Descartes et les Mathématiques

Le parallélogramme au collège

Dessiner un parallélogramme, théorème de Varignon.

Quadrilatère convexe, concave, croisé

Un quadrilatère ABCD est un polygone qui a quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
Les points A et C d'une part ; B et D d'autre part, sont les sommets opposés du quadrilatère.
Les diagonales [AC] et [BD] sont les segments qui joignent deux sommets opposés.

Un quadrilatère est convexe si les deux diagonales sont à l'intérieur du quadrilatère (le parallélogramme est convexe).
Un quadrilatère est concave si (au moins) une des diagonales est à l'extérieur du quadrilatère. Il est « non convexe ».
Les deux diagonales d'un quadrilatère croisé sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave (papillon).

Propriétés du parallélogramme

En classe de cinquième, les élèves doivent connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme.

En privilégiant les transformations, on définit un parallélogramme comme quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est son centre de symétrie (et son centre de gravité).
La symétrie centrale permet de justifier des propriétés caractéristiques équivalentes du parallélogramme que les élèves doivent connaître :

Propriétés caractéristiques du parallélogramme

Les propriétés suivantes d'un quadrilatère convexe sont équivalentes et définissent chacune un parallélogramme :

  • Les côtés opposés sont parallèles deux à deux,
  • le quadrilatère est convexe et les côtés opposés sont de même longueur, deux à deux,
  • les diagonales se coupent en leur milieu,
  • ABCD est un parallélogramme si = ,
  • le quadrilatère est convexe et les angles opposés ont la même mesure deux à deux,
  • les angles consécutifs sont deux à deux supplémentaires (leur somme fait 180°).

Les diagonales partagent le parallélogramme en quatre triangles de même aire.

Figure interactive dans GeoGebraTube : parallélogramme

Contre-exemple montrant l'importance de la convexité : antiparallélogramme, quadrilatère croisé ayant ses côtés opposés de même longueur et ses angles opposés de même mesure.

Règle du parallélogramme

Dans tout parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des quatre côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des longueurs de ses deux diagonales.

Dans un parallélogramme ABCD, on a l'identité : 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

Démonstration vectorielle:
En effet ||| + ||² + ||| - ||² = 2(|||||² + ||||² )

mais ||| + ||² + ||| - ||² = |||||² + ||||²|

donc 2(|||||² + ||||² ) = |||||² + ||||²|

Autre démonstration avec le théorème de la médiane du triangle ABD :
AB² + AC² = 2AO² + BD²/2, la règle s'obtient en multipliant par 2 cette égalité.

Translation, vecteur et parallélogramme

En classe de seconde, sera faite la liaison entre parallélogramme, translation et vecteur :

On peut définir la translation à partir du parallélogramme : dire que le point M’ est l'image du point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme.
Définir le parallélogramme à partir de la translation : ABCD est un parallélogramme si la translation qui transforme A en B, transforme D en C.

On peut définir le vecteur à partir du parallélogramme : = si ABCD est un parallélogramme.
Définir le parallélogramme à partir de vecteur : ABCD est un parallélogramme si = .

Au collège, comme au lycée, on ne parle plus de classe d'équivalence de bipoints.

1.A. À partir de trois sommets

Dessiner un parallélogramme à partir de trois sommets

Le but de ce chapitre est de construire des quadrilatères qui gardent leurs propriétés lorsque l'on déplace leurs sommets. En général, ces figures s'obtiennent à partir de trois points A, B et D. L'ordinateur calcule la position du point C (point lié qui ne peut pas être déplacé).

Avec la géométrie dynamique, placer trois points A, B et D, tracer les segments [AB] et [AD], et trouver le point C qui complète le parallélogramme en utilisant une des quatre méthodes ci-dessous correspondant aux définitions proposées plus haut.

