Descartes et les Mathématiques Angles inscrits au collègeAngles inscrits égaux et supplémentaires, théorème limite de cocyclicité, milieux d'arcs et bissectrices, quadrilatères inscriptibles. | |
Sommaire1. Angle inscrit - Angle au centre - Propriétés et démonstrations 2. Angle inscrit dans un demi-cercle 3. Bissectrice 4. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques |
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Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc. Propriétés des Anglesde : Winkel Un secteur angulaire est une figure plane obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues. La somme des angles d'un triangle vaut 180° (π radians). L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents. Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90° (les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires). Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180°. Deux angles à côtés parallèles sont égaux s'ils sont de même nature (aigu ou obtus), ou supplémentaires si l'un est aigu, l'autre obtus. Deux angles à côtés perpendiculaires sont égaux s'ils sont de même nature (aigu ou obtus), ou supplémentaires si l'un est aigu, l'autre obtus. Deux droites parallèles découpent sur une sécante des angles alternes internes, alternes externes ou correspondants de même mesure. Les angles internes du même côté ou externes du même côté sont supplémentaires. Les réciproques sont vraies. | |
1. Propriétés de l'angle inscrit et au centreClasse de 3e Soit (c) un cercle de centre O et de rayon r, A et B deux points de ce cercle et M un point variable sur le cercle (c). Les propretés de l'angle inscrit et de l'angle au centre établissent des relations entre les mesures des angles inscrits et des angles au centre interceptant un même arc. Au collège, on étudie ces propriétés pour les angles géométriques. Angle inscritL'angle AMB est inscrit dans le cercle (c) avec son sommet M situé sur le cercle. L'arc AB qu'il intercepte peut être sortant ou rentrant. Dans le second cas, l'angle géométrique est obtus. AÔB est l'angle au centre correspondant à l'angle inscrit. Théorème de l'angle au centre : la mesure de l'angle inscrit est la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Télécharger la figure GéoPlan angle_inscrit.g2w | |
Deux angles inscritsThéorème de l'angle inscrit Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure : AMB = ANB. (N et M d'un même côté par rapport à la corde [AB]). Télécharger la figure GéoPlan angle_inscrit_2.g2w |
Angles inscrits supplémentairesLorsque deux points M et N sont de part et d'autre de la corde [AB], les angles inscrits AMB et ANB sont supplémentaires : AMB + ANB = 180° L'angle au centre correspondant à l'angle inscrit obtus est rentrant, mais la propriété s'énonce de la même façon. Télécharger la figure GéoPlan angle_inscrit_3.g2w |
Corde et tangenteLa propriété des angles inscrits se généralise à l'angle que fait la corde qui sous-tend l'arc avec une tangente. Théorème limite de cocyclicité L'angle inscrit a même mesure que l'angle formé par la corde, qui joint les extrémités de l'arc, avec la partie de la tangente au cercle à l'une des extrémités de la corde, située à l'opposé de l'angle en question par rapport à la corde. Figure interactive dans GeoGebraTube : angle de la corde et d'une tangente |
Théorème limite de cocyclicitéL'angle inscrit BMA a même mesure que l'angle BÂT de la corde [BA] et de la tangente [AT). L'angle inscrit BNA a même mesure que l'angle BÂT’ de la corde [BA] et de la tangente [AT’). Démonstration :
Si H est le milieu de [AB], les angles HÔA et BÂT ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires, ils ont même mesure. L'angle BÂT est la position limite de l'angle inscrit BMA lorsque M « tend » vers A. Figure interactive dans GeoGebraTube : angle de la corde et d'une tangente Réciproque du théorème limite si (, ) = (, ), alors la droite (AT) est tangente au cercle circonscrit du triangle AMB. |
Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centreThéorème de l'angle au centre : l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre correspondant. Démonstration Cas où l'angle inscrit AMB est aigu ; les points A et B de part et d'autre du diamètre (MI) : Soit I le deuxième point de rencontre du cercle (c) avec le diamètre issu de M. Comme le point I est entre A et B, faire l'addition des mesures des angles : Arc capable, voir : angle-rotation WikiPédia : angle inscrit | |
Les Éléments d'Euclide - Théorème 19 - Proposition 21Au cercle, les angles qui sont en une même portion, sont égaux entre eux. Les démonstrations sont dans le livre III des Éléments d'Euclide La proposition 20 prouve que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit correspondant. La proposition 21 ci-dessus, prouve que des angles inscrits interceptant le même arc sont égaux et réciproquement. | |
2. Angle inscrit dans un demi-cercle :Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Cas particulier pour lequel l'angle au centre est plat, et donc l'angle inscrit est droit. Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w | |
3.a. Bissectrice d'un angle inscritSi M est un point variable sur l'arc AB, le point I, intersection de la bissectrice de l'angle inscrit AMB avec (c), est fixe : c'est le milieu de l'arc AB. Réciproquement, si I est le milieu d'un arc AB, et M un point du cercle situé sur le complément de l'arc AB ne contenant pas I, alors la droite (MI) est la bissectrice de l'angle inscrit AMB. Application : Les points d'intersection des bissectrices d'un triangle avec son cercle circonscrit sont les milieux des arcs déterminés par les sommets. Télécharger la figure GéoPlan bissectrice.g2w |
3.b. Problèmes de constructionsConstructions utilisant des configurations connuesCAPES Externe de Mathématiques - Épreuve sur dossier - sujet no 19 du 20 juillet 2006 L'exercice proposé : 3.a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure. 3.b. Démontrer cette conjecture et préciser la position de I. 3.c. Soit (Γ) un cercle de centre O, [AB] une corde de (Γ) et N un point du segment ]AB[. Le travail demandé au candidat : Q.a. Présenter la figure réalisée sur la calculatrice et l'animation permettant de mettre en évidence la conjecture. Q.b. Dégager les propriétés mises en jeu dans la résolution de l'exercice et indiquer à quel niveau on peut le proposer. Q.c. Le candidat rédigera et présentera plusieurs énoncés d'exercices, variés, de constructions de triangles vérifiant des conditions métriques ou géométriques. IndicationsL'exercice proposé par le jury se situait délibérément à un niveau de troisième ou de seconde ; 3.c. Le point C est le deuxième point d'intersection du cercle (Γ) et de la droite (IN). Télécharger la figure GéoPlan construc_triangle.g2w |
4. Quadrilatère inscriptible4.a. Points cocycliquesDéfinitions Des points cocycliques sont situés sur un même cercle. Un quadrilatère est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires. 4.b. Quadrilatère croisé (papillon)Rappel : un quadrilatère ACBD est croisé si les deux diagonales [AB] et [CD] sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave (quadrilatère non convexe). Un quadrilatère croisé est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont de même mesure. ACB = ADB. Les deux autres angles opposés sont aussi de même mesure. Télécharger la figure GéoPlan point_cocycliques.g2w |
4.c. Quadrilatère convexeRappel : un quadrilatère ACBD est convexe si les deux diagonales [AB] et [CD] sont à l'intérieur du quadrilatère. Les angles opposés d'un quadrilatère inscriptible sont supplémentaires : Un quadrilatère convexe est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont supplémentaires. ACB + ADB = 180°. Les deux autres angles opposés sont aussi supplémentaires. Télécharger la figure GéoPlan point_cocycliques2.g2w |
4.d. Éléments d'Euclide - Livre III - Proposition 22Angles orientés au lycée La proposition 22 du livre III montre que les angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle sont égaux à deux droits. Quatre points A, B, C et D sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si on a : (, ) = (, ) (mod π). Voir : théorème de Ptolémée | |
