Descartes et les Mathématiques Lieux géométriques du plan avec la géométrie dynamiqueRecherche de lieux de points mobiles : milieux, cercles, symétriques… | ||
Lieux géométriques simples1. Centres des cercles tangents à deux cercles 2. Intersection de deux cercles 3. Lieu du milieu d'un segment 4. Lieu d'un projeté orthogonal 5. Lieu des symétriques d'un point 6. Autre milieu 8. Le carré variable Problèmes de lieux Lieux de points remarquables dans le triangle L'équerre contre un mur ou l'échelle glisse contre un mur Lieu géométrique avec une rotation et une similitude Lieu du centre d'un triangle équilatéral inscrit dans un carré | ||
Un lieu géométrique est un ensemble de points satisfaisant certaines conditions, données par un problème de construction (par exemple à partir d'un point mobile sur une courbe) ou par des équations reliant des fonctions de points (notamment des distances). Latin - English – lieu : locus – plural : lieux : loci Extrait de l'ancien programme de 1ère SLa problématique des lieux géométriques sera présente dans tous les paragraphes de géométrie. Elle ne fera pas l'objet d'un chapitre indépendant. Les logiciels de géométrie dynamique seront utilisés pour visualiser certains lieux. | ||
1. Centres des cercles tangents à deux cercles tangents donnésUn cercle variable C3(O3 ; |R3|) est tangent à deux cercles fixes C1(O1 ; |R1|) et C2(O2 ; |R2|), eux même tangents entre eux. Avec GéoPlan, explorer la situation en faisant varier R1, R2 ou R3 (touches 1, 2 ou 3). Paramètres modifiables : O1 centre du premier cercle ; des mesures algébriques R1, R2 et R3 correspondant aux rayons des trois cercles. Figure ci-contre : C1 et C3 sont à l'intérieur de C2 ; L est une ellipse. | ||
L est une branche d'hyperbole ; C1, C2 et C3 sont tangents extérieurement. | ||
L est une partie d'une branche d'hyperbole “il manque un arc autour du sommet” ; C1 et C2 sont à l'intérieur de C3. | ||
L est une branche d'hyperbole. Télécharger la figure GéoPlan certang4.g2w Cercle tangent à deux cercles, passant par un point : voir problème de contact PCC | ||
Cas limiteOn n'a pas de parabole, mais lorsque R1 est grand par rapport à R2 on trouve la curieuse branche d'hyperbole suivante ! | ||
2. Intersection de deux cerclesÉnoncé de l'exercice Soit (d) une droite fixée du plan et un point A n'appartenant pas à (d). Méthode à mettre en œuvre On considére les transformations T et T’ suivantes : et par T’ le deuxième point M2 d'intersection de ces deux cercles tel que la mesure de l'angle orienté ( ; ) soit négatif. AMM1 et AMM2 sont des triangles équilatéraux, T et T’ sont les rotations de centre A et d'angles et - . Les droites (L1) et (L2) sont les images par T et T’ de la droite (d). Note technique GéoPlan : Points fixes : A ; B et C définissant la droite (d) = (BC), L'instruction : M point libre sur la droite (BC) ne permet pas de tracer les lieux L1 et L2 à la demande. Pour visualiser ces lieux il faut faire varier M sur un segment [B1C1] de la droite (d) = (BC). | ||
2.b. Deuxième point d'intersection de deux cerclesLa droite (d) et les points O et O’ sont fixes. Quel est le lieu du point N lorsque M décrit la droite (d) ? Solution Les points M et N sont symétriques par rapport à la droite (OO’) axe de symétrie des deux cercles. | ||
3. Lieu du milieu d'un segmentDeux exercices à réaliser …avec GéoPlan, dès la classe de quatrième. Extrémité mobile sur une droiteConstruire un point A fixe et un point B mobile sur une droite (PQ). Quel est le lieu géométrique du point M ? Tracer le milieu M de [AB]. Démontrer le résultat. télécharger la figure GéoPlan mil_pt_sur_droite.g2w | ||
Lieu du milieu d'un segment d'extrémité mobile sur un cercleConstruire le cercle (c) de centre O, passant par un point A fixe et placer un point B mobile sur ce cercle. Tracer le milieu M de [AB]. Faire apparaître la figure décrite par le point M lorsque B se déplace sur le cercle. Quel est le lieu géométrique du point M ? | ||
