problèmes plans qui peuvent se résoudre à l'aide de droites et de cercles,
  • Les problèmes solides qui utilisent les coniques,
  • Les problèmes mécaniques (c'est-à-dire transcendant) comme les spirales,

les conchoïdes,

les cissoïdes ou les quadratrices.

Descartes propose un montage de règles et d'équerres glissant les unes sur les autres, qui permet de décrire des courbes de plus en plus complexes.

Avec les notations modernes, le point B décrit un cercle de rayon R et x² + y² = R²
Le point D décrit la courbe d'équation ,
pour F et pour H.

Malgré tout, ces courbes sont toutes géométriques, par opposition aux courbes mécaniques (transcendantes).

Les Anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmes de géométrie, les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c'est-à-dire que les uns peuvent être construits en ne traçant que des lignes droites et des cercles ; au lieu que les autres ne le peuvent être, qu'on n'y emploie pour le moins quelque section conique ; ni enfin les autres, qu'on n'y emploie quelque autre ligne plus composée.

Mais je m'étonne de ce qu'ils n'ont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques plutôt que géométriques.

Car de dire que ç'ait été à cause qu'il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudrait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu'on ne les décrit sur le papier qu'avec un compas et une règle, qu'on peut aussi nommer des machines.

Ce n'est pas non plus à cause que les instruments qui servent à les tracer, étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes ; car il faudrait pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse des ouvrages qui sortent de la main est désirée, plutôt que de la Géométrie, où c'est seulement la justesse du raisonnement qu'on recherche, et qui peut sans doute être aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres.

Je ne dirai pas aussi que ce soit à cause qu'ils n'ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu'ils se sont contentés qu'on leur accordât qu'ils pussent joindre deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle d'un centre donné qui passât par un point donné ; car ils n'ont point fait de scrupule de supposer outre cela, pour traiter des sections coniques, qu'on pût couper tout cône donné par un plan donné.

Et il n'est besoin de rien supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d'introduire, sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l'une par l'autre, et que leurs intersections en marquent d'autres ; ce qui ne me paraît en rien plus difficile.

Il est vrai qu'ils n'ont pas aussi entièrement reçu les sections coniques en leur géométrie, et je ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été approuvés par l'usage ; mais il est, ce me semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est précis et exact, et pour mécanique ce qui ne l'est pas, et considérant la Géométrie comme une science qui enseigne généralement à connaître les mesures de tous les corps, on n'en doit pas plutôt exclure les lignes les plus composées que les plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s'entre-suivent, et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent ; car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure.

Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles qui étaient plus composées que les sections coniques, c'est que les premières qu'ils ont considéré, ayant par hasard été la spirale, la quadratrice et semblables, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques, et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être reçues, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement ; bien qu'ils aient après examiné la conchoïde, la cissoïde, et quelque peu d'autres qui en sont, toutefois à cause qu'ils n'ont peut-être pas assez remarqué leurs propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état que des premières ; ou bien c'est que, voyant qu'ils ne connaissaient encore que peu de choses touchant les sections coniques, et qu'il leur en restait même beaucoup, touchant ce qui se peut faire avec la règle et le compas, qu'ils ignoraient, ils ont cru ne devoir point entamer de matière plus difficile.

Mais pourceque j'espère que dorénavant ceux qui auront l'adresse de se servir du calcul géométrique ici proposé, ne trouveront pas assez de quoi s'arrêter touchant les problèmes plans ou solides, je crois qu'il est à propos que je les invite à d'autres recherches, où ils ne manqueront jamais d'exercice.

Voyez les lignes AB, AD, AF et semblables, que je suppose avoir été décrites par l'aide de l'instrument XYZ, qui est composé de plusieurs règles tellement jointes que celle qui est marquée YZ étant arrêtée sur la ligne AN, on peut ouvrir et fermer l'angle XYZ, et que lorsqu'il est tout fermé, les points B, C, D, E, F, G, H sont tous assemblés au point A; mais qu'à mesure qu'on l'ouvre, la règle BC, qui est jointe à angles droits avec XY au point B, pousse vers Z la règle CD, qui coule sur YZ en faisant toujours des angles droits avec elle ; et CD pousse DE, qui coule tout de même sur YX en demeurant parallèle à BC ; DE pousse EF, EF pousse FG, celle-ci pousse GH, et on en peut concevoir une infinité d'autres qui se poussent consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes angles avec YX et les autres avec YZ.

Compas angulaire ou mésolabe cartésien

Or, pendant qu'on ouvre ainsi l'angle XYZ, le point B décrit la ligne AB, qui est un cercle ; et les autres points D, F, H, où se font les intersections des autres règles, décrivent d'autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernières sont par ordre plus composées que la première, et celle-ci plus que le cercle ; mais je ne vois pas ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement la description de cette première que du cercle, ou du moins que des sections coniques ; ni ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive la seconde, et la troisième, et toutes les autres qu'on peut décrire, aussi bien que la première ; ni par conséquent qu'on ne les reçoive toutes en même façon pour servir aux spéculations de géométrie.

page 319 : fac-similé et commentaires

Hyperbole de Descartes

La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connaître le rapport qu'ont tous leurs points à ceux des lignes droites

Cette méthode lui parait encore insuffisante et il dévoile son idée maîtresse :
la façon de distinguer les lignes courbes est de connaître le rapport qu'ont leurs points à ceux de lignes droites, c'est dire de connaître l'équation de la courbe par rapport à un système d'axes et il propose une classification des courbes par genre en groupant les fonctions de degré 2n et 2n – 1.

Texte fondamental, où Descartes introduit les coordonnées x et y.

Pour illustrer sa méthode, Descartes décrit le montage d'un triangle rectangle KLN, équerre nommée « plan rectiligne CNKL », dont le bord [KL] (diamètre de longueur b) glisse, par translation, sur une règle (AK).

Lorsque le point L varie, le point C, déterminé par l'intersection de (KN) et de la règle (GL) permet d'engendrer une courbe (E).

Descartes introduit son système de coordonnées par rapport au repère d'origine A, déterminé par les deux droites perpendiculaires [AG] et [AK).

La coordonnée y est égale à la distance CB du point C à l'axe (AK) et la coordonnée x est égale à BA, distance du point C à l'axe (AG).

Descartes détermine l'équation par rapport à un axe (comme AB pour les x), il ne détermine explicitement l'axe des y. Il affirme que le genre de la courbe ne dépend pas du choix de l'axe.

Attention : contrairement à l'usage moderne, les coordonnées positives sont dans le deuxième quadrant. L'ordonnée est x, « appliquée par ordre » sur (AG), et l'abscisse y est positive. Ces coordonnées, positives, ne sont pas nommées par Descartes.

Il détermine l'équation de l'ensemble (E) et montre que la courbe est une hyperbole.

Je pourrais mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir des lignes courbes qui seraient de plus en plus composées par degrés à l'infini ; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature, et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur que de dire que tous les points de celles qu'on peut nommer géométriques, c'est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise et exacte, ont nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui peut être exprimée par quelque équation (concept fondamental de la géométrie analytique), en tous par une même ; et que, lorsque cette équation ne monte que jusqu'au rectangle de deux quantités indéterminées, ou bien au carré d'une même, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse qui soient compris ; mais que lorsque l'équation monte jusqu'à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l'une des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le rapport d'un point à un autre), elle est du second  (le second genre regroupe les troisième et quatrième degrés, car une équation du quatrième degré peut se ramener à une du troisième) : et que lorsque l'équation monte jusqu'à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième ; et ainsi des autres à l'infini.

Tranformation de Descartes

Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne EC, que j'imagine être décrite par l'intersection de la règle GL et du plan rectiligne CNKL, dont le côté KN est indéfiniment prolongé vers C, et qui, étant mu sur le plan de dessous en ligne droite, c'est-à-dire en telle sorte que son diamètre (côté) KL se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne BA prolongée de part et d'autre, fait mouvoir circulairement cette règle GL autour du point G, à cause qu'elle lui est tellement jointe qu'elle passe toujours par le point L.

Je choisis une ligne droite comme AB, pour rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe EC; et en cette ligne AB je choisis un point comme A, pour commencer par lui ce calcul.