4.e. OrthogonalitéQuatre points A, B, C et D sont placés dans cet ordre sur un cercle (Γ). Le point a est le milieu de l'arc AB, b de l'arc BC, c de l'arc CD et d de l'arc DA. Les droites (ac) et (bd) se coupent en I. Montrer qu'elles sont perpendiculaires. |
Indications : étude de mesures d'angle pour montrer que le triangle Iab est rectangle. La droite (ab) est la bissectrice de BâC, (ac) est la bissectrice de CâD ; (ba) est la bissectrice de BbA et (bd) est la bissectrice de AbD. Télécharger la figure GéoPlan cocy_ortho.g2w |
Deux cercles inscritsLes points J et K sont les centres des cercles inscrits dans les triangles ABD et ACD. Montrer que la droite (bd) est la médiatrice de [JK]. Télécharger la figure GéoPlan cocy_ortho_2.g2w |
Quatre cercles inscritsLes points L et M sont les centres des cercles inscrits dans les triangles BCD et ABC. Télécharger la figure GéoPlan cocy_ortho_3.g2w |
Solution des quatre cercles inscritsLe centre J du cercle inscrit dans le triangle ABD est situé à l'intersection des bissectrices (Da) et (Bd). Dans le cercle (Γ) l'angle ADa est la moitié de l'angle ADB. Cet angle inscrit a même mesure que l'angle inscrit AdB. Dans le cercle de centre d, passant par A, et par D (sur le cercle Γ, le point d est le milieu de l'arc AD), soit J’ l'intersection de ce cercle avec [dB], l'angle au centre AdJ’ est la moitié de l'angle inscrit ADJ’. J’ est aussi sur (Da) : J et J’ sont confondus. Le point J est situé sur le cercle. On montre, de même, que le centre K du cercle inscrit dans le triangle ACD est situé sur le cercle de centre d passant par A. La droite (db), bissectrice de l'angle BdC, est la médiatrice de la corde [JK] (axe de symétrie du triangle isocèle dJK). | |
5. Trapèze isocèleAngles inscrits et trapèzeDeux parallèles coupent un cercle selon un trapèze. Deux droites parallèles (d) et (d’) coupent un cercle (c) en A, B et C, D de telle façon que ABCD soit un trapèze convexe. Montrer que ABI est un triangle isocèle. Indications Les angles inscrits BÂC et BDC ont même mesure. Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele.g2w |
Montrer que le trapèze est isocèleDeux droites parallèles (d) et (d’) coupent un cercle (c), de centre O, en formant un trapèze ABCD. Montrer que ABCD est un trapèze isocèle. Indications ABI est isocèle d'où BÂC = ABD, O, I et J sont alignés sur la droite (HK) médiatrice de [AB] et [CD]. (cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S) Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele_2.g2w |
6. Milieux d'arcs et cordesA, B et C étant trois points situés sur un cercle (c), D est le milieu de l'arc AB et E le milieu de l'arc AC. La droite (DE) coupe la corde (AB) en F et la corde (AC) en G. Démontrer que AF = AG. Indications Les arcs AD et DB sont égaux et on les égalités des mesures des angles inscrits Les angles externes EGC et DFB des triangles EAG et DAF sont égaux à α + β. De même, les angles opposés par le sommet AGF = AFG = α + β. Télécharger la figure GéoPlan mi_corde.g2w | |
7. Triangle inscrit dans 2 cercles sécantsDeux cercles (c) et (c’) de centres distincts I et J sont sécants en A et B. Indication Le triangle ACD a des angles fixes, les mêmes angles que AIJ (ces triangles sont semblables). Étudier les angles inscrits ACB et ADB : Figure interactive dans GeoGebraTube : alignement dans une similitude |
Triangles particuliers– le triangle ACD est équilatéral si chacun des cercles passe par le centre de l'autre (figure ci-contre), – il est isocèle si les cercles sont de même rayon (seconde, voir : alignement avec un point et son transformé par une rotation), – il est rectangle si AIJ est rectangle (les cercles sont orthogonaux) En terminale S, voir l'étude avec une similitude. |
Table des matièresDans d'autres pages du site Triangle rectangle : Bissectrice Rétrolien (backlink) WikiPédia, he: Angle corde tangente |
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