Descartes et les Mathématiques Fractions égyptiennesDécomposition d'un nombre rationnel en fractions égyptiennes, conjecture de Sierpinski. | ||||||||||||||||||||||
Sommaire1. Légende : l'œil Oudjat 2. Décomposition d'un nombre positif en fractions égyptiennes Fraction de numérateur 4 - Conjecture d'Erdös 4. Conjecture de Sierpinski |
Stage « Mathématiques et informatique » | |||||||||||||||||||||
Une fraction égyptienne est une somme d'inverses de naturels, avec ces naturels tous différents. Les anciens Égyptiens réduisaient donc les fractions à des sommes de fractions unitaires de numérateur 1, avec comme exception.. Ils préfèrent les décompositions qui utilisent les dénominateurs les plus petits. Les dénominateurs sont classés par ordre croissant. On ne répète jamais un dénominateur. Cette décomposition complexe était encore utilisée par Fibonacci. La décomposition d'un rationnel positif, inférieur à 1, en fraction égyptienne permet de mettre en œuvre des exercices de la quatrième à la terminale S avec des méthodes empiriques et des exemples simples d'algorithmes. | ||||||||||||||||||||||
1. Légende : l'œil OudjatL'œil Oudjat est un hybride d'œil humain et d'œil de faucon : il représente un œil humain fardé et souligné de deux marques colorées caractéristiques du faucon pèlerin. Il serait œil d'Horus, fils d'Isis et d'Osiris, perdu dans un combat mené contre son oncle Seth pour venger son père. Le dieu Thot, guérisseur et dieu de la médecine, l'avait soigné et le lui avait rendu. C'est pourquoi « Oudjat » symbolisait la santé et la lumière. L'Oudjat incarnait aussi le cycle du jour et de la nuit. On le retrouve comme amulette sur les momies : l'amulette représentait aussi l'attachement du fils à son père, car Horus avait donné son œil à son père Osiris afin qu'il recouvre la vue. Les « anciens Égyptiens » avaient coutume d'encastrer l'Oudjat dans les niches de leurs portes pour se préserver du mauvais œil. Au début du XXe siècle, fut inventée la légende de l'identification de l'œil Oudjat avec des fractions, légende qui sera répétée jusqu'à la fin du siècle : L'œil d'Horus serait décomposé en six éléments de la façon suivante : | ||||||||||||||||||||||
– la petite pyramide = | ||||||||||||||||||||||
Au cours du combat, Seth arrache l'œil gauche d'Horus, le coupe en six morceaux et le jette dans le Nil. À l'aide d'un filet, Thot récupère les morceaux, mais il en manque un ! Ce , manquant pour parfaire l'unité, serait toujours fourni par Thot, patron des scribes, au calculateur, qui se placerait ainsi sous sa protection. | ||||||||||||||||||||||
2. Décomposition d'un rationnel en fraction égyptienne2.a. IntroductionDès l'an 2000 avant notre ère, l'Égypte antique connaissait les fractions sous une forme limitée aux inverses d'entiers. | ||||||||||||||||||||||
Exemples |
Un algorithmeHenry Plane, Plot n° 60 Pour une fraction 0 < < 1, recherchons deux naturels n et r tels que np = q + r | |||||||||||||||||||||
= = + |
n = 2, r = 2 : 2 × 3 = 4 + 2 d'où = + 2/(2 × 4) = + | |||||||||||||||||||||
= = + + . |
7n = 11 + r soit n = 2, r = 3 et = + 3/22 On a donc une autre décomposition = + + 1/88 | |||||||||||||||||||||
= = + | 9n = 20 + r soit n = 4, r = 16 : = +16/(4 × 20) = + | |||||||||||||||||||||
Par exemple = = + , |
5n = 8 + r soit n = 2, r = 2 = + 2/(2 × 8) = + | |||||||||||||||||||||
Ou encore = = + ou = + = + + . Il est ainsi possible d'obtenir une infinité de décompositions. |
2n = 5 + r soit n = 3, r = 1 | |||||||||||||||||||||
2.b. Trois méthodesIl s'agit de décomposer un rationnel de ]0 ; 1[ en une somme d'inverses d'entiers strictement croissants. On ne sait pas très bien comment les Égyptiens procédaient pour obtenir ces décompositions. | ||||||||||||||||||||||
Deux méthodes égyptiennes Méthode de Taton (2000 avant J.-C.)Dénominateur pair. Décomposer le numérateur en somme de puissances de 2 : | ||||||||||||||||||||||