Je dis que je choisis et l'un et l'autre, à cause qu'il est libre de les prendre tels qu'on veut ; car encore qu'il y ait beaucoup de choix pour rendre l'équation plus courte et plus aisée, toutefois en quelle façon qu'on les prenne, on peut toujours faire que la ligne paraisse de même genre, ainsi qu'il est aisé à démontrer (la nature de la courbe n'est pas affectée par la transformation des coordonnées).

Après cela prenant un point à discrétion dans la courbe, comme C, sur lequel je suppose que l'instrument qui sert à la décrire est appliqué, je tire de ce point C la ligne CB parallèle à GA, et pourceque CB et BA sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme l'une y et l'autre x ; mais afin de trouver le rapport de l'une à l'autre, je considère aussi les quantités connues qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme GA, que je nomme a, KL que je nomme b, et NL, parallèle à GA, que je nomme c ; puis je dis, comme NL est à LK, ou c à b, ainsi CB ou y est à BK, qui est par conséquent  : et BL est , et AL est .

De plus, comme CB est à LB, ou y à , ainsi a ou GA est à LA ou ; de façon que, multipliant la seconde par la troisième, on produit , qui est égale à , qui se produit en multipliant la première par la dernière : et ainsi l'équation qu'il fallait trouver est ,
de laquelle on connaît que la ligne EC est du premier genre, comme en effet elle n'est autre qu'une hyperbole.

Que si, en l'instrument qui sert à la décrire, on fait qu'au lieu de la ligne droite CNK, ce soit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL, l'intersection de cette ligne et de la règle GL décrira, au lieu de l'hyperbole EC, une autre ligne courbe qui sera d'un second genre.

Comme si CNK est un cercle dont L soit le centre, on décrira la première conchoïde des Anciens ; et si c'est une parabole dont le diamètre soit KB, on décrira la ligne courbe que j'ai tantôt dit être la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu'il n'y a que cinq lignes droites données par position; mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le plan CNKL, on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini, comme il est fort aisé à connaître par le calcul.

Et en quelque autre façon qu'on imagine la description d'une ligne courbe, pourvue qu'elle soit du nombre de celles que je nomme Géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer tous ses points en cette sorte.

Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter cette équation jusqu'au carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu'au cube ; et celles dont l'équation monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres : dont la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui vont au carré de cube ; de façon qu'on ne les doit point estimer plus composées.

Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de chaque genre, encore que la plupart soient également composées, en sorte qu'elles peuvent servir à déterminer les mêmes points et construire les mêmes problèmes, il y en a toutefois aussi quelques-unes qui sont plus simples, et qui n'ont pas tant d'étendue en leur puissance ; comme entre celles du premier genre, outre l'ellipse, l'hyperbole et la parabole, qui sont également composées, le cercle y est aussi compris, qui manifestement est plus simple ; et entre celles du second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle ; et il y en a encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'étendue que la plupart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mises dans le premier.

page 323 : fac-similé

Suite de l'explication de la question de Pappus mise au livre précédent

L'explication commence au Livre premier - page 307

Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il m'est aisé de poursuivre en la démonstration de la réponse que j'ai tantôt faite à la question de Pappus. Car premièrement, ayant fait voir ci-dessus, que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré, il est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement quelqu'une de celles du premier genre, à cause que cette même équation explique le rapport qu'ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d'une ligne droite.

Et que lorsqu'il n'y a point plus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second genre, ou au-dessous.

Et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes données, l'équation ne monte que jusqu'au carré de cube, et que par conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre, ou au-dessous, et ainsi des autres.

Et même à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant les quantités connues que les signes + et – de l'équation, en toutes les façons imaginables, il est évident qu'il n'y a aucune ligne courbe du premier genre qui ne soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre lignes droites ; ni aucune du second qui n'y soit utile, quand elle est proposée en huit ; ni du troisième, quand elle est proposée en douze ; et ainsi des autres.

En sorte qu'il n'y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse être reçue en géométrie, qui n'y soit utile pour quelque nombre de lignes.

page 324

Solution de cette question quand elle n'est proposée qu'en trois ou quatre lignes

Mais il faut ici plus particulièrement que je détermine et donne la façon de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données ; et on verra, par même moyen que le premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres, que les trois sections coniques et le cercle.

Reprenons les quatre lignes AB, AD, EF et GH données ci-dessus (page 309) et qu'il faille trouver une autre ligne, en laquelle il se rencontre une infinité de points tels que C, duquel ayant tiré les 4 lignes CB, CD, CF, et CH, à angles donnés, sur les données, CB multipliée par CF, produit une somme égale à CD, multipliée par CH.

C'est-à-dire ayant fait CB = y, CD = (page 311)

CF = et CH = l'équation est

Les termes contenus entre deux parenthèses sont placés l'un sous l'autre :

au moins en supposant ez plus grand que eg car s'il était moindre, il faudrait changer tous les signes + et –. Et si la quantité se trouvait nulle, ou moindre que rien en cette équation, lorsqu'on a supposé le point C en l'angle DAG, il faudrait le supposer aussi en l'angle DAE, ou EAR, ou RAG, en changeant les signes + et – selon qu'il serait requis à cet effet. Et si en toutes ces 4 positions la valeur de y se trouvait nulle, la question serait impossible au cas proposé.

Mais supposons-la ici être possible, et pour en abréger les termes,
au lieu des quantités , écrivons 2m,
et au lieu de , écrivons ,
et ainsi nous aurons y² = dont la racine (Descartes mentionne une seule racine, l'autre racine donne un autre lieu symétrique)
est y = .

et derechef pour abréger, au lieu de , écrivons o ;

et au lieu de écrivons ,
car ces quantités étant toutes données, nous les pouvons nommer comme il nous plaît et ainsi nous avons

(Équation de la conique. Le signe du coefficient de x² a été rectifié : il est positif)

qui doit être la longueur de la ligne BC, en laissant AB, ou x indéterminée.

Et il est évident que la question n'étant proposée qu'en trois ou quatre lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques-uns d'eux peuvent être nuls, et que les signes + et – peuvent diversement être changés.

Après cela je fais KI égale et parallèle à BA, en sorte qu'elle coupe de BC la partie BK égale à m, à cause qu'il y a ici +m ; et je l'aurais ajoutée en tirant cette ligne IK de l'autre côté, s'il aurait eu – m ; et je ne l'aurais point du tout tirée, si la quantité m eut été nulle.

Puis je tire aussi IL, en sorte que la ligne IK est à KL, comme z est à n.

C'est-à-dire que IK étant x, KL est .

Et par même moyen, je connais aussi la proportion qui est entre KL, et IL, que je pose comme entre n et a :
si bien que KL étant , IL est .

Et je fais que le point K soit entre L et C, à cause qu'il y a ici – ; au lieu que j'aurais mis L entre K et C, si j'eusse eu + ; et je n'eusse point tiré cette ligne IL, si eût été nulle.

Or cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LC, que ces termes

d'où je vois que s'ils étaient nuls, ce point C se trouverait en la ligne droite IL ; et que s'ils étaient tels que la racine s'en pût tirer, c'est-à-dire que m² et étant marqués d'un même signe + ou – (signes – supprimés par Schooten dans l'édition de 1659), o² fût égal à 4pm, ou bien que les termes m² et ox, ou ox et fussent nuls, ce point C se trouverait en une autre ligne droite qui ne serait pas plus malaisée à trouver que IL.

Mais lorsque cela n'est pas, ce point C est toujours en l'une des trois sections coniques, ou en un cercle, dont l'un des diamètres est en la ligne IL, et la ligne LC est l'une de celles qui s'appliquent par ordre (perpendiculairement à l'axe ; d'où le mot ordonnée) à ce diamètre ; ou au contraire LC est parallèle au diamètre, auquel celle qui est en la ligne IL est appliquée par ordre (ce second cas est celui où IL, ne rencontrant pas la conique, n'était pas alors considérée comme un diamètre).

À savoir si le terme , est nul cette section conique est une Parabole ; et s'il est marqué du signe +, c'est une Hyperbole, et enfin s'il est marqué du signe –, c'est une Ellipse.

Excepté seulement si la quantité a²m est égale à pz², et que l'angle ILC soit droit ; auquel cas on a un cercle au lieu d'une Ellipse.

Que si cette section est une Parabole, son côté droit est égal à , et son diamètre et toujours en la ligne IL, et pour trouver le point N, qui en est le sommet, il saut faire IN égale à ; et que le point I soit entre L et N, si les termes sont +m² + ox ; ou bien que le point L, soit entre I et N, s'ils sont + m² – ox ; ou bien il faudrait que N fût entré I et L, s'il y avait – m² + ox.

