Descartes et les Mathématiques

Le triangle au collège
Milieux et parallèles

Six exercices de géométrie plane avec un logiciel de géométrie dynamique
- Construction de triangles.

Sommaire

1. Triangles particuliers

2. Somme des angles d'un triangle

3. Droite des milieux

4. Construction de deux triangles rectangles autour de BOA

5. Angles et triangles

6. Triangle rectangle isocèle

7. Droites parallèles

8. Trouver un triangle isocèle

9. Triangle bisocèle

        Tr. isocèles

0. Triangle

Définition

Un triangle est une figure plane, formée par trois points appelés sommets.
Les côtés sont les segments qui joignent les sommets deux à deux.

Triangle plat

Un triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés.

Par la suite, nous considérons des triangles non plats.

1. Triangles particuliers

Classe de sixième
sauf Thalès et Pythagore pour le triangle rectangle en troisième

Triangle isocèle

Un triangle isocèle
a deux côtés de
même longueur.

Le troisième côté
s'appelle la base.

Thalès a découvert
que dans un triangle
isocèle les angles à
la base sont égaux.

La médiatrice de la
base est axe de symétrie du triangle.

Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle isocèle

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral
a ses trois côtés de
même longueur,
les trois angles sont
égaux et mesurent
60 degrés.

Les trois médiatrices
sont axes de symétrie
du triangle.

Figure interactive
dans GeoGebraTube :
triangle équilatéral

Triangle rectangle

Un triangle rectangle
a un angle droit,
les deux autres angles
sont aigus et
complémentaires.

Le plus grand côté
est l'hypoténuse :
c'est le côté opposé
à l'angle droit.

Les petits côtés adjacents à l'angle droit sont appelés cathètes.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit
dans un demi-cercle et réciproquement.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs
des côtés de l'angle droit est égale au carré de la
longueur de l'hypoténuse et réciproquement.

Triangle quelconque

Par nature, un triangle est quelconque.

Un triangle est dit « quelconque » s'il n'est ni rectangle,
ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral).

Un triangle peut posséder ou non des propriétés de triangles
particuliers. Si on précise triangle quelconque, on se place
dans un cas général où on peut penser qu'il n'est pas plat,
que les côtés sont inégaux et qu'il n'y a pas d'angle droit.

Ceci n'exclut pas les cas particuliers où, par abus de langage,
le triangle quelconque serait plat, ou rectangle, ou isocèle,
ou encore équilatéral.

Au début d'un exercice, on peut écrire :
  — Soit un triangle ABC quelconque ...
Ce qui n'empêche pas de trouver en
conclusion un triangle particulier.

Triangle scalène

Un triangle qui n'est pas isocèle est dit « scalène ».
Un triangle scalène peut aussi être rectangle.

Variables dans un triangle

Mesures dans un triangle

Arrondi

Avec les angles BAC = 87°, ABC = 33°, ACB = 59°,
la somme de ces angles est égale à 179°.

Pas d'erreur, mais un souci d'arrondi : les calculs étant faits
« au degré près », le logiciel arrondi les trois angles
par défaut et on perd un degré pour l'arrondi de la somme.

Avec un calcul au dixième les angles BAC = 87,5°,
ABC = 33,5° sont arrondis par excès et ACB = 59,0°
par défaut : la somme est bien arrondie à 180,0°.

Périmètre du triangle

Somme des côtés d'un triangle :

Le périmètre d'un triangle est égal à la somme des longueurs des côtés du triangle.

Le périmètre du triangle ABC est p = AB + BC + CA.

2. Somme des angles d'un triangle

Classe de cinquième

La somme des angles géométriques d'un triangle
est un angle plat : + + = 180°.

Pour un triangle isocèle en A, = donc = 180 - 2
et = = 90 - : les angles égaux sont aigus.
Pour un triangle équilatéral = = = = 60°.
Un triangle a au moins deux angles aigus.
Si le troisième angle est :
  • droit, on parle de triangle rectangle  :
       pour un triangle rectangle en A, = 90°, + = 90° :
       les deux angles aigus sont complémentaires.
  • obtus, on parle de triangle obtusangle :
       un triangle admet au maximum un angle obtus :
       si > 90°, + < 90°, les deux autres angles sont aigus.
  • aigu, on parle de triangle acutangle : les trois angles sont aigus.

2.a. Démonstration des « anciens Grecs »

Le résultat donnant
la somme des angles
d'un triangle est
connu des anciens

Il aurait été découvert
par Thalès et les
disciples de Pythagore
auraient rédigé un
démonstration.

