René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

La géométrie dans l'espace en troisième avec GeoGebra 3D

Problèmes de sections planes de solides - Sphère, représentation en perspective.

GeoGebra en 3e

1. Sections planes d'un cube

2. Sections et tronc de pyramide

3. Section et tronc de tétraèdre - Solide composite
            Lanterne

4. Sections planes de solides de révolution

 

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Icône GéoSpace GéoSpace : sections planes du cube

Cube en 2nde

Icône GeoGebra Intersection d'un plan et d'un cube

Icône GéoSpace Pyramide : le cours

Icône GeoGebra Partition d'un cube en trois ou six pyramides

Icône GéoSpace Pyramide octogonale

Icône GéoSpace Intersection de plans autour d'une pyramide

Icône GéoSpace Sections planes de pyramide

Icône GéoSpace Parallélépipède dans une pyramide au bac

Travaux Pratiques 1

A. Sections planes d'un cube

« L'utilisation de l'informatique donne une vision dynamique de la figure. GeoGebra permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé en “vue de face” permet de voir les sections planes en “ vraie grandeur ”.

Sections planes : En général, dans les exercices ci-dessous, nous décrivons la construction point par point des sections, en explicitant les divers cas particuliers.

GeoGebra Technique GeoGebra 3D

Icône intersection de surfaces Avec GeoGebra 3D, on crée la section plane avec l'outil intersection de surfaces.

Avec la souris, il n'est pas facile de sélectionner tout le polyèdre et souvent on ne sélectionne qu'une seule face.
On a intérêt à montrer le plan, puis dans le menu algèbre, sélectionner le solide a ;

ou bien, en bas de l'écran, saisir d=IntersectionChemins[Plan[A,B,C], a]
Dès que l'on tape d=Int le logiciel propose la syntaxe précise :
d=IntersectionChemins[<Plan>, <Polygone>]
Remplacer les <...> par le nom du plan et celui du polyèdre.

Section du cube par un plan contenant une arête

geogebra 3d - section du cube rectangulaire - copyright Patrice Debart 2014

Créer le point variable I, sur le segment (arête du cube) [BF].
Trouver le point J intersection du plan (ADI) avec la droite (CG).
Tracer les segments [AI], [IJ] et [JD].

Déplacer le point I.

Quelle est la nature de la section du cube par le plan (ADI) ?

Face (ABFE) de profil

Geogebra 3D - section du cube - copyright Patrice Debart 2014

Faire tourner la figure pour visualiser le profil de la section plane du cube en vraie grandeur.

 

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : rectangle comme section d'un cube

1.2. Carré - rectangle

Section d'un cube par un plan parallèle à une arête.

La section par un plan parallèle à une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un carré.

1.3. Trapèze comme section plane du cube

Geogebra 3D - trapèze comme section du cube - copyright Patrice Debart 2014

Section plane déterminée par un sommet et deux points sur les arêtes du cube

I et J sont deux points sur les arrêtes [BF] et [GH], arrêtes orthogonales non concourantes, ne contenant pas le sommet E.

Trouver l'intersection du plan (EIJ) avec les faces du cube.

Indications

– Mener par J, la parallèle (d) à (EI) :

Comme les faces (ABFE) et (CDHG) du cube sont parallèles, le plan (EIJ) coupe le plan (CDH) suivant cette parallèle (d) à (EI).

La droite (d), située dans la face (CDHG), coupe (CG) en K.

– La section plane EIKJ est un trapèze.

[EJ] et [IK] sont les deux autres côtés du trapèze EIKJ de bases [EI] et [JK].

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : trapèze comme section plane d'un cube

      Voir aussi : trapèze comme section par un plan

1.4. Trapèzes comme sections planes du cube

geogebra 3d - trapèze comme section d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

Trapèze lorsque la section coupe l'arête [BC]

Section plane déterminée par trois points sur des arêtes du cube

Créer les points I et J sur deux arêtes parallèles [AB], et [EF],
placer un troisième point K sur [FG], arête ayant le sommet F en commun avec [EF].

Construction du quatrième sommet de la section

Comme les faces (ABCD) et (EFGH) du cube sont parallèles, le plan (IJK) coupe le plan (ABC) suivant une parallèle (d) à (JK).

Figure ci-contre :

La droite (d) coupe (BC) en M, point d'intersection du plan (IJK) avec (BC).

Si le pont M est sur le segment [BC] la section est alors un trapèze.

Tracer le trapèze IJKM.

