Descartes et les Mathématiques GéoPlan en quatrièmeSix exercices de géométrie dynamique plane. | |
Sommaire1. Médianes et centre de gravité 2. D'un triangle équilatéral à un triangle rectangle 3. Diamètres de deux cercles sécants : alignement - cocyclicité - concours |
Dans d'autres pages du site Retrouver un triangle à partir de droites remarquables Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds Lieux géométriques du milieu d'un segment Constructions géométriques de tangentes au cercle |
1. Médianes et centre de gravitéLes médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant. Voici deux démonstrations du concours des médianes en classe de quatrième : | |
Parallélogramme de centre le centre de gravitéSoit G le point d'intersection des médianes [BB’] et [CC’] d'un triangle ABC. Montrer que IJB’C’ est un parallélogramme. En déduire que le point G est situé aux des médianes [BB’] et [CC’]. De même, en étudiant le parallélogramme IA’B’K où K est le milieu de [AG], on montre que les médianes [AA’] et [BB’] sont concourantes en un point situé à leurs . Ce point situé aux de [BB’], est donc le point G. Les trois médianes sont concourantes en ce même point G, centre de gravité du triangle. Télécharger la figure GéoPlan medianes3.g2w Autres méthodes Hexagone aux côtés opposés deux à deux parallèles, Méthode des aires, voir : aire du triangle | |
Partage en trois de la diagonale d'un parallélogrammeABCD est un parallélogramme. Les points G et J partagent la diagonale [AD] du parallélogramme ABCD en trois segments égaux. Démonstration De même DJ = DO = AD. Voir la figure d'Euclide : tiers de la diagonale d'un parallélogramme Télécharger la figure GéoPlan medianes4.g2w | |
2. D'un triangle équilatéral à un triangle rectangleConstruire un triangle équilatéral basé sur le rayon d'un cercle, puis basé sur le diamètre, construire le triangle équilatéral double à l'aide d'un triangle rectangle d'angles aigus 60° et 30°. Où l'on retrouve la tangente à un cercle. À partir de deux points A et B, construire un triangle équilatéral ABC. Le point C est à l'intersection du cercle (c) de centre A passant par B et du cercle (c’) de centre B passant par A. Triangle rectangle Le triangle ACD, inscrit le demi-cercle de diamètre [AD], est rectangle en C. Si a est la longueur d'un côté du triangle équilatéral, L'aire du triangle isocèle BCD est égale à l'aire du triangle équilatéral ABC (bases de même longueur a et même hauteur CH, où H est la projection, sur la droite (AB), du point C). Grand triangle équilatéral Le triangle rectangle ACD est la moitié du triangle équilatéral ADE, où E est le symétrique de A par rapport à C. Tangente Cette figure permet de construire, sans équerre, la droite (CD), tangente en C au cercle (c) ; voir : cercle au collège Télécharger la figure GéoPlan tr_equi_rectangle.g2w | |
3. Diamètres de deux cercles sécantsAlignement - cocyclicitéAlignement : trois points B, E et F sont alignés si les droites (BE) et (BF) sont perpendiculaires à une même troisième. Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts I et J sont sécants en A et B. Alignement : les points E, B et F sont alignés. Le triangle ABE est inscrit dans un demi-cercle, les droites (AB) et (BE) sont perpendiculaires. Cocyclicité : les points E, C, D et F sont cocycliques Le triangle ECA est inscrit dans un demi-cercle, les droites (EC) et (CA) sont perpendiculaires. De même, le triangle ADE est rectangle en D. Les quatre points E, C, D et F, inscrits dans le demi-cercle de diamètre [EF], sont cocycliques. ConcoursMontrer que les droites (AB), (EC) et (FD) sont concourantes. Indications : configuration des hauteurs d'un triangle Terminale S : la similitude de centre A transformant E en F, transforme C en B et B en D. Le cercle (c) a pour image (c’). Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w Autre figure : voir construction de deux triangles rectangles autour de BOA Voir deux cercles sécants Problème d'alignement, voir aussi : deux carrés | |
4. La ligne d'horizonLa plate forme du phare de la Hague (près de Cherbourg) est située à 52 mètres au-dessus de l'eau. Jusqu'à quelle distance un observateur, placé sur cette plate forme, peut-il espérer apercevoir un objet au ras de l'eau (par beau temps et mer calme) ? Cette situation (problème de la ligne d'horizon) s'appuie sur la courbure de la surface de la sphère terrestre. Un travail préalable d'explicitation peut aider à bien appréhender le problème, avec une première schématisation « naïve ». La modélisation proprement dite fait appel à la représentation de la sphère par un de ses grands cercles et fait donc passer de l'espace au plan. La longueur cherchée est la longueur de la tangente au cercle, issue du sommet S (P est le pied du phare). Le passage de la première représentation à la seconde est une démarche délicate qui peut nécessiter l'intervention de l'enseignant. C'est surtout l'occasion de développer la D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle SOH rectangle en H, SH2 = OS2 − OH2. Deux directions d'exploitation se présentent : 1 - Le rayon de la sphère terrestre est approximativement de 6400 km, d'où le calcul à mener : 2 - Cette égalité peut être transformée en SH2 = (R+h)2 − R2, qui peut conduire à un travail, plus ambitieux mais accessible sur le plan du calcul, sur la transformation d'une expression algébrique. Nous obtenons aussi une expression qui permet d'obtenir la distance d'horizon pour n'importe quel phare (ou gratte-ciel ou aéronef !). La possibilité de faire varier h permet aussi de basculer naturellement dans le domaine des fonctions. Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e et 3e - Géométrie au collège | |
5. Trouver un milieuDans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et I et J des points de [AC] tels que AI = IJ = JC = AC. La droite (IM) coupe (BC) en K. Montrer que B est le milieu de [KC]. | |
6. Deux cerclesSoit le cercle (c) de centre B et de diamètre [AD] et le cercle (c’) de diamètre [AB]. F est un point de (c). La droite (AF) coupe (c’) en E. Montrer que E est le milieu de [AF]. | |
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