ABC est un triangle et [AH] une hauteur (si le triangle est
obtusangle, on choisira la hauteur issue du sommet de l'angle
obtus, [BC] étant alors le plus grand côté).
On peut inscrire le triangle dans un rectangle BCED.

Dans le rectangle BHAD, les angles BAH et ABD sont de même
mesure (angles alternes internes par rapport à la diagonale [AB]
et les côtés parallèles [AH] et [BD]).

De même HAC = ECA.

La somme des angles du triangle
        ABC + BAC + ACB = ABC + BAH + HAC+ ACB.
Avec les angles alternes internes, on trouve que cette somme est
ABC + ABD + ECA+ ACB = CBD + ECB, soit 2 angles droits ou 180°.

2.b. Figure des disciples de Pythagore

Vers le V^e siècle avant J.-C.

On mène par A une parallèle (d) à (BC).
La somme des angles du triangle est égale à l'angle plat en A.

Démonstration des pythagoriciens

La symétrie centrale, et la caractérisation angulaire du
parallélisme qui en découle, permet de démontrer que la
somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés.

2.b. On mobilise deux fois le même pas de démonstration, qui
consiste à utiliser les symétries centrales de centre I et J
milieux de [AC] et de [AB], transformant la droite (BC) en (d),
pour établir les égalités d'angles CBA = C’ÂB et ACB = CÂB’
et on conclut avec l'angle plat
C’ÂB’ = C’AB + BÂC + CÂB’ = CBA + BÂC + ACB = + + = 180°.

2.c. Dans la figure d'Euclide ci-dessous, en traçant la parallèle
au troisième côté, on montre que l'angle extérieur est égal à
la somme de deux angles, pour les angles correspondants
et pour les angles alternes-internes.

2.d. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux,
voir : construction par pliage

2.c. Figure d'Euclide

Livre I, proposition 32 des éléments
III^e siècle avant J.-C.

L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme
des deux angles intérieurs non adjacents.

Calcul avec des angles orientés

Classe de seconde

La somme des angles orientés
(, ) + (, ) + (, ) est un angle plat.

En effet, par translation de vecteur on a :
(, ) = (, )
et par symétrie de centre le milieu de [AC] :
(, ) = (, ).

D'où la relation de Chasles :
(, ) + (, ) + (, ) = (, ).

Les éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 32

Blaise Pascal

Étienne Pascal décréta que son fils n'apprendrait pas les
mathématiques avant l'âge de 15 ans, et fit disparaître les
livres de mathématiques de sa maison.

Cependant Blaise commença à travailler seul en géométrie
à l'âge de 12 ans. Il découvrit que la somme des angles d'un
triangle valait deux angles droits et, quand son père le
découvrit, il se ravisa et lui permit de lire les Éléments d'Euclide.

3. Droite des milieux

Classe de quatrième

Premier théorème des milieux

Théorème direct de la droite des milieux

Si une droite passe par les milieux de deux côtés
d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB]
et J le milieu [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC).

Deuxième théorème des milieux

Théorème réciproque

Si une droite parallèle à un côté d'un triangle
passe par le milieu d'un autre côté alors
elle passe par le milieu du troisième côté.

Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [AB].
La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.
J est alors le milieu [AC].

Troisième théorème des milieux

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB]
et J le milieu [AC], alors IJ = BC.

Théorème direct

Formulation des deux énoncés du théorème direct :

Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés
d'un triangle, alors il est parallèle au troisième côté,
et sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Démonstration du théorème de la droite des milieux

Création d'un point auxiliaire K qui fait apparaître
deux parallélogrammes : KBJA et KBCJ.

Soit I le milieu de [AB] et J le milieu [AC].
Tracer le symétrique K de J par rapport à I.
I est alors le milieu de [KJ] et IJ = KJ.

Comme par hypothèse I est le milieu de [AB], les diagonales
de KBJA se coupent en leur milieu commun I,
donc KBJA est un parallélogramme.

Les côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même
longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB],
donc KBCJ, quadrilatère non croisé, est aussi un parallélogramme.

Par les propriétés de ce parallélogramme, les côtés opposés
[KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle
à (BC) ce qui prouve le premier théorème des milieux.

On sait que IJ = KJ. Comme les côtés opposés du
parallélogramme sont égaux, de KJ = BC on déduit le
troisième théorème des milieux :
IJ = BC.

Démonstration du deuxième théorème des milieux

Le deuxième théorème des milieux est la réciproque du premier
et est un cas particulier du théorème direct de Thalès
l'unicité de la parallèle à (BC) passant par I, on en déduit que
la droite des milieux est confondue avec cette parallèle :
elle coupe (AC) au milieu J de [AC].