1.A.a. Avec le parallélisme

Tracer un parallélogramme en utilisant le parallélisme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

À partir de trois points A, B et D non alignés, tracer les parallèles à (AB) passant par D et à (AD) passant par B,
nommer C le point d'intersection de ces deux parallèles..
Tracer le parallélogramme ABCD et les diagonales qui se coupent en O.

1.A.b. Tracer un parallélogramme avec le compas

Méthode la plus précise avec papier et crayon

Un parallélogramme est un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés ont la même longueur.

Dans le menu numérique > calcul géométrique, nommer r₁ la longueur AB et r₂ la longueur AD. Tracer les cercles de centres D de rayon r₁ et de centre B de rayon r₂. C est le point d'intersection de ces deux cercles situé dans l'angle BÂD.

1.A.c. Avec une translation

Tracer un parallélogramme avec une translation (lycée)

La translation qui transforme A en B, transforme D en C.

En classe de seconde, utiliser la définition :
ABCD est un parallélogramme si = .

Avec le menu point>point image renseigner les points dans la fenêtre GéoPlan ci-dessus.

Commandes GéoPlan
Déplacer les points A, B ou D et vérifier que ABCD reste bien un parallélogramme.

Prototype

GéoPlan permet d'automatiser cette dernière construction avec un prototype, permettant de construire le 4^e sommet d'un parallélogramme.

À partir de trois points A, B et C, le prototype trace le point D tel que ABCD soit un parallélogramme avec l'instruction :

D sommet parallélogramme A, B, C

1.A.d. À partir de deux sommets et du centre

Dessiner un parallélogramme à partir de deux sommets et du centre

Étant donné trois points A, B et O, tracer un parallélogramme ABCD tel que O que soit le point d'intersection des diagonales.

Indications : C et D sont les symétriques de A et B par rapport à O.

Il est possible de réaliser la construction à la « règle et au compas », en traçant les diagonales [AO) et [BO) et les cercles de centre O, passant par A et B. C et D sont alors les points d'intersection des demi-droites et des cercles, convenablement choisis.

Télécharger la figure GéoPlan paralel6.g2w

1.A.f. Construire un parallélogramme ABCD connaissant les longueurs de deux côtés consécutifs et la longueur d'une diagonale.
Voir : problèmes de construction à la « règle et au compas »

1.B. Parallélogrammes particuliers : dessiner un losange

Définition : un losange est un parallélogramme particulier ayant deux côtés consécutifs égaux ; les diagonales sont perpendiculaires.

1.B.a. Tracer un losange à partir d'un côté [AB]

Comment dessiner un losange ?

Placer deux points A et B et dessiner le côté [AB],
tracer le cercle de centre A passant par B, placer un autre sommet D sur ce cercle et tracer le segment [AD],
tracer les cercles de centres B et D passant par A, le dernier sommet D est le deuxième point d'intersection de ces cercles.
Dessiner les côtés [CD] et [AD].

Il est possible de tracer les diagonales et de marquer leur angle droit.

1.B.b. Construire un losange à partir d'une diagonale [AC]

Deux points A et C et une longueur a étant donnés, tracer le losange de côté a, ayant pour diagonale [AC].

Placer deux points A et C, tracer un cercle (c) de centre A et de rayon a supérieur à AC/2.
Tracer un deuxième cercle (c’) de même rayon et de centre C.

Les cercles (c) et (c’) se coupent en B et D. La droite (BD) est la médiatrice du segment [AC].

Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un losange, marquer les égalités de côtés.
Marquer le centre O, l'angle des diagonales et remarquer les droites parallèles.

Les « anciens Égyptiens » utilisaient cette méthode, par exemple dans la construction des pyramides, pour tracer un angle droit :
prendre une corde, faire un nœud au milieu et fixer les deux extrémités sur deux piquets placés en A et C. Tendre la corde de part et d'autre de (AC) en la prenant par le nœud et marquer les points B et D, puis le centre O.

