René Descartes Descartes et les Mathématiques

Calul d'intégrales avec la méthode des trapèzes

Géométrie plane en terminale S : deux exercices et le calcul approché d'intégrales avec GéoPlan.

Sommaire

1. Intégrale de f entre a et b par la méthode des rectangles

f(x) =

2. Encadrement

2.1. f(x) = x²
2.2. f(x) =

3. Méthode des trapèzes f(x) =

Intégration

1. Intégrale de f entre a et b par la méthode des rectangles

f(x) =

Avec le menu : créer>numérique>fonction numérique>une variable, modifier la fonction f.

geometrie terminale - calcul de l'integrale de 1/(1+ x^2) par la methode des rectangles

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Calcul d'une valeur approchée d'intégrale

On décompose le segment [a, b] en n segment de même longueur h = (b−a)/n et on note u₀ = a, u₁, u₂, u₃…, u_n = b, la suite des extrémités de ces intervalles.

Pour une valeur x₀ égale à un des u_i on trace deux extrémités A(x₀, 0) et A’(x₀+h, 0) sur l'axe (Ox),
Les points M(x₀, f’(x₀)) et M’(x₀+h, f’(x₀)) permettent de tracer le rectangle AA’M’M nommé R.
Les points N(x₀, f’(x₀+h)) et N’(x₀+h, f’(x₀+h)) permettent de tracer le rectangle AA’N’N nommé R’.

Technique GéoPlan

Après le tracé du premier rectangle de côté A(a, 0)A’(a+h, 0), on répète, avec la commande S, n−1 fois le tracé des rectangles en activant le mode Trace.
La commande Cm2 itère le calcul de I, avec l'astuce que le calcul se fait avant l'affectation de x₀+h à x₀, la hauteur du rectangle R est donc
f’(x₀+h) et celle du rectangle R’ est f’(x₀+ 2h).

2. Encadrement

Comme en mode trace, un rectangle AA’N’N efface le rectangle AA’M’M précédent, il faut deux programmes distincts pour les fonctions croissantes sur [a, b] et pour les décroissantes où les rôles de R et R’ sont échangés.

2.1. Fonction croissante : f(x) = x² sur R⁺

geometrie terminale - encadrement de l'integrale de x^2 par la methode des rectangles - copyright Patrice Debart 2007

2.2. Fonction décroissante : f(x) =

geometrie terminale - encadrement de l'integrale de 1/x par la methode des rectangles - copyright Patrice Debart 2007

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3. Méthode des trapèzes

geometrie terminale - encadrement de l'integrale de 1/(1+x^2) par la méthode des trapèzes - copyright Patrice Debart 2007

Une valeur approchée de l'intégrale se trouve en faisant la somme des aires des trapèzes AA’M’M de sommets, pour une valeur x₀,
les points A(x₀, 0) et A’(x₀+h, 0) sur l'axe (Ox)
et les points M(x₀, f’(x₀)) et M’(x₀+h, f’(x₀+h)).