Mais il ne peut jamais y avoir – m², en la façon que les termes ont ici été posés.

Et enfin le point N serait le même que le point I si la quantité m² était nulle.

Au moyen de quoi il est aisé de trouver cette Parabole par le premier Problème du premier livre d'Apollonius.

Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole, il faut premièrement chercher le point M, qui en est le centre, et qui est toujours en la ligne droite IL, ou on le trouve en prenant pour IM en sorte que si la quantité o est nulle, ce centre est justement au point I.

Et si la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse, on doit prendre le point M du même côté que le point L, au respect du point I, lorsqu'on a +ox ; et lorsqu'on a –ox, on le doit prendre de l'autre.

Mais tout au contraire en l'hyperbole, si on a – ox, ce centre M doit être vers L ; et si on a +ox, il doit être de l'autre côté.

Après cela le côté droit de la figure doit être

lorsqu'on a + m², et que la ligne cherchée est un cercle, ou une Ellipse ;

ou bien lorsqu'on a – m², et que c'est une Hyperbole, et il doit être

si la ligne cherchée étant un cercle, ou une Ellipse, on a –m² ; ou bien si étant une Hyperbole et la quantité o² étant plus grande que 4mp, on a +m².

Que si la quantité m² est nulle, ce côté droit est et si oz est nulle, il est .

Puis pour le côté traversant, il faut trouver une ligne qui sera ce côté droit, comme a²m est à pz² ;

à savoir si ce côté droit est

le traversant est

Et en tous ces cas le diamètre de la section et en la ligne IM, et LC et l'une de celles qui lui est (sont) appliquée(s) par ordre.

Si bien que faisant MN égale a la moitié du côté traversant et le prenant du même côté du point M, qu'est le point L, on a le point N pour le sommet de ce diamètre ; ensuite de quoi il est aisé de trouver la section par les second et troisième problèmes du premier livre d'Apollonius.

Mais quand cette section étant une Hyperbole, on a +m² ; et que la quantité o² et nulle ou plus petite que 4pm, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallèle à LC, et CP parallèle à LM, et faire MO égale à

ou bien la faire égale à m si la quantité ox est nulle.

Puis considérer le point O, comme le sommet de cette Hyperbole ; dont le diamètre et OP, et CP la ligne qui lui est appliquée par ordre, et son côté droit est

et son côté traversant est

Excepté quand ox est nulle, car alors le côté droit est ,
et le traversant est 2m ; et ainsi il est aisé de la trouver par le troisième problème du premier livre d'Apollonius.

page 332 : fac-similé

Démonstration de tout ce qui vient d'être expliqué

Et les démonstrations de tout ceci sont évidentes, car composant un espace des quantités que j'ai assignées pour le côté droit, et le traversant, et pour le segment du diamètre NL, ou OP, suivant la teneur du 11^e, du 12^e et du 13^e théorèmes du premier livre d'Apollonius, on trouvera tous les mêmes termes dont est composé le carré de la ligne CP, ou CL, qui est appliquée par ordre à ce diamètre.

Comme en cet exemple, ôtant IM qui est , de NM qui est ,
j'ai IN, à laquelle ajoutant IL, qui est ,
j'ai NL qui est

et ceci étant multiplié par , qui est le côté droit de la figure,
il vient ,
pour le rectangle, duquel il faut ôter un espace qui soit au carré de NL comme le côté droit est au traversant, et ce carré de NL est

qu'il faut diviser par a²m et multiplier par pz², à cause que ces termes expliquent la proportion qui est entre le côté traversant et le droit, et il vient

,

ce qu'il faut ôter du rectangle précédent, et on trouve

pour le carré de CL, qui par conséquent et une ligne appliquée par ordre dans une Ellipse, ou dans un cercle, au segment du diamètre NL.

Et si on veut expliquer toutes les quantités données par nombres,
en faisant par exemple EA = 3, AG = 5, AB = BR, BS = BE,
GB = BT, CD = CR, CF = 2CS, CH = CT,
et que l'angle ABR soit de 60 degrés ; et enfin que le rectangle des deux CB, et CF, soit égal au rectangle des deux autres CD et CH ; car il faut avoir toutes ces choses afin que la question soit entièrement déterminée, et avec cela supposant AB = x et CB = y, on trouve par la façon ci-dessus expliquée

y² = 2y – xy + 5x – x²

et ,

si bien que BK doit être 1, et KL doit être la moitié de KI, et pourceque l'angle IKL ou ABR est de 60 degrés, et KIL qui est la moitié de KIB ou IKL, de 30, ILK est droit.

Et pourceque IK ou AB est nommé x, KL est x, et IL est x, et la quantité qui était tantôt nommée z est 1, celle qui était a est , celle qui était m est 1, celle qui était o est 4, et celle qui était p est , de façon qu'on a pour IM, et pour NM, et pourceque a²m qui est est ici égal à pz² et que l'angle ILC est droit, on trouve que la ligne courbe NC est un cercle.

Et on peut examiner facilement examiner tous les autres cas de la sorte.

page 334 : fac-similé

Conclusions sur le problème de Pappus :

Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver tous

Au reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu'au carré sont toutes comprises en ce que je viens d'expliquer ; non seulement le problème des Anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce qui appartient à ce qu'ils nommaient la composition des lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu'ils sont compris dans les solides, car ces lieux ne sont autre chose, sinon que, lorsqu'il est question de trouver quelque point auquel il manque une condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple, tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé.

Et si cette ligne est droite, ou circulaire, on la nomme un lieu plan.

Mais si c'est une parabole, une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme lieu solide.

Et toutefois et quand cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelques-unes de celles que je viens de résoudre.

Que si la ligne qui détermine ainsi le point cherché est d'un degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en même façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres.

Et s'il manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou sphérique, ou plus composée.

Mais le plus haut but qu'aient eu les Anciens en cette matière a été de parvenir à la composition des lieux solides ; et il semble que tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n'a été qu'à dessein de la chercher.

De plus, on voit ici que ce que j'ai pris pour le premier genre des lignes courbes n'en peut comprendre aucune autre que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse, qui est tout ce que j'avais entrepris de prouver.

page 335 : fac-similé et commentaires

Lieu de Pappus à cinq droites :

Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la question des Anciens quand elle est proposée en cinq lignes

Le problème se ramène à une équation de la forme x(x–a)(x–b) ± λ (x–c)(x–d) = 0 (Descartes est un peu rapide lorsqu'il affirme que c'est une droite. A-t'on deux lignes droites ou six lignes droites ?

La courbe est la cubique d'équation
y³ – 2ay² – a²y + 2a² = axy, appelée « parabole cartésienne » par Newton et « trident de Newton » par d'autres mathématiciens.

Que si la question des Anciens est proposée en cinq lignes qui soient toutes parallèles, il est évident que le point cherché sera toujours en une ligne droite (au moins une droite, le cas général est deux ou six lignes droites) ; mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre qui soient parallèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, et même que toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi à angles droits, et enfin que le parallélépipède composé de trois des lignes ainsi tirées sur trois de celles qui sont parallèles, soit égal au parallélépipède composé des deux lignes tirées, l'une sur la quatrième de celles qui sont parallèles, et l'autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troisième ligne donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu'on puisse imaginer après le précédent ; le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite par le mouvement d'une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.

Soient par exemple les lignes données AB, IH, ED, GF, et GA, et qu'on demande le point C, en sorte que tirant CB, CF, CD, GH et CM à angles droits sur les données, le parallélépipède des trois CF, CD et CH soit égal à celui des deux autres CB et CM, et d'une troisième qui soit AL.

Je pose GB = y, CM = x, AI ou AE ou GE = a ; de façon que le point C étant entre les lignes AB et DE,
j'ai CF = 2a – y, CD = a – y, et CH = y + a ; et multipliant ces trois l'une par l'autre,
j'ai y³ – 2ay² – a²y + 2a³ égal au produit des trois autres, qui est axy.

Après cela je considère la ligne courbe CEG, que j'imagine être décrite par l'intersection de la parabole CKN, qu'on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre KL est toujours sur la ligne droite AB, et de la règle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte qu'elle passe toujours dans le plan de cette parabole par le point L.