= = + + = + + , = ( + ) + = (2/6 + ) + = + Mais aussi en ajoutant les deux dernières fractions = + ( + ) = + (2/12 + ) = + |
7n = 12 + r soit n = 2, r = 2 7n = 12 + r soit n = 3, r = 9 | |||||||||||||||||||||
Numérateur égal à 2« table de deux » du Papyrus Rhind Les « anciens Égyptiens » devaient avoir différentes tables permettant de décomposer les fractions. | ||||||||||||||||||||||
= 4/18 = (3 + 1)/18 = + |
2n = 9 + r soit n = 5, r = 1 et = + 1/(5 × 9) = + 1/45 ou bien 2n = 9 + r soit n = 6, r = 3 et = + 3/(6 × 9) = + |
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Une fraction irréductible de numérateur 2 peut s'écrire sous la forme . Comme = + , la fraction se décompose en exactement deux fractions égyptiennes. Exemple : = = + . |
Si le dénominateur n'est pas premier, on trouve une autre décomposition la fraction du type (p et q impairs) avec la formule : Par exemple, avec p = 3 et q = 5, on a aussi : = + . | |||||||||||||||||||||
Autre exemple : pour p = 4, on a = = + . | ||||||||||||||||||||||
2/5 = 6/15 = (5 + 1)/15 = + 1/15 2/7 = 8/28 = (7 + 1)/28 = + 1/28 2/11 = 12/66 = (11 + 1)/66 = + 1/66 |
d'où 2/(5k) = 1/(3k) + 1/(15k) 2/(7k) = 1/(4k) + 1/(28k) 2/(11k) = 1/(6k) + 1/(66k) | |||||||||||||||||||||
Méthode « Matching pair »(méthode récente du 20e siècle) Remplacer les doubles d'inverses avec la formule .
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Un cas particulier pour = + qui n'est pas un développement acceptable et les anciens Égyptiens considéraient cette fraction comme une exception.. | ||||||||||||||||||||||
Soit pour le deuxième tiers = + , |
et l'on obtient = + + , | |||||||||||||||||||||
mais = = + D'où 2/(3k) = 1/(2k) + 1/(6k) |
ou avec l'algorithme 2.a. on a 2n = 3+ r soit n = 2, r = 1 | |||||||||||||||||||||
La méthode « Matching pair » s'utilise de même lorsque, dans des développements, on trouve des fractions unitaires égales. | ||||||||||||||||||||||
2.c. Quelques exemples à réaliser en classeTravail de groupes sur les mêmes fractions. | ||||||||||||||||||||||
Fraction de numérateur 3Soit une fraction irréductible de type . Si le dénominateur n est pair, on a la décomposition = + . Sinon n est de la forme 6k – 1 ou 6k + 1. Si n est de la forme 6k – 1 alors = + : | ||||||||||||||||||||||
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Si n est de la forme 6k + 1, utiliser par exemple l'algorithme de Fibonacci ci-dessous. Recherche empirique plus compliquée = + + . Cela devient difficile (impossible ?) à la main pour = + + + 1/171. D'où la nécessité d'un algorithme. Pour un numérateur égal à 4 ou 5, voir les conjectures d'Erdös ou de Sierpinski ci-dessous. | ||||||||||||||||||||||
2.d. Algorithme de FibonacciExpression clé : algorithme fraction égyptienne Recherche et programmation d'un algorithme Première phase de recherche par groupes. On espère voir sortir l'encadrement de la fraction par deux inverses d'entiers consécutifs n et n+1. Deuxième phase de recherche au terme de laquelle l'algorithme sera soit trouvé soit donné. | ||||||||||||||||||||||
Algorithme glouton de FibonacciEn 1201, Fibonacci (Léonard de Pise 1175-1250) prouva que tout nombre rationnel, compris entre 0 et 1, pouvait s'écrire sous la forme d'une somme de fractions à numérateur unitaire et proposa la méthode suivante (pour toute fraction distincte de ) : « Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction égyptienne possible, répéter l'opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'opération donne une fraction égyptienne. » Cet algorithme permet l'obtention des dénominateurs n de la décomposition de : Voir programme TI-92 | ||||||||||||||||||||||
Exemple : on retrouve la décomposition de la fraction , ci-dessus. Pour = avec p = 2 ; q = 15, + 1 = + 1 = , d'où n = partie entière(8,5) = 8, - = - = , d'où = + . | ||||||||||||||||||||||
Remarque : cet algorithme est peu performant, car on tombe facilement sur de grands nombres. Explications guidées pas à pas, sous forme d'exercice de recherche en classe, puis rédaction à la maison :