1.B.c. Construire un losange à partir d'un côté et de la direction d'une diagonale

Projet de document d'accompagnement - Géométrie - Janvier 2007

Les figures n'ont pas encore été transférées de l'ancien site Orange

Construire un losange ABCD.
Données : le segment [AB] et la demi-droite [Ax), support de la diagonale [AC].

(Figure d'analyse proposée par un élève)

L'activité de l'élève comporte plusieurs points essentiels :
  – l'analyse grâce à une représentation à main levée de la figure « visée » pour matérialiser la situation ;
  – l'identification des propriétés pertinentes ;
  – les codages associés ;
  – les différentes procédures de résolution (par les côtés/par les diagonales) ;
  – la formulation (rédaction de la propriété utilisée) d'une argumentation.

1.B.d. Comment dessiner un losange au compas seul

1.B.e. Comment dessiner un losange avec la règle à bords parallèles

Comment trouver la longueur des diagonales d un losange

1.C. Dessiner un rectangle

1 D. Dessiner un carré

2. Théorème de Varignon

Théorème — Si ABCD est un quadrilatère quelconque et I, J, K, L les milieux de ses côtés, alors IJKL est un parallélogramme.

Un quadrilatère étant donné, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme de Varignon.

Démonstration — Par application du théorème des milieux, on montre que les côtés opposés de IJKL sont chacun parallèle à une diagonale de ABCD, donc parallèles entre eux.

Ce résultat est valable quel que soit le quadrilatère convexe, concave ou croisé.

Le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère.

L'aire du quadrilatère, non croisé, est le double de celle du parallélogramme de Varignon

. Figure interactive dans GeoGebraTube : théorème de Varignon

Démonstration du théorème de Varignon

« IJKL est un parallélogramme » peut être démontré dès la classe de quatrième, grâce au théorème des milieux des côtés d'un triangle.
On montre que les côtés opposés de IJKL sont chacun parallèle à une diagonale de ABCD, donc parallèles entre eux :
par exemple, [IL] et [JK] sont parallèles et leurs longueurs égales à la moitié de [BD].

Calcul de l'aire : l'aire du quadrilatère, non croisé, est le double de celle du parallélogramme de Varignon.

Soit ABCD quadrilatère non croisé.
Soit d = BD diagonale de ABCD, base des triangles ABD et CBD. Toujours d'après le théorème des milieux, la base b = JK du parallélogramme IJKL est égale à la moitié de d.
La hauteur h du parallélogramme, prise perpendiculairement à la diagonale (BD),
se décompose en deux longueurs h₁ et h₂ de part et d'autre de la droite (BD).
h₁ est égale à la moitié de la hauteur h₁’ issue de A de ABD et h₂ est égale à la moitié de la hauteur h₂’ issue de C de CBD.

Donc, Aire(ABCD) = Aire(ABD) + Aire(CBD)
    = × d × h₁’ + × d × h₂’ = × d × (h₁’ + h₂’) = × 2b × (2h₁ + 2h₂)
    = × 2b × 2h = 2 × Aire(IJKL).

Figure ci-contre : parallélogramme de Varignon dans un quadrilatère croisé

Parallélogramme de Varignon dans un quadrilatère concave

En assimilant le plan à un espace vectoriel, on a :

I = (A + B); J = (B + C); K = (C + D) et L = (A + D).

Donc I + K = L + J {= (A + B + C + D)}, ce qui exprime que IJKL est un parallélogramme.

En outre, elle dissipe toute hésitation concernant les quadrilatères croisés (figure ci-dessus)
ou les quadrilatères concaves. (figure ci-contre)

Cette démonstration illustre la clarté de l'algèbre, mais les figures de la géométrie classique gardent ici tout leur éclat.