Et je fais KL = a, et le côté droit principal, c'est-à-dire celui qui se rapporte à l'essieu (axe) de cette parabole, aussi égal à a, et GA = 2a, et CB ou MA = y, et CM ou AB = x.

Puis à cause des triangles semblables GMC et CBL, GM qui est 2a – y, est à MC qui est x, comme CB qui est y, est à BL qui est par conséquent .

Et pourceque KL est a, BK est , ou bien .

Et enfin pourceque ce même BK, étant un segment du diamètre de la parabole, est à BC qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté droit qui est a, le calcul montre que y³ – 2ay² – a²y + 2a² est égal à axy ;

et par conséquent ue le point C est celui qui était demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne CEG qu'on veuille choisir, ou aussi en son adjointe cEGc, qui se décrit en même façon, excepté que le sommet de la parabole est tourné vers l'autre côté, ou enfin en leurs contreposées NIo, nIO, qui sont décrites par l'intersection que fait la ligne GL en l'autre côté de la parabole KN.

Or encore que les parallèles données AB, IH, ED, et GF, ne fussent point également distantes, et que GA ne les coupât point à angles droits, ni aussi les lignes tirées du point C vers elles, ce point C ne laisserait pas de se trouver toujours en une ligne courbe qui serait de même nature : et il s'y peut aussi trouver quelquefois, encore qu'aucune des lignes données ne soient parallèles.

Mais si lorsqu'il y en a quatre ainsi parallèles, et une cinquième qui les traverse, et que le parallélépipède de trois des lignes tirées du point cherché, l'une sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux autres parallèles, et d'une autre ligne donnée : ce point cherché est en une ligne courbe d'une autre nature, à savoir en une qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par ordre à son diamètre étant égales à celles d'une section conique, les segments (abscisse d'un point de la courbe) de ce diamètre qui sont entre le sommet et ces lignes ont même proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a aux segments du diamètre de la section conique, auxquels les pareilles lignes sont appliquées par ordre.

Et je ne saurais véritablement dire que cette ligne soit moins simple que la précédente, laquelle j'ai cru toutefois devoir prendre pour la première, à cause que la description et le calcul en sont en quelque façon plus faciles.

Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m'arrêterai point à les distinguer par espèces, car je n'ai pas entrepris de dire tout ; et ayant expliqué la façon de trouver une infinité de points par où elles passent, je pense avoir assez donné le moyen de les décrire.

page 339 : fac-similé et commentaires

La méthode des tangentes

Quelles sont les lignes courbes qu'on décrit en trouvant plusieurs de leurs points qui peuvent être reçues en géométrie

Même il est à propos de remarquer qu'il y a grande différence entre cette façon de trouver plusieurs points pour tracer une ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale et ses semblables (courbes transcendantes appelées par Descartes mécaniques) ; car par cette dernière on ne trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu'on cherche, mais seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque mesure plus simple que celle qui est requise pour la composer ; et ainsi, à proprement parler, on ne trouve pas un de ses points, c'est-à-dire pas un de ceux qui lui sont tellement propres qu'ils ne puissent être trouvés que par elle ; au lieu qu'il n'y a aucun point dans les lignes qui servent à la question proposée, qui ne se puisse rencontrer entre ceux qui se déterminent par la façon tantôt expliquée.

Et pour cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant indifféremment plusieurs de ses points, ne s'étend qu'à celles qui peuvent aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on ne la doit pas entièrement rejeter de la géométrie.

page 340 : fac-similé

Quelles sont aussi celles qu'on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues

Ironie du sort : Descartes affirme ici que la rectification des courbes n'est pas toujours possible, alors qu'il évoque ci-dessus la spirale, spirale dont Torricelli calculera la longueur des arcs.

Et on n'en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d'un fil ou d'une corde repliée pour déterminer l'égalité de la somme ou de la différence de deux ou plusieurs lignes droites qui peuvent être tirées de chaque point de la courbe qu'on cherche, à certains autres points, ou sur certaines autres lignes à certains angles, ainsi que nous avons fait en la Dioptrique (la Dioptrique a été publiée avec La Géométrie à la suite du discours de la méthode) pour expliquer l'ellipse et l'hyperbole ; car encore qu'on n'y puisse recevoir aucune ligne qui semblent à des cordes, c'est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes, on ne pourrait rien conclure de là qui fût exact et assuré.

Toutefois à cause qu'on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des lignes droites dont on connaît parfaitement la longueur, cela ne doit point faire qu'on les rejette.

page 341 : fac-similé et commentaires

Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport qu'ont tous leurs points à ceux des lignes droites ;
et la façon de tirer d'autres lignes qui les coupent en tous ces points à angles droits

Or de cela seul qu'on sait le rapport qu'ont tous les points d'une ligne courbe à tous ceux d'une ligne droite (par rapport à un axe pour les x, l'axe des y n'est pas explicité), en la façon que j'ai expliquée (par une équation de la courbe), il est aisé de trouver aussi le rapport qu'ils ont à tous les autres points et lignes données ; et ensuite de connaître les diamètres, les essieux (axes), les centres et autres lignes (normales et tangentes) ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier ou plus simple qu'aux autres ; et ainsi d'imaginer divers moyens pour les décrire, et d'en choisir les plus faciles ; et même on peut aussi, par cela seul, trouver quasi (quasiment) tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur de l'espace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne plus d'ouverture.

Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés qu'on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dépendent que de la grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes.

Mais lorsqu'on peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes (tangentes), la grandeur de ces angles n'est pas plus malaisée à trouver que s'ils étaient compris entre deux lignes droites.

C'est pourquoi je croirai avoir mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir.

Et j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géométrie.

page 342 : fac-similé et commentaires

Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes à angles droits

Pour une courbe (E’), Descartes décrit son système d'axes, qui à partir d'un point A, permet d'en écrire l'équation avec les coordonnées d'un point C : l'abscisse y est égal à la distance AM projetée sur le diamètre (AG) et l'ordonnée x est la distance CM « appliquée par ordre » sur (AG), d'où le nom ordonnée.

Un cercle de centre P situé sur (AG) coupe la courbe aux deux points C et E. La recherche d'une racine double lui permet, par l'égalité des deux points d'intersection, de trouver la normale CP.

Dans le repère Ayx, nous avons ce que nous appelons l'équation du cercle de centre P(v, 0) ; passant par le point C(y, x) ; de rayon s :
(y –v)² + x² = s².

Soit CE la ligne courbe, et qu'il faille tirer une ligne droite par le point C, qui fasse avec elle des angles droits.

Je suppose la chose déjà faite, et que la ligne cherchée est CP, laquelle je prolonge jusqu'au point P, ou elle rencontre la ligne droite GA (axe des y), que je suppose être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE : en sorte que faisant MA ou CB = y et CM ou BA = x, j'ai quelque équation (de la courbe), qui explique le rapport, qui est entre x et y.

Puis je fais P C = s et PA = v, ou PM = v – y, et à cause du triangle rectangle PMC, j'ai s² qui est le carré de la base égal à x² + v² – 2vy + y², qui sont les carrés des deux côtés ; c'est-à-dire j'ai

, ou bien y = ,

et par le moyen de cette équation, j'ôte de l'autre équation qui m'explique le rapport qu'ont tous les points de la courbe CB à ceux de la droite GA, l'une des deux quantités indéterminées x ou y ce qui est aisé à faire en mettant partout

,

au lieu de x, et le carré de cette somme au lieu de x², et son cube au lieu de x³, et ainsi des autres, si c'est x que je veuille ôter ;
ou bien si c'est y, en mettant en son lieu ,
et le carré, ou le cube, etc. de cette somme, au lieu de y² ou y³, etc.

De façon qu'il reste toujours après cela une équation, en laquelle il n'y a plus qu'une seule quantité indéterminée, x ou y.

page 343 : fac-similé et commentaires

Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du second genre

(paraboles et ellipses sont du premier genre)

Comme si CE est une Ellipse, et que MA soit le segment de son diamètre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui ait r pour son côté droit et q pour le traversant (GA), on a par le treizième théorème du premier livre d'Apollonius,

(équation de l'ellipse dans le repère d'origine A ; y > 0),

D'où ôtant x², il reste (la relation vérifiée par les points d'intersection de l'ellipse et du cercle) :

,
ou bien : ,

car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme, que d'en faire une partie égale à l'autre (conseil fondamental pour l'écriture des équations : transférer tous les termes à gauche).

