Descartes et les Mathématiques

Euclide et GéoPlan

Huit figures pour l'enseignement secondaire.
Démonstration de Thalès et Pythagore par la méthode des aires.

Euclide - Alexandrie, vers 300 avant Jésus-Christ

Sommaire

La géométrie euclidienne
Les Éléments d'Euclide

I. Définitions

I 31. Parallèle à une droite passant par un point

I 1.   Triangle équilatéral

I 43. Partage d'un rectangle en quatre

II 4. Carré d'une somme

II 5. Gnomon

II 11. Carré et rectangle de même aire

VI 30. Construction de la section dorée :
        couper une ligne droite selon la moyenne raison

Des figures d'Euclide dans d'autres pages du site

I 15.Construction du pentagone régulier

I 17. Mener une ligne droite qui touche un cercle

I 23. Reproduire un angle à la règle et au compas

I 32. Somme des angles d'un triangle

I 35. Théorème de la tringle - Méthode du cisaillement

I 41. Parallélogramme et triangle de même base

I 43. Partage d'un parallélogramme en quatre

I 46. Construction du carré à partir d'un côté

I 47. Démonstration géométrique de Pythagore

         Premier théorème d'Euclide dans le triangle rectangle

II 14. Quadrature du rectangle

III  1.  Retrouver le centre d'un cercle

III 22. Angle au centre et angles inscrits

III 35. Puissance d'un point par rapport à un cercle : théorème d'Euclide

III.    Partage en trois de la diagonale d'un parallélogramme

IV 1. Triangle et cercle inscrits dans un triangle équilatéral

IV 10. Le triangle d'or

IV 11 Construction du pentagone avec un triangle d'or

IV 16. Construction du pentadécagone

VI  2. Thalès : démonstration par la méthode des aires

VI 13. Moyenne proportionnelle

VI Arithmétique : algorithme d'Euclide

Les Éléments d'Euclide

Les treize livres des Éléments d'Euclide constituent une
synthèse remarquable des mathématiques grecques.

Ils ont fondé la méthode synthétique qui, à partir des
propriétés géométriques établies précédemment,
permet de déduire la propriété cherchée.

Toutes les constructions s'y effectuent uniquement
à la « règle et au compas ».

Le texte original des Éléments n'existe pas
et nous est connu que de façon apocryphe.

Euclide par Juste de Gand (15^e siècle)

Mathématiques et sciences

Euclide et GéoPlan
Ce site, très riche et fréquemment actualisé par un enseignant en retraite,
Patrice Debart, concerne les niveaux mathématiques de la 6^e à la terminale.

Les thèmes et les modes opératoires étant passionnants, nous avons choisi
de vous orienter sur l'article concernant Euclide, Thalès et Pythagore qui
mêlent histoire et mathématiques, avec une pointe d'humour parfois…

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pour enrichir en permanence vos ressources !

Info bulle n^o 85 Cafoc de Nantes

La géométrie euclidienne

Euclide avec un compas
L'école d'Athènes, selon Raphaël (Détail - chambre de la Signature, Vatican)

Avant Euclide, les mathématiques grecques
se sont développées sans règle de déduction explicite.
La logique d'Aristote était trop fruste pour fonder les raisonnements.
Le « si… alors… » est une conception trop pauvre du langage
et jusqu'au XIX^e siècle les règles de déduction resteront implicites.

Connaître es Éléments d'Euclide,
cet ouvrage fondamental des mathématiques permet de :
    • rencontrer le vocabulaire « théorème », « axiome », …
    • mettre en oeuvre des démonstrations et raisonnements,
    • traduire en langage moderne et rédiger avec rigueur et précision.

Les axiomes comme l'« unicité d'une parallèle » ou
les « cas d'égalité des triangles » ont été explicités par Euclide et
fournissent un fondement de la géométrie, imparfait certes,
mais sur lesquels les autres résultats reposent solidement.

Avec la méthode synthétique, Euclide a organisé la géométrie
de manière déductive en donnant, à partir des propriétés
géométriques établies précédemment, un raisonnement
pour déduire chaque propriété cherchée.

I. Définitions - Postulats ou demandes

Les Éléments d'Euclide - Livre I - Page 16

1. Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point.

2. Prolonger continûment une ligne droite limitée en ligne droite.

3. Décrire un cercle de tout centre et au moyen de tout intervalle.

4. Tous les angles droits soient égaux entre eux.

Axiomes ou notions communes

Les Éléments d'Euclide -Livre I - Page 17

1. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.