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On obtient : = + + ; mais on a aussi = + + . On peut ainsi trouver : = + + ; mais = + + ; ou encore = + + ; mais = + + ; Développement unique de longueur 3 : = + + . | ||||||||||||||||||||||
2.f. Prolongements et limites de l'algorithme(travail maison)
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2.g. Conjecture d'Erdös--StrausFraction de numérateur 4 Une fraction irréductible a un dénominateur n de la forme 4k – 1 ou 4k + 1. Pour un dénominateur 4k – 1, on a une décomposition en deux fractions unitaires : = + . Dans le cas général, la conjecture d'Erdös énonce que toute fraction irréductible de numérateur 4 a une décomposition de longueur 3 : Pour tout entier n > 1 il existe trois naturels a, b et c tels que
Remarque : contrairement aux fractions égyptiennes on n'impose pas à a, b et c d'être tous différents. Le nombre maximum de fractions obtenues par l'algorithme de Fibonacci dans la décomposition de ,
avec n > 4, est quatre : | ||||||||||||||||||||||
Par exemple 4/7 = 8/14 =(7+1)/14 = + 1/14. = + + = + + | ||||||||||||||||||||||
Étudier = + + + |
mais = + = + + ( fraction de numérateur 3 calculée ci-dessus) | |||||||||||||||||||||
De même décomposer avec l'algorithme… et pourtant :. Allan Swett a confirmé que la décomposition en trois fractions unitaires admet des solutions pour n jusqu'à 1014, mais la conjecture n'a pas été démontrée. | ||||||||||||||||||||||
3. Waclaw Sierpinski (Varsovie 1882 - 1969)Mathématicien polonais, professeur à l'université de Lvov puis de Varsovie, il consacre ses recherches à la théorie des nombres. Il est bien connu par ses travaux :
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Fractales de SierpinskiLe triangle de Sierpinski est obtenu en partant d'un grand triangle équilatéral. On prend les milieux de chacun de ses côtés et on enlève le triangle équilatéral ainsi obtenu. On obtient alors trois nouveaux petits triangles équilatéraux. On recommence alors l'opération précédente, à chacun de ces nouveaux triangles, et ainsi de suite. On obtient alors neuf, vingt-sept, quatre-vingt-un… nouveaux triangles. Le tapis de Sierpinski est obtenu de même en découpant un grand carré en 9 petits carrés et on enlève le carré central. On applique à nouveau le même procédé à chacun des 8 petits carrés restants… et ainsi de suite. Enfin, l'hexagone de Sierpinski est obtenu de même en découpant un grand hexagone en 7 petits hexagones (partager chaque côté en trois parties égales et de part et d'autre de chaque sommet tracer les segments parallèles à la diagonale issue de ce sommet). On enlève l'hexagone central. On applique à nouveau le même procédé à chacun des 6 petits hexagones restants… et ainsi de suite. | ||||||||||||||||||||||
D'après Olivier Orochoir Télécharger la figure GéoPlan hex_sier.g2w | ||||||||||||||||||||||
4. Conjecture de SierpinskiUne conjecture de Sierpinski énonce que toute fraction irréductible de numérateur 5 a une décomposition de longueur 3. Pour tout entier n > 1 il existe trois naturels a, b et c tels que
Remarque : contrairement aux fractions égyptiennes on n'impose pas à a, b et c d'être tous différents. | ||||||||||||||||||||||
4.a. Quelques pistes de rechercheSi le dénominateur n est multiple de 2 : n = 2p si n est multiple de 3 : n = 3p Pour les nombres n premiers de 7 à 37, en s'aidant éventuellement de l'algorithme de la deuxième partie, on a les résultats suivants : | ||||||||||||||||||||||
On remarque : | ||||||||||||||||||||||
4.b. AlgorithmePour n fixé, choisir a égal à la partie entière de . Calculer de 1 en 1 les valeurs de b jusqu'à trouver que
le nombre soit l'inverse d'un entier. Le plus efficace est de calculer de -1 en -1 pour b à partir de la partie entière de jusqu'à a. | ||||||||||||||||||||||
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