Descartes et les Mathématiques L'espace en quatrième avec GeoGebra 3DPyramide : volume, patron - partition d'un cube en trois ou six pyramides - Cône de révolution. | |
La géométrie dans l'espace en quatrièmePyramide : le cours 1. Coin de cube 4. Pyramide équilatérale de base carrée 5. Patrons de pyramide et de tétraèdre 6. Cône de révolution Sur tablette numérique ou smartphone, bascule automatique vers la version mobile |
La pyramide dans d'autres pages du site Sections planes de pyramide (troisième) Intersection de plans dans une pyramide (seconde) |
…Avec GeoGebra 3D Mode d'emploi GeoGebra 3D Sections planes en 3e cube, pyramide | |
Pyramide : le coursUne pyramide est un solide composé : Pyramide régulièreDéfinition : la pyramide est régulière si la base est un polygone régulier et si la hauteur, perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, a son pied au centre du polygone de base. Pyramide au collègeAu collège, les pyramides étudiées auront une base rectangulaire, souvent carrée, ou bien une base triangulaire ; dans ce dernier cas, le solide est nommé tétraèdre. Cas particuliers Toutes les arêtes sont de même longueur : • base carrée : la pyramide équilatérale où les faces latérales sont des triangles équilatéraux; Autre cas particulier de pyramide régulière de base carrée : Figure 3D dans GeoGebraTube : pyramide de base carrée Voir : tronc de pyramide | |
Formule du volume d'une pyramideLe volume V d'une pyramide (d'un tétraèdre ou d'un cône de révolution) est donné par la formule : V = × aire de la base × hauteur = × Sbase × hauteur, où Sbase est l'aire de la base et hauteur = OS (figure ci-dessus). Démocrite (460-370 avant J.-C.) fut le premier à formuler l'énoncé et Eudoxe (IVe siècle) le premier à en trouver la démonstration. Volume d'une pyramide à base carrée Si la base carrée ABCD a pour côté a, Sbase = a2. Le volume est alors : V = × a2 × hauteur = × a2 × OS. | |
1. Coin de cubeOn appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle BEGF formé par trois arêtes d'un cube concourantes en un sommet F, et des diagonales des faces du cube qui joignent les autres extrémités de ces arêtes. | |
« Figure fil de fer ». |
En vert : « coin de cube ». |
« Cube fortement tronqué ». En classe de quatrième, savoir visualiser le « coin de cube » à partir de la « figure fil de fer » à gauche et se représenter ci-contre le « cube fortement tronqué », cube auquel on a enlevé un coin de cube. Figures 3D dans GeoGebraTube : coin de cube – Coin de cube dans un cube en fil de fer - on y trouve les trois variantes : triangle équilatéral formé par trois diagonales de faces du cube - cube moins coin de cube - cube fortement tronqué Voir aussi : « cube tronqué » aux huit sommets. | |
2. Trois pyramides inscrites dans un cubeVisualiser la partition d'un cube en 3 pyramides à bases carrées, au total ayant donc le même volume. Pour cela, on va partir du cube initial ABCDEFGH, définir les trois pyramides de même sommet E et de bases respectives les trois faces ABCD ; BCGF et HDCG du cube. | |
On vérifie que le volume de chaque pyramide est bien V = × a3 = × a2 × a = × Sbase × hauteur. Figures 3D dans GeoGebraTube : trois pyramides inscrites dans un cube | |
3. Six pyramides dans un cubePartition du cube en 6 pyramides régulières de bases carrées les faces du cube, de sommet le centre du cube. | |
Par symétrie on peut compléter ces trois pyramides pour obtenir une partition du cube en six pyramides de même volume. Figures 3D dans GeoGebraTube : six pyramides inscrites dans un cube, diagonales d'un cube en fil de fer | |
4. Pyramide régulière de base carréeComment dessiner une pyramide 3D ? 4.1. Dessiner une pyramide équilatérale de base carrée.SABCD est une pyramide régulière de base carrée ABCD. Quel est l'angle des arêtes (SA) et (SC) ? Construction de la pyramide équilatérale Construire un carré de côté a. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. La hauteur (d) est la droite issue de H, perpendiculaire au plan ABC. AOS est un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse a : la hauteur SO est alors égale à a. |
Plan diagonal Une vue de face du triangle ACS dans le plan diagonal permet de conjecturer que l'angle ASC est droit. En effet, si a est la longueur d'une des arêtes de la pyramide, on remarque que ABC est un triangle rectangle isocèle de petits côtés a et d'hypoténuse AC. Le triangle ASB a deux côtés de longueur a et un troisième côté AC. Figure 3D dans GeoGebraTube : pyramide de base carrée |
Deux fenêtres pour cette pyramide équilatéraleCadre de gauche : plan (ACS) dans la fenêtre graphique (xOy) ; diagonale [AC] de la base sur (Ox), S sur (Oy) axe vertical. Triangle ACS, du plan diagonal, rectangle isocèle, en vraie grandeur, dans la fenêtre graphique. |
4.2. Triangle ACS, du plan diagonal, équilatéral Figure 3D dans GeoGebraTube : pyramide de base carrée - plan diagonal |
5. Technique GeoGebra 3D :Patron d'un polyèdreOn obtient, parmi tous les patrons possibles, un patron choisi par le logiciel à partir de la face principale ayant servi à sa construction. | |
5.1. Patron d'une pyramide de base c arréeComment dessiner une pyramide à base carreée | |
5.2. Patron d'un tétraèdre réguler |
Patron d'une pyramide de base triangulaire |
Figure 3D dans GeoGebraTube : patron de pyramide de base carrée Figures 3D dans GeoGebraTube : tétraèdre de base un triangle équilatéral, patron d'un tétraèdre Le coefficient d'ouverture du patron est une variable réelle m, comprise entre 0 et 1 ; si elle est égale à 1 le patron est plan, si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le polyèdre. | |
6. Cône de révolutionPour ce cône, la base est un cercle de centres O et de rayon r. Volume du cônePour le cercle de rayon r, l'aire de la base est πr2 ; Volume = V = × aire de la base × hauteur = × Abase × h. Aire latérale du côneL'apothème, distance du sommet au cercle, est rac(r2 + h2). Figure 3D dans GeoGebraTube : cône de révolution | |
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