2. Si, à des choses égales, on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.

5. Les doubles du même sont égaux entre eux.

7. Les choses qui s’ajustent les unes aux autres sont égales entre elles.

8. Le tout est plus grand que la partie.

I 31. Parallèle à une droite passant par un point

Les Éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 31

Par un point donné, construire une ligne parallèle à une droite donnée.

L'unicité se déduit du postulat 5 : si une droite, tombant sur deux droites,
fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits,
ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles
sont plus petits que deux droits.

Ce postulat est par la suite plus souvent énoncé sous la forme :
« Par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».

I 1. Triangle équilatéral

Proposition 1 du I^er livre des Éléments d'Euclide

Construire un triangle équilatéral
sur une ligne droite donnée et finie.

EXPOSITION. Soit AB une droite
donnée et finie
(on dirait maintenant un segment [AB]).

DÉTERMINATION. Il faut construire
sur la droite finie AB un triangle équilatéral.

CONSTRUCTION. Du centre A et de l'intervalle AB,
décrivons la circonférence ACD (demande 3) ;
et de plus, du centre B et de l'intervalle BA,
décrivons la circonférence BCE ; et du point C,
où les circonférences se coupent mutuellement,
conduisons aux points A, B les droites CA, CB
(demande 1).

DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle
ACD, la droite AC est égale à la droite AB (définition 15); de plus,
puisque le point B est le centre du cercle BCE, la droite BC est
égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite CA était
égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA, CB est égale
à la droite AB ; or, les grandeurs qui sont égales à une même
grandeur, sont égales entre elles (notion 1) ; donc la droite CA
est égale à la droite CB ; donc les trois droites CA, AB, BC
sont égales entre elles.

CONCLUSION. Donc, le triangle ABC (définition 24) est
équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB.
Ce qu'il fallait faire.

Rappels

Demande 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle
quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Définition 15. Un cercle est une figure plane, comprise
par une seule ligne qu'on nomme circonférence ;
toutes les droites, menées à la circonférence d'un des
points placés dans cette figure, étant égales entre elles.

Un triangle est une figure trilatère
Définition 24. Parmi les figures trilatères, le triangle
équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.

Construction avec un logiciel de géométrie :
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A et B et de rayon AB
(cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A),
tracer C, un des points d'intersection des deux cercles,
tracer les segments [BC] et [AC].

Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle équilatéral

Construction à la « règle et au compas » : le triangle équilatéral

I 43. Partage d'un rectangle en quatre

Les Éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 43

Dans tout parallélogramme, les compléments des
parallélogrammes autour de la diagonale sont égaux entre eux.

Classe de quatrième

I est un point variable sur la diagonale [BC] d'un rectangle ABDC.

On forme deux rectangles. en menant, par I, les parallèles aux côtés du rectangle

Démontrer que les aires des deux rectangles hachurés sont égales.

Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer
l'aire d'un rectangle, mais il sait trouver la moitié de cette aire :
l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.

Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès
dans les triangles rectangles BIF et CIE permet d'écrire : IF/IE = IB/IC.

De même (BD) étant parallèle à (AC), la propriété de Thalès
dans les triangles BIH et CIG permet d'écrire : IH/IG = IB/IC.

Par transitivité IF/IE = IH/IG.

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
IF × IG = IE × IH.
Aire(IHDE) = Aire(AFIG).

Voir cas de parallélogrammes : calcul d'aires

Voir aussi : Figure interactive dans GeoGebraTube :
        Aire minimale de deux carrés dans un carré

        Aire minimale de deux carrés dans un carré

II 4. Identité remarquable : carré d'une somme

Les Éléments d'Euclide - Live II - Proposition 4

Si une ligne droite est coupée comme on voudra, le carré de
la droite entière est égal aux carrés des segments et à deux
fois le rectangle contenu sous les deux segments.

Dans le carré ABDC, on a la démonstration, par les aires,
de l'identité remarquable :

(a + b)² = a² + b² + 2ab.

II 5. Gnomon

Le gnomon est un mot latin, d'origine grecque, qui désigne
l'aiguille de cadran solaire, et par extension le cadran solaire.

En Géométrie, avec Euclide, dans un parallélogramme,
l'un quelconque des parallélogrammes décrit autour du
diamètre avec ses deux compléments est appelé gnomon.

Le gnomon d'un parallélogramme est donc la figure
à ajouter pour obtenir un nouveau parallélogramme
semblable au précédent.
Lorsque le parallélogramme est un rectangle,
le gnomon est alors une sorte d'équerre.