Figure ci-contre : parallélogramme de Varignon dans un quadrilatère concave (Pointe de flèche ou fer de lance)

2.b. Trois parallélogrammes de Varignon

Si ABCD est un quadrilatère non croisé, appliquer le théorème de Varignon aux quadrilatères (croisés) ABDC et ACBD permet d'obtenir deux autres parallélogrammes de Varignon (en vert et en rouge).

Pour un quadrilatère, les milieux des côtés forment le parallélogramme de Varignon (en bleu), les milieux de deux côtés opposés et des diagonales forment deux autres parallélogrammes (en vert et en rouge)..
Ces trois parallélogrammes ont même milieu : le centre de gravité G du quadrilatère.

8.a. Centre de gravité d'un quadrilatère

Corollaire : les médianes d'un quadrilatère (qui joignent les milieux des côtés et sont les diagonales du parallélogramme), et la droite qui joint les milieux des diagonales sont concourantes au centre de gravité G du quadrilatère, qui est leur milieu.

Utilisation de l'équibarycentre : Point de concours.

Figure interactive dans GeoGebraTube : Médianes et centre de gravité d'un quadrilatère

2.c. Varignon pour des quadrilatères particuliers

Théorème de Varignon pour des quadrilatères particuliers

2.c.1. Quadrilatère orthodiagonal

Lorsque les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires, le parallélogramme de Varignon est un rectangle.

Télécharger la figure GéoPlan varignon_ortho.g2w

2.c.2. Diagonales de même longueur

Lorsque les deux diagonales du quadrilatère sont de même longueur, le parallélogramme de Varignon est un losange.
Les médiane du quadrilatère sont perpendiculaires.

Télécharger la figure GéoPlan varignon_losange.g2w

2.c.3. Pseudo-carré

Lorsque les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires et de même longueur, le parallélogramme de Varignon est un carré.

Télécharger la figure GéoPlan varignon_carre.g2w

Pierre Varignon (1654-1722), ami de Jean Bernouilli, est surtout connu pour avoir assis en France les idées de Leibniz sur l'analyse (reprises par De L'Hospital) face à l'opposition de Rolle et aux travaux de Newton.

Voir : Varignon – Marc Blanchard – Plot n^o 58 - 1992

WikiPédia : théorème de Varignon

Catalan : Teorema de Varignon

nl : Parallellogram van Varignon

 Glossaire publimath

3.a. Multiplication par 5 de l'aire d'un parallélogramme

Classe de 3^e

ABCD est un parallélogramme, P est le symétrique de A par rapport à B, Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A. Montrer que PQRS est un parallélogramme d'aire cinq fois plus grande.

Ces deux parallélogrammes ont même milieu O.

Démonstration 1 :

Utilisation de parallélogrammes.

En raison de la symétrie de centre B, = , et pour celle de centre D, = .
Par ailleurs, ABCD est un parallélogramme donc = .
Ces trois égalités permettent d'écrire : = 2 = 2 = , APCR est un parallélogramme : les diagonales [AC] et [RP] se coupent en leur milieu : O est le milieu de [RP].

De même, on montre que dans le parallélogramme BQDS, O est le milieu de [QS].

Réciproquement : les diagonales du quadrilatère PQRS se coupent en leur milieu O, c'est un parallélogramme.

Démonstration 2 : symétrie de centre O.

Dans la symétrie de centre B, B est point fixe et P a pour image A.
Dans la symétrie de centre O, B et A ont pour images D et C.
Dans la symétrie de centre D, D est invariant et C a pour image R.

En composant ces trois symétries, nous obtenons une symétrie centrale qui transforme B en D : c'est la symétrie de centre O, dans cette symétrie P a pour image R.

De même, en composant les symétries de centres A, O et C on montre que cette composée est la symétrie de centre O qui transforme S en Q.
O est le centre de symétrie du quadrilatère PQRS : c'est un parallélogramme.

Démonstration 3 : égalité de vecteurs

Avec une relation de Chasles calculer les vecteurs et :
= + = + 2 ,
= + = 2 + .