Tout de même si CE est la ligne courbe décrite par le mouvement d'une Parabole en la façon ci-dessus expliquée, et qu'on ait posé b pour GA, c pour KL et d pour le côté droit du diamètre KL en la parabole, l'équation qui explique le rapport qui est entre x et y est

y³ – by² – cdy + bcd + dxy = 0,

d'où ôtant x, on a

et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient

Dans une expression polynomiale, les coefficients formés de plusieurs termes que nous écrivons entre deux parenthèses sont placés par Descartes l'un sous l'autre :

y⁶ – 2by⁵ + (b²–2cd + d²)y⁴ + (4bcd – 2d²v)y³ + (c²d²–d²s² + d²v² – 2b²cd)y² – 2bc²d²y + b²c²d² = 0

et ainsi des autres.

page 344 : fac-similé et commentaires

Autre exemple en une ovale du second genre

Ovale est du féminin chez Descartes

Technique d'identification de Descartes : si le cercle et la courbe sont tangents au point d'abscisse e,
alors (y – e)² est factorisable dans l'équation. Pour l'expression du second degré ci-dessous, il l'identifie à
y² – 2ey + e², avec le coefficient – de y égal à – 2e et il pourra conclure sans utiliser le coefficient constant e².

Même encore que les points de la ligne courbe ne se rapportaient pas, en la façon que j'ai dite à ceux d'une ligne droite, mais en toute autre qu'on saurait imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation.

Comme si CE est une ligne, qui ait tel rapport aux trois points F, G et A, que les lignes droites tirées de chacun de ses points comme C, jusqu'au point F, surpassent la ligne SA d'une quantité, qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont GA surpasse les lignes tirées des mêmes points jusqu'à G.

Faisons GA = b, AF = c et prenant à discrétion le point C dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse SA, soit à celle dont GA surpasse GC, comme d à c, en sorte que si cette quantité qui est indéterminée se nomme z, FC est c + z et GC est .

Puis posant MA = y, GM est b – y, et FM est c + y, et à cause du triangle rectangle CMG, ôtant le carré de GM du carré de GC, on a le carré de CM, qui est .

puis ôtant le carré de FM du carré de FC, on a encore le carré de CM en d'autres termes,
à savoir z² + 2cz – 2cy – y² ; et ces termes étant égaux aux précédents, ils font connaître y ou MA, qui est

et substituant cette somme au lieu de y dans le carré de CM, on trouve qu'il s'exprime en ces termes

.

Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point C, et faisant PC = s et PA = v comme devant, PM est v – y ; et à cause du triangle rectangle PCM, on a r² – v² + 2vy – y² pour le carré de CM, ou derechef ayant au lieu de y substitué la somme qui lui est égale, il vient

pour l'équation que nous cherchions.

Or après qu'on a trouvé une telle équation (équations de l'ellipse, de la conchoïde… découvertes par Descartes), au lieu de s'en servir pour connaître les quantités x ou y, ou z, qui sont déjà données, puisque le point C est donné, on la doit employer à trouver v ou s, qui déterminent le point P, qui est demandé.

Exposition de la méthode page suivante : le cercle et la courbe se coupent en deux points C et E. Ils sont tangents si les deux points sont confondus, ce qui correspond à des racines égales.

Et à cet effet, il faut considérer, que si ce point P est tel qu'on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE, sans la couper ; mais que si ce point P, est tant soit peu plus proche, ou plus éloigné du point A, qu'il ne doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point C, mais aussi nécessairement en quelque autre.

Puis il faut aussi considérer, que lorsque ce cercle coupe la ligne courbe CE, l'équation par laquelle on cherche la quantité x ou y, ou quelque autre semblable, en supposant PA et PC être connues, contient nécessairement deux racines, qui sont inégales.

Car par exemple si ce cercle coupe la courbe aux points C et E, ayant tiré EQ parallèle à CM, les noms des quantités indéterminées x et y, conviendront aussi bien aux lignes EQ et QA, qu'à CM et MA ; puis PE est égale à PC, à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes EQ et QA, par PE et PA qu'on suppose comme données, on aura la même équation que si on cherchait CM et MA par PC, PA, d'où il suit évidemment, que la valeur de x ou de y, ou de telle autre quantité qu'on aura supposée, sera double en cette équation, c'est-à-dire qu'il y aura deux racines inégales entre elles, et dont l'une sera CM, l'autre EQ, si c'est x qu'on cherche, ou bien l'une sera MA et l'autre QA, si c'est y ; et ainsi des autres.

Il est vrai que si le point E ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point C, il n'y aura que l'une de ces deux racines qui soit vraie, et l'autre sera renversée, ou moindre que rien (négative)  : mais plus ces deux points C et E, sont proches l'un de l'autre, moins il y a de différence entre ces deux racines ; et enfin elles sont entièrement égales, s'ils sont tous deux joints en un ; c'est-à-dire si le cercle, qui passe par C, y touche la courbe CE sans la couper.

De plus, il faut considérer, que lorsqu'il y a deux racines égales en une équation, elle a nécessairement la même forme, que si on multiplie par soi-même la quantité qu'on y suppose être inconnue, moins la quantité connue qui lui est égale (le carré de y – e), et qu'après cela si cette dernière somme n'a pas tant de dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en ait autant qu'il lui en manque ; afin qu'il puisse y avoir séparément équation entre chacun des termes de l'une et chacun des termes de l'autre.

Comme par exemple, je dis que la première équation (premier membre de l'équation) trouvée ci-dessus, à savoir

doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant e égal à y, et multipliant y – e par soi-même, d'où il vient y² – 2ey + e², en sorte qu'on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui est y² est tout le même en l'une qu'en l'autre,
le second qui est en l'une

est égal au second de l'autre qui est – 2ey, d'où cherchant la quantité v qui est la ligne PA, on a

,

à cause que nous avons suppose e égal à y, on a

.

Et ainsi on pourrait trouver s par le troisième terme mais pourceque la quantité v détermine assez le point P, qui est le seul que nous cherchions, on n'a pas besoin de passer outre.

Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus (Page 344), à savoir

y⁶ – 2by⁵+(b² – 2cd+d²)y⁴+(4bcd – 2d²v)y³+(c²d²–d²s²+d²v² – 2b²cd)y² – 2bc²d²y + b²c²d² = 0.

doit avoir même forme, que la somme qui se produit lorsqu'on multiplie

y² – 2ey + e² par y⁴ + fy³ + g²y² + h³y + k⁴

qui est

y⁶ + (f – 2e)y⁵ + (g²– 2ef+e²)y⁴ + (h³– 2eg²+e²f)y³ + (k⁴– 2eh³+e²g²)y² + (–e²h³– 2ek⁴)y + e²k⁴

de façon que de ces deux équations j'en tire six autres, qui servent à connaître les six quantités f, g, h, k, v et s.

D'où il est sort aisé à entendre, que de quelque genre, que puisse être la ligne courbe proposée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d'équations, qu'on est obligé de supposer de quantités, qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, et trouver enfin la quantité v, qui et la seule dont on a besoin, et à l'occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement par le second terme chercher f, la première des quantités inconnues de la dernière somme, et on trouve f = 2e – 2b.

Puis par le dernier il faut chercher k, la dernière des quantités inconnues de la même somme, et on trouve

Puis par le troisième terme il faut chercher g la seconde quantité, et on a

g² = 3e² – 4be – 2cd + b² + d².

Puis par le(la) pénultième il faut chercher h, la pénultième quantité, qui est

.

Et ainsi il faudrait continuer suivant ce même ordre jusqu'à la dernière, s'il y en avait d'avantage en cette somme ; car c'est chose qu'on peut toujours faire en même façon.

Puis par le terme qui suit en ce même ordre, qui est ici le quatrième, il faut chercher la quantité v, et on a

ou mettant y au lieu de e qui lui est égal on a

pour la ligne AP.

Et ainsi la troisième équation, qui est

a la même forme que z² – 2fz + f ²,
en supposant f égal à z,
si bien qu'il y a derechef équation entre – 2f ou – 2z, et

.

d'où on connaît que la quantité v est

.

page 350 : fac-similé et commentaires

Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes à angles droits.

Titre page 342

C'est pourquoi, composant la ligne AP de cette somme égale à v, dont toutes les quantités sont connues, et tirant du point P ainsi trouvé, une ligne droite vers C, elle y coupe la courbe CE à angles droits ; qui est ce qu'il fallait faire.