Trapèze lorsque la section coupe l'arête [CD]

geogebra 3d - trapèze comme section d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

La droite (d) coupe (CD) en L, point d'intersection du plan (IJK) avec le segment [CD].
Tracer le trapèze IJKL.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : deux trapèzes comme section plane du cube

1.5. Parallélogramme ou pentagone comme sections du cube

Geogebra 3D - parallélogramme comme section d'un cube - copyright Patrice Debart 2014

Section plane déterminée par trois points sur des arêtes parallèles du cube

Comme pour la figure précédente, mais avec le point K sur [HG] :
créer les points variables I, J et K sur les trois arêtes parallèles [AB], [EF] et [HG].

Construction des autres sommets de la section

Cas où la section coupe la quatrième arête [CD]

Trouver le point L intersection du plan (IJK) avec le segment [CD].
Tracer le parallélogramme IJKL.

Déplacer les points I, J ou K pour faire apparaître le plus explicitement possible ce parallélogramme.

Cas où la section ne coupe pas le segment [CD]

Geogebra 3D - section d'un cube pentagonale - copyright Patrice Debart 2014

Dans le cas où le point L intersection du plan (IJK) avec la droite (CD) est à l'extérieur du segment [CD], trouver l'intersection du plan (IJK) avec une autre face du cube, par exemple avec la face ADHE si le point L est sur la droite (CD) du côté de D.

Trouver l'intersection M du plan (IJK) avec [AD] et N avec [DH]. Tracer le pentagone IJKNM, ayant deux côtés parallèles [JK] et [IM].

 

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : parallélogramme ou pentagone comme sections planes du cube

1.6. Pentagone - problème de Bergson

Geogebra 3D - hexagone régulier comme section plane du cube - copyright Patrice Debart 2014

I est le milieu de [AB], J le milieu de [AE] et K le milieu de [EH]. Trouver la section plane du cube par le plan (IJK).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : hexagone de Bergson comme section plane du cube

 

g3w Voir le problème de Bergson au lycée.

B. Sections planes d'un parallélépipède rectangle

Section par un plan parallèle à la face AEHD.

geogebra 3d - rectangle comme section du parallélépipède - copyright Patrice Debart 2014

Section par un plan parallèle à l'arête [AD].

geogebra 3d - rectangle comme section du parallélépipède - copyright Patrice Debart 2014

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section plane d'un parallélépipède rectangle

La section d'un parallélépipède rectangle (ou d'un cube) par un plan parallèle à une face ou une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un rectangle ayant les mêmes dimensions que cette face.

Travaux Pratiques 2

Sections de pyramide

2.1. Section d'une pyramide parallèle à la base

geogebra 3d - section de pyramide - copyright Patrice Debart 2014

Sur la hauteur [OS] placer un point variable M.
Créer le plan (p) parallèle à la base de la pyramide, passant par le point M.
Avec l'icône « intersection de deux surfaces », créer la section plane intersections du plan (p) avec la pyramide et renommer A’, B’, C’et D’ les sommets du carré situés sur les arêtes de la pyramide.

Quelle est la nature du solide SA’B’C’D’ ?

Cas général : section plane d'une pyramide en seconde

2.2. Tronc de pyramide

geogebra 3d - tronc de pyramide - copyright Patrice Debart 2014

Après avoir tracé la section carrée A’B’C’D’,
effacer la grande pyramide,
créer les quatre faces latérales : trapèzes ABB’A’…

Le solide ABCDA’B’C’D’ est un tronc de pyramide.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section plane et tronc d'une pyramide de base carrée

2.3. Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône) (hors programme)

Calculer le volume de la pyramide non tronquée,
puis en déduire le volume de la partie tronquée  :

En appelant B l'aire de la grande base ABCD et b l'aire de la petite base A’B’C’D’ et h la hauteur du tronc, la formule du volume du tronc est alors :

V = h/3 [B + rac(Bb) + b ].

Pour calculer le volume du tronc de pyramide de base carrée, avec a et b comme longueur des côtés des carrés, les anciens Égyptiens utilisaient une méthode revenant à l'emploi de la formule :

V = h/3 [a2 + ab + b2].

2.4. Pyramide gauche

geogebra 3d - pyramide gauche - copyright Patrice Debart 2014

Recommencer avec une pyramide ABCDS de base carrée ABCD, trirectangle en A, telle que l'arête [AS] soit une hauteur de la pyramide.

Placer le point variable A’ sur le segment [AS] et tracer la section plane A’B’C’D’ de la pyramide par le plan (p) passant par A’, parallèle à la base.

