Descartes et les Mathématiques
La géométrie dans l'espace en troisième avec GeoGebra 3D
Problèmes de sections planes de solides - Sphère, représentation en perspective.
GeoGebra en 3e
2. Sections et tronc de pyramide
3. Section et tronc de tétraèdre - Solide composite
Lanterne
Sur tablette numérique ou smartphone, bascule automatique vers la version mobile
GéoSpace : sections planes du cube
Cube en 2nde
Pyramide : le cours
Partition d'un cube en trois ou six pyramides
Intersection de plans autour d'une pyramide
Sections planes de pyramide
Travaux Pratiques 1
A. Sections planes d'un cube
« L'utilisation de l'informatique donne une vision dynamique de la figure. GeoGebra permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé en “vue de face” permet de voir les sections planes en “ vraie grandeur ”.
Sections planes : En général, dans les exercices ci-dessous, nous décrivons la construction point par point des sections, en explicitant les divers cas particuliers.
Technique GeoGebra 3D
Avec GeoGebra 3D, on crée la section plane avec l'outil intersection de surfaces.
Avec la souris, il n'est pas facile de sélectionner tout le polyèdre et souvent on ne sélectionne qu'une seule face.
On a intérêt à montrer le plan, puis dans le menu algèbre, sélectionner le solide a ;
ou bien, en bas de l'écran, saisir d=IntersectionChemins[Plan[A,B,C], a]
Dès que l'on tape d=Int le logiciel propose la syntaxe précise :
d=IntersectionChemins[<Plan>, <Polygone>]
Remplacer les <...> par le nom du plan et celui du polyèdre.
Section du cube par un plan contenant une arête
Créer le point variable I, sur le segment (arête du cube) [BF].
Trouver le point J intersection du plan (ADI) avec la droite (CG).
Tracer les segments [AI], [IJ] et [JD].
Déplacer le point I.
Quelle est la nature de la section du cube par le plan (ADI) ?
Face (ABFE) de profil
Faire tourner la figure pour visualiser le profil de la section plane du cube en vraie grandeur.
Figure 3D dans GeoGebraTube : rectangle comme section d'un cube
1.2. Carré - rectangle
Section d'un cube par un plan parallèle à une arête.
La section par un plan parallèle à une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un carré.
1.3. Trapèze comme section plane du cube
Section plane déterminée par un sommet et deux points sur les arêtes du cube
I et J sont deux points sur les arrêtes [BF] et [GH], arrêtes orthogonales non concourantes, ne contenant pas le sommet E.
Trouver l'intersection du plan (EIJ) avec les faces du cube.
Indications
– Mener par J, la parallèle (d) à (EI) :
Comme les faces (ABFE) et (CDHG) du cube sont parallèles, le plan (EIJ) coupe le plan (CDH) suivant cette parallèle (d) à (EI).
La droite (d), située dans la face (CDHG), coupe (CG) en K.
– La section plane EIKJ est un trapèze.
[EJ] et [IK] sont les deux autres côtés du trapèze EIKJ de bases [EI] et [JK].
Figure 3D dans GeoGebraTube : trapèze comme section plane d'un cube
Voir aussi : trapèze comme section par un plan
1.4. Trapèzes comme sections planes du cube
Trapèze lorsque la section coupe l'arête [BC]
Section plane déterminée par trois points sur des arêtes du cube
Créer les points I et J sur deux arêtes parallèles [AB], et [EF],
placer un troisième point K sur [FG], arête ayant le sommet F en commun avec [EF].
Construction du quatrième sommet de la section
Comme les faces (ABCD) et (EFGH) du cube sont parallèles, le plan (IJK) coupe le plan (ABC) suivant une parallèle (d) à (JK).
Figure ci-contre :
La droite (d) coupe (BC) en M, point d'intersection du plan (IJK) avec (BC).
Si le pont M est sur le segment [BC] la section est alors un trapèze.
Tracer le trapèze IJKM.
Trapèze lorsque la section coupe l'arête [CD]
La droite (d) coupe (CD) en L, point d'intersection du plan (IJK) avec le segment [CD].