Comme ABCD est un parallélogramme on a = et = .
Les vecteurs et sont égaux : PQRS est un parallélogramme.

Aire : les triangles CQR, DRS, ASP et BPQ ont même hauteur que le parallélogramme ABCD, relativement à des bases deux fois plus grandes, ils ont même aire que ABCD (ou bien remarquer que l'aire de CQR est la moitié de l'aire du parallélogramme CQC’R, où C’ est le symétrique de C par rapport à L. Le parallélogramme CQC’R a une aire double de celle de ABCD).
L'aire de PQRS égale à l'aire de ABCD, augmentée des aires des quatre triangles est égale à cinq fois l'aire du petit parallélogramme.

Réciproquement, on peut retrouver le petit parallélogramme à partir du grand, en joignant chaque sommet au milieu du côté suivant (par exemple dans le sens direct).

Télécharger la figure GéoPlan mul_parall.g2w

Multiplication par 5 de l'aire d'un carré

3.c. Configurations planes

CAPES Externe de mathématiques 2011 : Thème « configurations planes »

L'exercice

Soit ABCD un carré. On prolonge ses côtés par quatre segments de même longueur et d'extrémités P, Q, R et S, comme indiqué ci-dessus.
Montrer que le quadrilatère PQRS est un carré de même centre que ABCD.

Le travail à exposer devant le jury
1 - Proposez plusieurs méthodes pour la résolution de l'exercice et indiquez pour chacune à quel niveau elle pourrait être envisagée. Vous vous référerez, pour cela, aux programmes de collège et de lycée mis à votre disposition sur les ordinateurs du concours.
2 - Développez l'une de ces méthodes comme vous le feriez devant une classe du niveau considéré.
3 - Présentez deux ou trois exercices sur le thème « configurations planes ».

3.d. Prolongements

Parallélogramme inscrit dans un parallélogramme

Les symétries centrales, qui ont permis de construire le parallélogramme PQRS précédent sont, pour k = 2, un cas particulier de l'exercice plus général suivant :

Soit ABCD un parallélogramme et k un réel positif.

Sur la demi-droite [BA) on place le point P tel que AP = k BA.
Sur la demi-droite [CB) on place le point Q tel que BQ = k CB.
Sur la demi-droite [DC) on place le point R tel que CR = k DC.
Sur la demi-droite [AD) on place le point S tel que DS = k AD.

Montrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

Télécharger la figure GéoPlan mul_parall_2.g2w

Voir : Le quadrilatère qui tourne

À la place du parallélogramme, il possible d'envisager n'importe quel polygone régulier convexe.

Voir aussi l'étude avec des triangles, dans la page triangle en seconde

4. Bissectrices d'un parallélogramme

Exercice de construction géométrique

Les bissectrices d'un parallélogramme, issues de deux sommets consécutifs, sont perpendiculaires.
Voir la démonstration.

Classe de quatrième

Les quatre bissectrices forment un rectangle.

Les diagonales du rectangle sont parallèles aux côtés du parallélogramme.

Ces diagonales et celles du parallélogramme sont concourantes en O, centre de symétrie de la figure.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_bissectrice.g2w

Cas général : bissectrices d'un quadrilatère

Les bissectrices intérieures et extérieures d'un parallélogramme forment deux rectangles.

Les diagonales communes des deux rectangles MNPQ et IJKL sont parallèles aux côtés du parallélogramme ABCD.

Ces diagonales et celles du parallélogramme sont concourantes en O, centre de symétrie de la figure.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_bissectrice_ext.g2w

Le rectangle MNPQ peut-il être un carré ?

Les diagonales (PM) et (QN) du carré MNPQ, perpendiculaires, sont parallèles aux côtés de ABCD. ABCD est donc un rectangle.

Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_bissectrice_care.g2w

Les points M, N, P, Q peuvent-ils être confondus ?

ABCD est alors un losange.