 

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pyramide gauche de base carrée

Section plane d'une pyramide gauche

geogebra 3d - section plane de pyramide gauche - copyright Patrice Debart 2014

Travaux Pratiques 3

Section et tronc de tétraèdre - Solide composite

3.1. Section plane et tronc de tétraèdre

geogebra 3d - section plane de tétraèdre - copyright Patrice Debart 2014

Section plane

À partir d'un point O ’ situé sur la hauteur [OD], tracer les traces (sur le tétraèdre) du plan passant par O ’, parallèle au plan de base (ABC).

Créer le plan (p) parallèle à la base de la pyramide, passant par le point O'.

Avec l'icône « intersection de deux surfaces », créer la section plane intersections du plan (p) avec le un tétraèdre et renommer A’, B’ et C’ les sommets du triangle situés sur les arêtes du tétraèdre.

 

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section plane et tronc d'un tétraèdre

Voir au lycée : section de tétraèdre par un plan

Tronc de tétraèdre

geogebra 3d - tronc de tétraèdre - copyright Patrice Debart 2014

Après avoir tracé la section triangulaire A’B’C’,
effacer le grand tétraèdre,
créer les trois faces latérales : trapèzes ABB’A’…

Le solide ABCA’B’C’ est un tronc de tétraèdre polyèdre à 5 faces.

Si ABCD est un tétraèdre régulier, le tétraèdre réduit A’B’C’D est-il régulier ?

3.2. Solide assemblage d'un cube et d'une pyramide

Lanterne : solide composite

Comment dessiner une pyramide de base carrée posée sur un cube ?

geogebra 3d - cube surmonte d'une pyramide - copyright Patrice Debart 2014
geogebra 3d - cube surmonte d'une pyramide - faces colorees - copyright Patrice Debart 2014

Charger la figure 3D de GeoGebra Tube : cube
Tracer la médiatrice d'une des faces du cube
(placer les points O au milieu de la face ABCD et H au milieu de la face A’B’C’D’, O et H sont les « milieux de diagonales »).

Placer le point S sur cette médiatrice [HO) et créer le solide : A’B’C’D’ABCDS.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : lanterne

4. Sections planes de solides de révolution

geogebra 3d - section plane de cylindre - copyright Patrice Debart 2014

Cylindres dont les bases sont deux cercles de centres O et O’ et rayon r.
L'axe (OO’) des cylindres est perpendiculaire aux plans des cercles de base.

4.1. Cylindre - plan horizontal

Section par un plan perpendiculaire à l'axe (OO’) du cylindre, passant par un point M du segment [OO’].

La section est un cercle de centre M.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section de cylindre

g3w Terminale S : Volume d'un tronc de cylindre couché

4.2. Cylindre - plan vertical

geogebra 3d - section verticale de cylindre - copyright Patrice Debart 2014

Icône GéoSpace Ancienne version GéoSpace, adaptation à GeoGebra en projet

Section par un plan parallèle à l'axe du cylindre, passant par les points R et S, situés sur un des cercles de base.

La section est le rectangle RSTU.

Indication : la translation de vecteur vect(AB) transforme le cercle de base (c) de centre A en (c’), cercle de base de centre B. Les points R et S en U et T : RSTU est un parallélogramme. Les côtés [RU] et [ST], parallèles à l'axe (AB) sont perpendiculaires à la base : un angle droit, d'où un rectangle.

4.3. Cône de révolution

geogebra 3d - section plane de cone - copyright Patrice Debart 2014

Section plane d'un cône par un plan parallèle à la base

La figure représente un cône de révolution.
L'axe du cône est (OS). Sa hauteur OS sera notée h.
O est le centre du cercle de base (c) de rayon r.

Soit O’ un point de [OS]. On coupe ce cône par un plan (P) perpendiculaire à son axe en O’.

L'ensemble des points qui sont à la fois dans le plan et sur la surface latérale du cône est un cercle (c’) de centre O’ et de rayon r’.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section de cône

4.4. Sphère

geogebra 3d - sphere - copyright Patrice Debart 2014

(S) est une sphère de centre O et de rayon R, (P) un plan.
O’ est le pied de la perpendiculaire à (P) menée par O.
OO’ est la distance de O à O’, notée d.

On suppose que M est un point commun au plan et à la sphère et on note O’M = r.

Dans le triangle OO’M, rectangle en O’, de la propriété de Pythagore :
O’M2 + OO’2 = OM2,
on déduit r2 = R2 - d2.

Si d < R, l'ensemble des points d'intersection entre la sphère (S) et un plan (P) situé à une distance d de O est le cercle, du plan (P), de centre H
et de rayon r = rac(R²-d²).

Si d = R, le plan est tangent à la sphère en O’.
Si d > R, le plan ne coupe pas la sphère.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section de sphère

Table des matières

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Page no 11, adaptée à GeoGebra 3D le 17/12/2014