Tracer le trapèze IJKL.
Figure 3D dans GeoGebraTube : deux trapèzes comme section plane du cube
1.5. Parallélogramme ou pentagone comme sections du cube
Section plane déterminée par trois points sur des arêtes parallèles du cube
Comme pour la figure précédente, mais avec le point K sur [HG] :
créer les points variables I, J et K sur les trois arêtes parallèles [AB], [EF] et [HG].
Construction des autres sommets de la section
Cas où la section coupe la quatrième arête [CD]
Trouver le point L intersection du plan (IJK) avec le segment [CD].
Tracer le parallélogramme IJKL.
Déplacer les points I, J ou K pour faire apparaître le plus explicitement possible ce parallélogramme.
Cas où la section ne coupe pas le segment [CD]
Dans le cas où le point L intersection du plan (IJK) avec la droite (CD) est à l'extérieur du segment [CD], trouver l'intersection du plan (IJK) avec une autre face du cube, par exemple avec la face ADHE si le point L est sur la droite (CD) du côté de D.
Trouver l'intersection M du plan (IJK) avec [AD] et N avec [DH]. Tracer le pentagone IJKNM, ayant deux côtés parallèles [JK] et [IM].
Figure 3D dans GeoGebraTube : parallélogramme ou pentagone comme sections planes du cube
1.6. Pentagone - problème de Bergson
I est le milieu de [AB], J le milieu de [AE] et K le milieu de [EH]. Trouver la section plane du cube par le plan (IJK).
Figure 3D dans GeoGebraTube : hexagone de Bergson comme section plane du cube
Voir le problème de Bergson au lycée.
B. Sections planes d'un parallélépipède rectangle
Section par un plan parallèle à la face AEHD.
Section par un plan parallèle à l'arête [AD].
Figure 3D dans GeoGebraTube : section plane d'un parallélépipède rectangle
La section d'un parallélépipède rectangle (ou d'un cube) par un plan parallèle à une face ou une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un rectangle ayant les mêmes dimensions que cette face.
Travaux Pratiques 2
Sections de pyramide
2.1. Section d'une pyramide parallèle à la base
Sur la hauteur [OS] placer un point variable M.
Créer le plan (p) parallèle à la base de la pyramide, passant par le point M.
Avec l'icône « intersection de deux surfaces », créer la section plane intersections du plan (p) avec la pyramide et renommer A’, B’, C’et D’ les sommets du carré situés sur les arêtes de la pyramide.
Quelle est la nature du solide SA’B’C’D’ ?
Cas général : section plane d'une pyramide en seconde
2.2. Tronc de pyramide
Après avoir tracé la section carrée A’B’C’D’,
effacer la grande pyramide,
créer les quatre faces latérales : trapèzes ABB’A’…
Le solide ABCDA’B’C’D’ est un tronc de pyramide.
Figure 3D dans GeoGebraTube : section plane et tronc d'une pyramide de base carrée
2.3. Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône) (hors programme)
Calculer le volume de la pyramide non tronquée,
puis en déduire le volume de la partie tronquée :
En appelant B l'aire de la grande base ABCD et b l'aire de la petite base A’B’C’D’ et h la hauteur du tronc, la formule du volume du tronc est alors :
V = 
[B + 
+ b ].
Pour calculer le volume du tronc de pyramide de base carrée, avec a et b comme longueur des côtés des carrés, les anciens Égyptiens utilisaient une méthode revenant à l'emploi de la formule :
V = [a2 + ab + b2].
2.4. Pyramide gauche
Recommencer avec une pyramide ABCDS de base carrée ABCD, trirectangle en A, telle que l'arête [AS] soit une hauteur de la pyramide.
Placer le point variable A’ sur le segment [AS] et tracer la section plane A’B’C’D’ de la pyramide par le plan (p) passant par A’, parallèle à la base.
Figure 3D dans GeoGebraTube : pyramide gauche de base carrée
Section plane d'une pyramide gauche
Travaux Pratiques 3
Section et tronc de tétraèdre - Solide composite
3.1. Section plane et tronc de tétraèdre
Section plane
À partir d'un point O ’ situé sur la hauteur [OD], tracer les traces (sur le tétraèdre) du plan passant par O ’, parallèle au plan de base (ABC).