Autre démonstration par la méthode des aires

Méthode des aires : démonstration utilisant la propriété
d'Euclide : « les triangles qui ont la même hauteur sont l'un
relativement à l'autre comme leurs bases ».

Montrer que AJ = JC.

D'après la propriété du trapèze, les triangles IBC et JBC ont
la même aire.
Cette aire est égale à la moitié de l'aire du triangle ABC.
Donc, l'aire du triangle ABJ (complément dans ABC du
triangle CBJ) est aussi égale à la moitié de celle de ABC
et donc égale à l'aire du triangle CBJ.

En revenant à l'expression de l'aire d'un triangle,
comme les deux triangles ABJ et CBJ ont la hauteur BM,
issue de B, en commun,
Aire(ABJ) = (BM × AJ) est égal à Aire(CBJ) = (BM × JC).
Les longueurs AJ et JC sont alors égales et J est le milieu de [AC].

WikiPédia : Théorème des milieux

4. Construction de deux triangles rectangles

Construction à l'extérieur d'un triangle BOA.

À l'extérieur d'un triangle BOA on construit
deux triangles rectangles :
  – Le triangle OAC, ayant pour hypoténuse le côté [OA],
        tel que le sommet C de l'angle droit soit situé sur la
        bissectrice extérieure de OAB.
  – Le triangle OBE, ayant pour hypoténuse le côté [OB],
        tel que le sommet E de l'angle droit soit situé sur la
        bissectrice extérieure de OBA.

Que dire de [EC] ?

Figure

Les triangles rectangles OAC et OBE sont inscrits
dans les cercles de diamètres [OA] et [OB].

Le deuxième point I d'intersection de ces cercles
est le pied de la hauteur de BOA, issue de O.

Indications : triangles rectangles extérieurs à BOA

Prolonger (OC) et (OE), en D et F, jusqu'à la droite (AB).

[AC] est la hauteur et la bissectrice issue de A du triangle OAD.
Les angles DAC et CAO des triangles rectangles CDA et COA
sont de même mesure.

Les deux autres angles aigus CDA et COA sont égaux :
OAD est isocèle.
De même le triangle OBF est isocèle.
D'où DF = DA + AB + BF = OA + AB + BO est égal au
périmètre du triangle OAB.

(EC) est une droite des milieux du triangle ODF et contient
les milieux A’ et B’ de [OB] et [OA].
Elle est parallèle à (AB) et [EC] est de longueur égale à la
moitié du périmètre DF du triangle OAB.

Autre calcul : avec CE = CB’ + B’A’ + A’E,
les rayons des cercles sont :
CB’ = OA et A’E = OB.
(B’A’) est une droite des milieux du triangle BOA,
d'où B’A’ = AB.
CE = (OA + OB + AB) est bien égal à la moitié du périmètre de BOA.

Autre figure : voir diamètres de deux cercles sécants

5. Angles et triangles

OBC est un triangle équilatéral.
OAC est un triangle rectangle (B milieu de l'hypoténuse).
OCD est un triangle rectangle isocèle en C.

Trouver les mesures des angles de cette figure.

6. Triangle rectangle isocèle

ABCD est un carré.
E est le symétrique de C par rapport à D.
I est le milieu de [BC], J est le milieu de [DE].

Montrer que le triangle AIJ est rectangle isocèle en A.

7. Deux droites parallèles

Soit ABC un triangle et son cercle circonscrit (c) de centre O.
A’ est le point diamétralement opposé à A sur le cercle (c).
La hauteur (AH) issue de A du triangle ABC
recoupe le cercle (c) au point D.

Montrer que la droite (DA’) est parallèle à (BC).

Indication

Le triangle rectangle ADA’ est inscrit dans un demi-cercle.

8. Trouver un triangle isocèle

Classe de quatrième, troisième ou seconde

ABC est un triangle,
M un point du segment [AB],
la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.

Où doit-on placer le point M pour que le triangle BMN
soit isocèle en M ?

Le point N est sur la bissectrice de l'angle ABC.

9.a. Triangle bisocèle

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé,
par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.

Triangle isocèle rectangle

Ce découpage
de ABC en deux
triangles isocèles
est le seul cas où
les angles aux
sommets (aigus
au sens large)
sont adjacents
sur un même côté
du triangle ABC.

Trouver un autre triangle bisocèle

Un raisonnement simple sur
les angles, par exemple
l'angle A, nous permet une
recherche avec un logiciel
de géométrie dynamique.

Dans un triangle isocèle ABC,
de base [BC], si une sécante
(BD) le partage en deux
triangles isocèles, un des
triangles aura pour base
[AB], l'autre pour base [CD].

Si D est le point d'intersection
de la médiatrice de [AB] avec [AC], ABD est un triangle isocèle
d'angles α = BÂC = ABD.