Pour un point I du diamètre [BC] d'un parallélogramme ABDC,
le parallélogramme AFIG est dit décrit autour de ce diamètre.
Ses compléments sont les parallélogrammes FBHI et GIEC
(de même aire).
Ces deux figures, avec le parallélogramme IHDE forment,
dans leur ensemble, le gnomon (hachuré) FBDCGI du
parallélogramme AFIG.

Voir extension aux figures semblables : nombre d'or

Papyrus trouvé à Oxyrhynque

Extrait d'Euclide le Stoichéiôtês de Bernard Vitrac

Oxyrhynque est une cité située au bord du Nil à une soixantaine
de kilomètres en amont du Caire. On y a trouvé de nombreux
papyri grecs, dont ce fragment des Éléments d'Euclide.

Le diagramme est tracé à main levée et sans lettrage

Remarquer l' écriture “continue” : les mots ne sont pas séparés
et il n’y a ni ponctuation, ni accentuation.

II 11. Carré et rectangle de même aire
Section dorée

Les Éléments d'Euclide - Livre II - Proposition 11

Couper une ligne droite telle le rectangle de la toute
et de l'une des parties, soit égal au carré de l'autre partie.

Sur un segment [AB] de longueur a, trouver un point G tel que
le carré de côté AG ait même aire que le rectangle de longueur a et de largeur BG.

Construction

Après avoir construit le carré ABCD de côté [AB], on note E le milieu de [AD].
Le cercle (c₂) de centre E et de rayon EB coupe (AD) en F du côté de A.
Le cercle (c₃) de centre A et de rayon AF coupe [AB] en G.

On complète avec le point H le carré de côtés [AF] et [AG].
La droite (GH) coupe (DC) en I.

La carré AGHF a même aire que le rectangle GBCI.

Voir aussi : II 14. quadrature du rectangle

Solution algébrique : une équation du second degré

Avec AB = BC = a, posons AG = x, alors GB = a - x.
L'égalité des aires donne x² = a(a - x),
soit l'équation x² + ax - a² = 0 qui a pour solution positive :

x = a.

IH = a, on trouve le nombre d'or.

VI 30. Construction de la section dorée

VI 30.a. Partage d'un segment
en « extrême et moyenne raison »

Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrême raison » :
étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A
forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M
forment une section dorée.

Construction

On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB)
en A un point C tel que AC = AB.

On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c₂) de centre I et de rayon
IC coupe (AB) en D du côté de A.
Le cercle (c₃) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.

Preuve par le calcul

On vérifiera facilement, en prenant AB comme unité (AB = 1)
que les résultats font intervenir le nombre d'or :
AI = ; CA = AB = 1 ; DI = IC = ;
AM = DA = DI - AI = - = = = φ - 1 ≈ 0,618 ;
MB = AB - AM = 1 - = 2 - φ ≈ 0,382 ;
Nombre d'or : DB = DI + IB = + = φ ≈ 1,618.

Inverse du nombre d'or :
MA = ; = φ ; = MB × = (1 - ) × φ = φ - 1 = = .
= d'où = φ : le point M réalise la section dorée du segment [AB].

Remarque : le cercle (c₃) coupe le segment [AC]
en P qui réalise la section dorée de ce segment.

VI 30.b. Couper une ligne droite selon la moyenne raison

Les Éléments d'Euclide - Livre VI - Proposition 30

Numérisation de la géométrie

Reprise de la construction avec deux carrés

Placer deux points A et B, tels que AB = 1.

Après avoir construit le carré ABCD
de côté [AB], on note E le milieu de [AD].
Le cercle (c₂) de centre E et de rayon EB
coupe (AD) en F du côté de A.
Le cercle (c₃) de centre A et
de rayon AF coupe [AB] en G.

On complète avec le point H le carré
de côtés [AF] et [AG].
La droite (GH) coupe (DC) en I.

Le point G partage le segment [AB] en moyenne raison.
Remarque : les points M et F partagent le segment [AD]
en moyenne et extrême raison.

Calculs algébriques

Le carré AGHF a pour côté AG = , son aire est AG² = .

Le rectangle GBCI a pour longueur CB = 1
et pour largeur GB = AB - GA =1 - = 2 - φ.

Son aire est 2 - φ.

Il a été démontré dans la page suites que = 2 - φ.
Le rectangle GBCI et le carré AGHF ont la même aire :
GB × AB = AG × AG.

AB/AG = AG/GB : on a bien une section dorée du segment [AB].

Table des matières

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