Créer le plan (p) parallèle à la base de la pyramide, passant par le point O'.
Avec l'icône « intersection de deux surfaces », créer la section plane intersections du plan (p) avec le un tétraèdre et renommer A’, B’ et C’ les sommets du triangle situés sur les arêtes du tétraèdre.
Figure 3D dans GeoGebraTube : section plane et tronc d'un tétraèdre
Voir au lycée : section de tétraèdre par un plan
Tronc de tétraèdre
Après avoir tracé la section triangulaire A’B’C’,
effacer le grand tétraèdre,
créer les trois faces latérales : trapèzes ABB’A’…
Le solide ABCA’B’C’ est un tronc de tétraèdre polyèdre à 5 faces.
Si ABCD est un tétraèdre régulier, le tétraèdre réduit A’B’C’D est-il régulier ?
3.2. Solide assemblage d'un cube et d'une pyramide
Lanterne : solide composite
Comment dessiner une pyramide de base carrée posée sur un cube ?
Charger la figure 3D de GeoGebraTube : cube
Tracer la médiatrice d'une des faces du cube
(placer les points O au milieu de la face ABCD et H au milieu de la face A’B’C’D’, O et H sont les « milieux de diagonales »).
Placer le point S sur cette médiatrice [HO) et créer le solide : A’B’C’D’ABCDS.
Figure 3D dans GeoGebraTube : lanterne
4. Sections planes de solides de révolution
Cylindres dont les bases sont deux cercles de centres O et O’ et rayon r.
L'axe (OO’) des cylindres est perpendiculaire aux plans des cercles de base.
4.1. Cylindre - plan horizontal
Section par un plan perpendiculaire à l'axe (OO’) du cylindre, passant par un point M du segment [OO’].
La section est un cercle de centre M.
Figure 3D dans GeoGebraTube : section de cylindre
Terminale S : Volume d'un tronc de cylindre couché
4.2. Cylindre - plan vertical
Ancienne version GéoSpace, adaptation à GeoGebra en projet
Section par un plan parallèle à l'axe du cylindre, passant par les points R et S, situés sur un des cercles de base.
La section est le rectangle RSTU.
Indication : la translation de vecteur 
transforme le cercle de base (c) de centre A en (c’), cercle de base de centre B. Les points R et S en U et T : RSTU est un parallélogramme. Les côtés [RU] et [ST], parallèles à l'axe (AB) sont perpendiculaires à la base : un angle droit, d'où un rectangle.
4.3. Cône de révolution
Section plane d'un cône par un plan parallèle à la base
La figure représente un cône de révolution.
L'axe du cône est (OS). Sa hauteur OS sera notée h.
O est le centre du cercle de base (c) de rayon r.
Soit O’ un point de [OS]. On coupe ce cône par un plan (P) perpendiculaire à son axe en O’.
L'ensemble des points qui sont à la fois dans le plan et sur la surface latérale du cône est un cercle (c’) de centre O’ et de rayon r’.
Figure 3D dans GeoGebraTube : section de cône
4.4. Sphère
(S) est une sphère de centre O et de rayon R, (P) un plan.
O’ est le pied de la perpendiculaire à (P) menée par O.
OO’ est la distance de O à O’, notée d.
On suppose que M est un point commun au plan et à la sphère et on note O’M = r.
Dans le triangle OO’M, rectangle en O’, de la propriété de Pythagore :
O’M2 + OO’2 = OM2,
on déduit r2 = R2 - d2.
Si d < R, l'ensemble des points d'intersection entre la sphère (S) et un plan (P) situé à une distance d de O est le cercle, du plan (P), de centre H
et de rayon r = 
.
Si d = R, le plan est tangent à la sphère en O’.
Si d > R, le plan ne coupe pas la sphère.
Figure 3D dans GeoGebraTube : section de sphère
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Page no 11, adaptée à GeoGebra 3D le 17/12/2014