Le supplément de l'angle au sommet est BDC = 2α.
La médiatrice de [CD] coupe (BC) en B’.

Il est possible de faire une recherche en déplaçant le point A,
afin que le point B’ coïncide avec le sommet B.

Triangle d'or

Solution pour α = 36°

Le triangle d'or comme solution :

ABC et BCD sont des triangles
d'or d'angles 36° et 72°.

ABD est un triangle d'argent
d'angles 108 ° et 36°.

Indications

Soit ABC un triangle isocèle de base
[BC] et d'angle à la base ABC = 2α (α > 0) et une
bissectrice qui coupe le côté opposé en D.

Si la bissectrice est issue du sommet A, c'est aussi la
médiatrice et (AD) partage le triangle ABC en deux triangles
rectangles isocèles ADB et ADC. Les angles aigus sont de 45°.
L'angle en A est de 90° et le triangle ABC est rectangle isocèle.

Si la bissectrice (AD) est issue d'un des sommets de la base,
B par exemple, le triangle BDC doit être isocèle.
L'angle BDC est alors égal à α ou à 2α.

α est une valeur impossible :
en effet, les droites (AD) et (AB) déterminant deux angles
alternes-internes égaux à α par rapport (BD) seraient
parallèles, ce qui est contradictoire avec l'existence du sommet A.

Si BDC = 2α alors la somme des angles du triangle BDC
est 5α = 180°, ce qui donne un angle α = 36°.
BDC est alors égal à 72°, c'est aussi l'angle extérieur de ABD,
angle égal à ABD + BÂD, d'où BÂD = ABD = 36°,
ABD est aussi isocèle. Le triangle ABC est un triangle d'or.

Conclusion : il n'y a que deux types de triangles bisocèles :
le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.

WikiPédia : triangle isocèle

9.b. Tr. isocèles

À partir du centre du cercle circonscrit d'un triangle
acutangle, on peut le partager en trois traits,
en trois triangles isocèles.
Mais il n'est pas toujours possible de diviser, d'un seul trait,
un triangle en deux triangles isocèles.
Quels sont les triangles isocèles que l'ont peut partager
en deux tr. isocèles ?

Indications

Ci-dessus deux cas où la sécante est une bissectrice du triangle :
ce sont les triangles bisocèles.
Une recherche analogue permet de trouver ci-dessous deux
autres formes de tr. isocèles où les sécantes sont des trisectrices.

Trouver un tr. isocèle

Comme ci-dessus, explorer le cas
où un des triangles isocèles aura
pour base [AB], l'autre pour base [BD].
Si D est le point d'intersection de la
médiatrice de [AB] avec [AC],
ABD est un triangle isocèle d'angle
s α = BÂC = ABD.

Le supplément de l'angle
au sommet est BDC = 2α

La médiatrice de [BD] coupe (AC) en C’.

La trisectrice (BD) partage le triangle ABC’,
d'angles α et 3α, en deux triangles isocèles.

Recherche d'un triangle isocèle :
déplacer le point A, de telle sorte
que le point C’ coïncide avec le sommet C.

Trisection d'un angle de la base

Angle en A égal à de l'angle plat,
soit α =  radians.

Le triangle solution ABC,
d'angles et γ = ,
est partagé en deux triangles
isocèles :

  – d'angles et pour l'un,
  – et pour l'autre.

Trisection de l'angle au sommet

Cas où un des
triangles isocèles
aura pour base [AB],
l'autre pour base [AD].

Si D est le point
d'intersection de la
médiatrice de [AB]
avec [BC], ABD est un triangle isocèle d'angles β = ABC = BÂD = ABD.
Le supplément de l'angle au sommet est ADC = 2β.
La médiatrice de [AD] coupe (BC) en C’.

La trisectrice (AD) partage le triangle ABC’, d'angles β et 3β,
en deux triangles isocèles.

Recherche d'un triangle isocèle : déplacer le point A,
pour que C’ coïncide avec le sommet C.

Triangle d'argent

La sécante trisecte
l'angle BÂC de 108°.
β = ABC = ACB = 36°.
ABC et DAB sont des
triangles d'argent, CAD
est un triangle d'or.

Conclusion

Il existe quatre formes de tels tr. isocèles :
  – deux types de triangles bisocèles, partagés par une bissectrice :
triangle d'or et demi-carré ;
  – deux autres types de triangles, partagés par une trisectrice :
le triangle d'argent et le triangle isocèle d'angle 180/7 degrés.

Table des matières

Dans d'autres pages du site

Triangles en seconde

Triangles rectangles

Triangles équilatéraux

Aire du triangle

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