Et je ne vois rien qui empêche qu'on n'étende ce problème en même façon à toutes les lignes courbes qui tombent sous quelque calcul géométrique.

Même il est à remarquer, touchant la dernière somme, qu'on prend à discrétion pour remplir le nombre des dimensions de l'autre somme lorsqu'il y en manque,
comme nous avons pris tantôt y⁴ + fy³ + g²y² + h³y + k⁴ que les signes + et – y peuvent être supposés tels qu'on veut, sans que la ligne v ou AP se trouve diverse pour cela, comme vous pourrez aisément voir par expérience.

Descartes considère les coefficients indépendamment de leur signe, d'où il en suggère une généralisation.

Humour de Descartes :

Car s'il fallait que je m'arrêtasse à démontrer tous les théorèmes dont je fais quelque mention, je serais contraint d'écrire un volume beaucoup plus gros que je ne désire.

Mais je veux bien en passant vous avertir que l'invention de supposer deux équations de même forme, pour comparer séparément tous les termes de l'une à ceux de l'autre, et ainsi en faire naître plusieurs d'une seule, dont vous avez vu ici un exemple, peut servir à une infinité d'autres problèmes, et n'est pas l'une des moindres de la méthode dont je me sers.

Encore de l'humour :

Je n'ajoute point les constructions par lesquelles on peut décrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchées, ensuite du calcul que je viens d'expliquer, à cause qu'il est toujours aisé de les trouver, bien que souvent on ait besoin d'un peu d'adresse pour les rendre courtes et simples.

page 351 : fac-similé et commentaires

Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde.

Comme par exemple, si DC est la première conchoïde des Anciens, dont A soit le pôle et BH la règle (directrice), en sorte que toutes les lignes droites qui regardent vers A, et sont comprises entre la courbe CD et la droite BH, comme DB et CE, soient égales, et qu'on veuille trouver la ligne CG qui la coupe au point C à angles droits, on pourrait, en cherchant dans la ligne BH le point par où cette ligne CG doit passer, selon la méthode ici expliquée, s'engager dans un calcul autant ou plus long qu'aucun des précédents : et toutefois la construction qui devrait après en être déduite est fort simple ; car il ne faut que prendre CF en la ligne droite CA, et la faire égale à CH qui est perpendiculaire sur HB ; puis du point F tirer FG parallèle à BA et égale à EA ; au moyen de quoi on a le point G, par lequel doit passer CG la ligne cherchée (GC normale en C à la conchoïde).

Ovales de Descartes

page 352 : fac-similé et commentaires

Explication de quatre nouveaux genres d'ovales qui servent à l'optique

Premier ovale de Descartes

Sur un axe, deux foyers F et G de part et d'autre d'un point A. La proportion qui mesure les réfractions est donnée par un angle GAR, grâce à un point R tel que AR = AG.
On projette un point 5 de l'axe en 6 sur la droite (AR) tel que k = soit cette proportion.

Soit (c₁) le cercle de centre F et de rayon F5 et (c₂) de centre G et de rayon R6.
L'ovale est le lieu des points I d'intersection des cercles (c₁) et (c₂) lorsque le point 5 varie.

Équation bipolaire : r + k r’ = c.

En effet, r = FI = F5 = FA + A5 = FA + k A6
et r’ = IG = 6R = AR – A6.
De A6 = AR – r’, on trouve r = FA + k (AR – r’), et on conclut r + k r’ = FA + k AR = c.

Pour montrer les variations du point 5 et de sa projection 6, Descartes duplique la construction au point 7 et en sa projection 8. Il trace alors deux nouveaux points I de l'ovale.

Pour le deuxième ovale de Descartes, le point R, nommé S est placé de l'autre côté de A (k négatif dans l'équation bipolaire).

Pour les troisième et quatrième ovales, les foyers sont à l'intérieur de l'ovale. Le foyer G, nommé H, est tel que F est entre H et A.

La main de Descartes

Pourquoi Descartes a inclus quelques figures avec une main ?

Au reste, afin que vous sachiez que la considération des lignes courbes ici proposée n'est pas sans usage, et qu'elles ont diverses propriétés qui ne cèdent en rien à celles des sections coniques, je veux encore ajouter ici l'explication de certaines ovales (ovale est du féminin chez Descartes) que vous verrez être très utiles pour la théorie de la catoptrique et de la dioptrique.

Voici la façon dont je les décris :

Premièrement, ayant tiré les lignes droites FA et AR, qui s'entrecoupent au point A, sans qu'il importe à quels angles, je prends en l'une le point F à discrétion, c'est-à-dire plus ou moins éloigné du point A, selon que je veux faire ces ovales plus ou moins grandes, et de ce point F, comme centre, je décris un cercle qui passe quelque peu au-delà du point A, comme par le point 5 ; puis de ce point 5 je tire la ligne droite 56 (notation des points par des chiffres bien maladroite), qui coupe l'autre au point 6, en sorte que A6 soit moindre que A5 selon telle proportion donnée qu'on veut, à savoir selon celle qui mesure les (indices de) réfractions si on s'en veut servir pour la dioptrique.

Après cela je prends aussi le point G en la ligne FA du côté où est le point 5, à discrétion, c'est-à-dire en faisant que les lignes AF et GA ont entre elles telle proportion donnée qu'on veut.

Puis je fais RA égale à GA en la ligne A6, et du centre G décrivant un cercle dont le rayon soit égal à R6, il coupe l'autre cercle de part et d'autre au point I, qui est l'un de ceux par où doit passer la première des ovales cherchées.

Puis derechef du centre F je décris un cercle qui passe un peu au-deçà ou au-delà du point 5, comme par le point 7, et ayant tiré la ligne droite 78 parallèle à 56, du centre G je décris un autre cercle dont le rayon est égal à la ligne R8, et ce cercle coupe celui qui passe par le point 7 au point I, qui est encore l'un de ceux de la même ovale ; et ainsi on en peut trouver autant d'autres qu'on voudra, en tirant derechef d'autres lignes parallèles à 78, et d'autres cercles des centres F et G.

Pour la seconde ovale (géométriquement identique à la 3^e, comme la 1^ère l'est à la 4^e) il n'y a point de différence, sinon qu'au lieu de AR il faut de l'autre côté du point A prendre AS égal à AG, et que le rayon du cercle décrit du centre G, pour couper celui qui est décrit du centre F et qui passe par le point 5, soit égal à la ligne S6, ou qu'il soit égal à S8, si c'est pour couper celui qui passe par le point 7, et ainsi des autres ; au moyen de quoi ces cercles s'entre-coupent aux points marqués 2, 2, qui sont ceux de cette seconde ovale A2X.

Pour la troisième et la quatrième, au lieu de la ligne AG il faut prendre AH de l'autre côté du point A, à savoir du même qu'est le point F ; et il y a ici de plus à observer que cette ligne AH doit être plus grande que AF, laquelle peut même être nulle, en sorte que le point F se rencontre où est le point A en la description de toutes ces ovales. Après cela les lignes AR et AS étant égales à AH, pour décrire la troisième ovale A3Y, je fais un cercle du centre H, dont le rayon est égal à S6, qui coupe au point 3 celui du centre F, qui passe par le point 5 ; et un autre dont le rayon est égal à S8, qui coupe celui qui passe par le point 7 au point aussi marqué 3, et ainsi des autres.

Enfin, pour la dernière ovale, je fais des cercles du centre H, dont les rayons sont égaux aux lignes R6, R8, et semblables, qui coupent les autres cercles aux points marqués 4.

On pourrait encore trouver une infinité d'autres moyens pour décrire ces mêmes ovales.

Tracé de l'ovale de foyers F et G ayant pour diamètre [AV] : le point L divise le segment [FG] dans le rapport et K est le milieu de [AL].

Comme par exemple, on peut tracer la première AV, lorsqu'on suppose les lignes FA et AG être égales, si on divise la toute FG au point L, en sorte que FL soit à LG comme A5 à A6, c'est-à-dire qu'elles aient la proportion qui mesure les réfractions.

Construction avec une ficelle et une règle, à la manière de la méthode du jardinier pour l'ellipse :

Les deux extrémités d'une corde étant fixées en E et G, la corde tendue coulisse autour de K, et autour de C tout en restant plaquée contre la règle qui tourne autour de F.

Puis ayant divisé AL en deux parties égales au point K, qu'on fasse tourner une règle comme EF autour du point F, en pressant du doigt G la corde EC, qui étant attachée au bout de cette règle vers E, se replie de C vers K, puis de K derechef vers C, et de C vers G, où son autre bout soit attaché, en sorte que la longueur de cette corde soit composée de celle des lignes GA, plus AL, plus FE, moins AF; et ce sera le mouvement du point C qui décrira cette ovale, à l'imitation de ce qui a été dit en la dioptrique de l'ellipse et de l'hyperbole; mais je ne veux point m'arrêter plus longtemps sur ce sujet.

Classification, selon la position relative des foyers et par rapport à l'axe tranverse (sécant en L).

Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi[-ment] de même nature, elles sont néanmoins de quatre divers genres, chacun desquels contient sous soi une infinité d'autres genres, qui derechef contiennent chacun autant de diverses espèces que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles ; car selon que la proportion qui est entre les lignes A5, A6, ou semblables, est différente, le genre subalterne de ces ovales est différent ; puis selon que la proportion qui est entre les lignes AF, et AG, ou AH est changée, les ovales de chaque genre subalterne changent d'espèce ; et selon que AG ou AH est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur ; et si les lignes A5 et A6 sont égales, au lieu des ovales du premier genre ou du troisième, on ne décrit que des lignes droites ; mais au lieu de celles du second on a toutes les hyperboles possibles, et au lieu de celles du dernier toutes les ellipses (k = ±1 dans l'équation bipolaire).

page 357 : fac-similé et commentaires

Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions

On écrit aussi l'équation bipolaire de l'ovale sous la forme u r + v r’ = c.

Si i₁ et  i₂ sont les angles que font les segments IF et IG avec la normale en I à l'ovale,
on a la relation de la loi de la réfraction :
= = k.

D'où la propriété qui a motivé l'étude de cet ovale par Descartes :
pour I suffisamment proche de A, les rayons lumineux issus de F et réfractés en I par l'ovale convergent vers G.

Outre cela, en chacune de ces ovales il faut considérer deux parties qui ont diverses propriétés ; à savoir en la première, la partie qui est vers A, fait que les rayons qui étant dans l'air viennent du point F, se retournent tous vers le point G, lorsqu'ils rencontrent la superficie convexe d'un verre dont la superficie est IAI, et dans lequel les réfractions se font telles que, suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes être mesurées par la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ou semblables, par l'aide desquelles on a décrit cette ovale.

Mais la partie qui est vers V fait que les rayons qui viennent du point G se réfléchiraient tous vers F, s'ils y rencontraient la superficie concave d'un miroir dont la figure fût IVI, et qui fût de telle matière qu'il diminuât la force de ces rayons, selon la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ; car de ce qui a été démontré en la Dioptrique, il est évident que, cela posé, les angles de la réflexion seraient inégaux, aussi bien que sont ceux de la réfraction, et pourraient être mesurés en même sorte, plus grande que AF, ce miroir serait convexe au milieu vers A, et concave aux extrémités ; car telle est la figure de cette ligne, qui en cela représente plutôt un cœur qu'une ovale.

Mais son autre partie X2 sert pour les réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l'air tendent vers F, se détournent vers G en traversant la superficie d'un verre qui en ait la figure.

La troisième ovale sert toute aux réfractions, et fait que les rayons qui étant dans l'air tendent vers F, se vont rendre vers H dans le verre, après qu'ils ont traversé sa superficie dont la figure est A3Y3, qui est convexe partout, excepté vers A où elle est un peu concave, en sorte qu'elle a la figure d'un cœur aussi bien que la précédente; et la différence qui est entre les deux parties de cette ovale consiste en ce que le point F est plus proche de l'une que n'est le point H, et qu'il est plus éloigné de l'autre que ce même point H.

En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions, et fait que si les rayons qui viennent du point H rencontraient la superficie concave d'un miroir de même matière que les précédents, et dont la figure fût A4Z4, ils se réfléchiraient tous vers F.

De façon qu'on peut nommer les points F et G ou H les points brûlants (foyers) de ces ovales, à l'exemple de ceux des ellipses et des hyperboles, qui ont été ainsi nommés en la Dioptrique.

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Démonstration de ces propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions

J'omets quantité d'autres réfractions et réflexions qui sont réglées par ces mêmes ovales, car n'étant que les converses ou les contraires de celles-ci, elles en peuvent facilement être déduites. Mais il ne faut pas que j'omette la démonstration de ce que j'ai dit ; et à cet effet prenons, par exemple le point C, à discrétion en la première partie de la première de ces ovales ; puis tirons la ligne droite CP, qui coupe la courbe au point C à angles droits, ce qui est facile par le problème précédent.

Car prenant b pour AG, c pour AF, c + z pour FC et supposant que la proportion qui est entre d et e, que je prendrai ici toujours pour celle qui mesure les réfractions du verre proposé, désigne aussi celle qui est entre les lignes A5, et A6, ou semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne pour GC :
on trouve que la ligne AP est ,
ainsi qu'il a été montré ci-dessus (page 350).

De plus, du point P ayant tiré PQ à angles droits sur la droite FC, et PN aussi à angles droits sur GC, considérons que si PQ est à PN, comme d est à e, c'est-à-dire, comme les lignes qui mesurent les réfractions du verre convexe AC, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s'y courber en entrant dans ce verre, qu'il s'aille rendre après vers G : ainsi qu'il est très évident de ce qui a été dit en la Dioptrique.

Puis enfin voyons par le calcul, s'il est vrai, que PQ soit à PN ; comme d est à e.

Les triangles rectangles PQF et CMF sont semblables ; d'où il suit que CF est à CM, comme FP est à PQ ; et par conséquent que FP, étant multipliée par CM, et divisée par CF, est égale à PQ.

Tout de même les triangles rectangles PNG, et CMG sont semblables ; d'où il suit que GP, multipliée par CM, et divisée par CG, est égale à PN.

Puis à cause que les multiplications, ou divisions, qui se font de deux quantités par une même, ne changent point la proportion qui est entre elles ; si FP multipliée par CM ; et divisée par CF, est à GP multipliée aussi par CM et divisée par CG ; comme d est à e, en divisant l'une et l'autre de ces deux sommes par CM, puis les multipliant toutes deux par CF, et derechef par CG, il reste FP multipliée par CG, qui doit être à GP multipliée par CF, comme d est à e.

Or par la construction FP est

Ou bien FP =

et CG est b – z

si bien que multipliant FP par CG il vient

Puis GP est

ou bien

GP =

et CF est c + z

Si bien que multipliant GP par CF, il vient

GP × CF =

Et pourceque la première de ces sommes divisée par d, est la même que la seconde divisée par e, il est manifeste, que FP multipliée par CG est à GP multipliée par CF ; c'est-à-dire que PQ est à PN, comme d est à e, qui est tout ce qu'il fallait démontrer.

Et sachez que cette même démonstration s'étend à tout ce qui a été dit des autres réfractions ou réflexions, qui se font dans les ovales proposées sans qu'il y faille changer aucune chose, que les signes + et – du calcul, c'est pourquoi chacun les peut aisément examiner de soi-même, sans qu'il soit besoin que je m'y arête.

Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j'ai omis en la Dioptrique, lorsqu'après avoir remarqué qu'il peut y avoir des verres de plusieurs diverses figures qui fassent aussi bien l'un que l'autre que les rayons venant d'un même point de l'objet s'assemblent tous en un autre point après les avoir traversés ; et qu'entre ces verres, ceux qui sont fort convexes d'un côté et concaves de l'autre ont plus de force pour brûler que ceux qui sont également convexes des deux côtés ; au lieu que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les lunettes.

Je me suis contenté d'expliquer ceux que j'ai cru être les meilleurs pour la pratique, en supposant la difficulté que les artisans peuvent avoir à les tailler.

C'est pourquoi, afin qu'il ne reste rien à souhaiter touchant la théorie de cette science, je dois expliquer encore ici la figure des verres qui, ayant l'une de leurs superficies autant convexe ou concave qu'on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons qui viennent vers eux d'un même point, ou parallèles, s'assemblent après en un même point ; et celles des verres qui font le semblable, étant également convexes des deux côtés, ou bien la convexité de l'une de leurs superficies ayant la proportion donnée à celle de l'autre.

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Comment on peut faire un verre autant convexe ou concave en l'une de ses superficies qu'on voudra, qui rassemble à un point donné tous les rayons qui viennent d'un autre point donné

Posons pour le premier cas, que les points G, Y, C et F étant donnés, les rayons qui viennent du point G ou bien qui sont parallèles à GA se doivent assembler au point F, après avoir traversé un verre si concave, que Y étant le milieu de sa superficie intérieure, l'extrémité en soit au point C, en sorte que la corde CMC et la flèche YM de l'arc CYC sont données.

La question va là, que premièrement il faut considérer de laquelle des ovales expliquées, la superficie du verre YG doit avoir la figure, pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même point, comme vers H, qui n'est pas encore connu, s'aillent rendre vers un autre, à savoir vers F, après en être sortis.

Car il n'y a aucun effet touchant le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfraction d'un point à un autre, qui ne puisse être causé par quelqu'une de ces ovales ; et on voit aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a tantôt été marquée 3A3 (figure troisième ovale - réfraction, page 355), ou par celle de la même qui a été marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée 2X2 (figure seconde ovale page 354).

Et pourceque ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant pour l'une que pour l'autre, prendre Y pour leur sommet, C pour l'un des points de leur circonférence, et F pour l'un de leurs points brûlants ; après quoi il ne reste plus à chercher que le point H qui doit être l'autre point brûlant.

Et on le trouve en considérant que la différence qui est entre les lignes FY et FC doit être à celle qui est entre les lignes HY et HC comme d est à e, c'est-à-dire comme la plus grande des lignes qui mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi qu'on peut voir manifestement de la description de ces ovales.

Et pourceque les lignes FY et FC sont données, leur différence l'est aussi, et ensuite celle qui est entre HY et HC, pourceque la proportion qui est entre ces deux différences est donnée.

Et de plus, à cause que YM est donnée, la différence qui est entre MH et HG l'est aussi ; et enfin pourceque CM est donnée, il ne reste plus qu'à trouver MH le côté du triangle rectangle CMH dont on a l'autre côté CM, et on a aussi la différence qui est entre CH la base et MH le côté demandé ; d'où il est aisé de le trouver : car si on prend k pour l'excès de GH sur MH, et n pour la longueur de la ligne CM, on aura pour MH.

Et après avoir ainsi le point H, s'il se trouve plus loin du point Y, que n'en est le point F, la ligne CY doit être la première partie de l'ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3A3 (figure troisième ovale - réfraction, page 355).

Mais si HY est moindre que FY, ou bien elle surpasse HF de tant, que leur différence est plus grande à raison de la toute FY, que n'est e la moindre des lignes qui mesurent les réfractions comparée avec d la plus grande, c'est-à-dire que faisant HF = c, et HY = c + h, dh est plus grande que 2ce + eh, et lors CY doit être la seconde partie de la même ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3Y3 (figure troisième ovale - réfraction, page 355) ; ou bien dh est égale ou moindre que 2ce + eh, et lors CY doit être la seconde partie de l'ovale du second genre, qui a ci-dessus été nommée 2X2 (figure seconde ovale - réfraction, page 354) ; et enfin si le point H est le même que le point F, ce qui n'arrive que lorsque FY et FC sont égales, cette ligne YC est un cercle.

Après cela il faut chercher CAC l'autre superficie de ce verre, qui doit être une ellipse dont H soit le point brûlant, si on suppose que les rayons qui tombent dessus soient parallèles ; et lors il est aisé de la trouver.

Mais si on suppose qu'ils viennent du point G, ce doit être la première partie d'une ovale du premier genre dont les deux points brûlants soient G et H, et qui passe par le point C ; d'où on trouve le point A pour le sommet de cette ovale, en considérant que GC doit être plus grande que GA d'une quantité qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme d à e ; car ayant pris k pour la différence qui est entre CH et HM, si on suppose x pour AM, on aura x - k pour la différence qui est entre AH et CH ; puis si on prend g pour celle qui est entre GC et GM qui sont données, on aura g + x pour celle qui est entre GG, et GA ; et pourceque cette dernière g + x est à l'autre x – k comme d est à e,
on a ge + ex = dx – dk, ou bien pour la ligne x, ou AM, par laquelle on détermine le point A qui était cherché.

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Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l'une de ses superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou, concavité de l'autre

Posons maintenant pour l'autre cas, qu'on ne donne que les points G, C et F, avec la proportion qui est entre les lignes AM et YM, et qu'il faille trouver la figure du verre ACY qui fasse que tous les rayons qui viennent du point G s'assemblent au point F.

On peut derechef ici se servir de deux ovales dont l'une AG ait G et H pour ses points brûlants, et l'autre CY ait F et H pour les siens.

Et pour les trouver, premièrement, supposant le point H, qui est commun à toutes deux, être connu, je cherche AM par les trois points G, C, H, en la façon tout maintenant expliquée, à savoir, prenant k pour la différence qui est entre CH et HM, et g pour celle qui est entre GC et GM, et AG étant la première partie de l'ovale du premier genre, j'ai pour AM ; puis je cherche aussi MY par les trois points F, C, H, en sorte que CY soit la première partie d'une ovale du troisième genre ; et prenant y pour MY, t f pour la différence qui est entre CF et FM, j'ai f + y pour celle qui est entre CF et FY; puis ayant déjà k pour celle qui est entre CH et HM, j'ai k + y pour celle qui est entre CH et HY, que je sais devoir être à f + y comme e est à d, à cause de l'ovale du troisième genre, d'où je trouve que y ou MY est ;

puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour AM et MY, je trouve pour la toute AY : d'où il suit que, de quelque côté que soit supposé le point H, cette ligne AY est toujours composée d'une quantité qui est à celle dont les deux ensemble GC et CF surpassent la toute GF, comme e, la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les réfractions du verre proposé, est à d – e la différence qui est entre ces deux lignes, ce qui est un assez beau théorème.

Or, ayant ainsi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties AM et MY; au moyen de quoi, pourcequ'on a déjà le point M, on trouve aussi les points A et Y, et ensuite le point H par le problème précédent.

Mais auparavant il faut regarder si la ligne AM ainsi trouvée est plus grande que , ou plus petite, ou égale.

Car si elle est plus grande, on apprend de là que la courbe AC doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et CY la première d'une du troisième, ainsi qu'elles ont été ici supposées ; au lieu que si elle est plus petite, cela montre que c'est GY qui doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et que AC doit être la première d'une du troisième; enfin si AM est égale à, les deux courbes AC et CY doivent être deux hyperboles.

On pourrait étendre ces deux problèmes à une infinité d'autres cas que je ne m'arrête pas à déduire, à cause qu'ils n'ont eu aucun usage en la dioptrique.

On pourrait aussi passer outre et dire, lorsque l'une des superficies du verre est donnée, pourvu qu'elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques ou de cercles, comment on doit faire son autre superficie, afin qu'il transmette tous les rayons d'un point donné à un autre point aussi donné, car ce n'est rien de plus difficile que ce que je viens d'expliquer, ou plutôt c'est chose beaucoup plus facile à cause que le chemin en est ouvert.

Mais j'aime mieux que d'autres le cherchent, afin que s'ils ont encore un peu de peine à le trouver, cela leur fasse d'autant plus estimer l'invention des choses qui sont ici démontrées.

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Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions, ou bien sur une superficie courbe

Au reste je n'ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu'on peut décrire sur une superficie plate ; mais il est aisé de rapporter ce que j'en ai dit à toutes celles qu'on saurait imaginer être formées par le mouvement régulier des points de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions : à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne courbe qu'on veut considérer, sur deux plans qui s'entre-coupent à angles droits, l'une sur l'un et l'autre sur l'autre ; car les extrémités de ces perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de ces plans, desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer tous les points et les rapporter à ceux de la ligne droite, qui est commune à ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la courbe, qui a trois dimensions, sont entièrement déterminés.

Même si on veut tirer une ligne droite qui coupe cette courbe au point donné à angles droits, il faut seulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné; car ayant élevé deux autres plans, un sur chacune de ces lignes droites, qui coupe à angles droits le plan où elle est, on aura l'intersection de ces deux plans pour la ligne droite cherchée.

Et ainsi je pense n'avoir rien omis des éléments qui sont nécessaires pour la connaissance des lignes courbes.