Démontrer que le lieu du milieu est un derclePour cela, tracer les segments [OA], [OB] et [OM]. Le triangle OAB est isocèle et [OM] est une hauteur. Le triangle rectangle AOM est inscrit dans le cercle de diamètre [OA], lieu du point M. Autres démonstrations Tracer le point C diamétralement opposé au point A, le triangle rectangle ACB a pour médiatrice (OM) et on retrouve le triangle rectangle moitié AOM inscrit dans le cercle de diamètre [OA]. Transformation L'homothétie de centre A et de rapport transforme B en C, le cercle (c) a pour image le lieu de M : le cercle de diamètre [OA]. | ||
Segment de longueur fixeA, point libre (pilotable à la souris), varie sur un cercle de centre O et de rayon b. Étudier le triangle OMB lorsque a = 8 cm et b = 5 cm. | ||
Extrémités mobiles sur un cercle et une droiteLe point A varie sur un segment [CD]. Étudier le lieu du point M quand A varie (B fixe) ou quand B varie (A fixe) Extremiés sur les côtés d'un angle droit, | ||
4. Lieu d'un projeté orthogonalCet exercice permet de proposer deux niveaux d'exploration : Cette activité permet, de par la forme de son énoncé, de se familiariser avec les fonctionnalités de GéoPlan. Soit un point P, un cercle (c) de centre O et un point M variable sur le cercle. Soit N le projeté orthogonal du centre O sur la droite (PM). Quel est le lieu géométrique décrit par le point N, lorsque M décrit le cercle (c) ? Projeté P à l'intérieur du cercle (c)Remarque : O est un point du lieu, le lieu n'est pas vide. L'angle ONP étant droit, on peut conjecturer que le lieu de N est inclus dans le cercle de diamètre [OP]. Remarque : le point N, milieu de la corde formée par le cercle et la droite (PN), est à l'intérieur du cercle (c). Cas particulier : si P est sur le cercle, N est le milieu de [MP] et on retrouve le lieu du milieu d'un segment. | ||
Projeté P à l'extérieur du cercle (c)Réciproque Si N est un point du cercle de diamètre [OP] et est à l'intérieur du cercle (c), alors la droite (NP), perpendiculaire à (ON) coupe le cercle (c) en un point M (et un point M’ si ce n'est pas une tangente). N, projeté orthogonal du centre O sur cette droite (NP) = (PM), est un point du lieu. Conclusion Si P est à l'intérieur du cercle (c), ou est situé sur ce cercle, le lieu est le cercle de diamètre [OP]. Si P est à l'extérieur du cercle (c), le lieu est l'arc du cercle diamètre [OP] situé à l'intérieur de (c), dont les extrémités A et B sont les points d'intersection des deux cercles (inclus dans le lieu). | ||
5. Lieu des symétriques d'un pointA et B sont deux points fixes, la droite (d) est une droite variable passant par le point A. B’ est l'image de B dans la symétrie par rapport à D. Quel est le lieu du point B’ lorsque la droite (d) varie ? | ||
6. Lieu d'un autre milieuA est un point à l'intérieur du secteur xOy. Quel est l'ensemble des points I ? Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est situé sur la médiatrice de [OA]. | ||
7. Demi-parabolesOn place deux points O et A tels que OA = 1. Soit M un point variable sur la droite (OA). Sur la demi-droite perpendiculaire en A à (OA) située dans P1, un des demi-plans de frontière (OA), on trace le point N tel que AN = OM. La perpendiculaire à (OA) en M rencontre la droite (ON) au point P. Quel est l'ensemble des points P ? Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est constitué de deux demi-paraboles. Voir : parabole Épreuve pratique en TS 2008 : Points équidistants d'une droite et d'un point 2009 : Propriétés de la parabole | ||
8. Le carré variable8.a. Lieu du sommet opposé à M, si le côté [AM] varieClasse de 2nde Soit une droite (d) et un point fixe A à l'extérieur de (d). a. Placer les points M’ et P tels que MPM’A soit un carré direct. On dilate le carré en « faisant glisser » M sur la droite (d). Quel est le lieu géométrique du point M’, lorsque M se déplace sur (d). Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est une droite perpendiculaire à (d). Indication Une rotation de centre A. Variante : le point M se déplace sur un cercle. | ||
8.b. Lieu du sommet consécutif de M, si le côté [AM] varie | ||
8.c. Lieu des sommets, si la diagonale [AM] varieTerminale S Étudier le lieu du point P à l'aide d'une similitude de centre A. On dilate le carré en « faisant glisser » M sur la droite (d). À l'aide de similitudes de centre A, dire quels sont les lieux géométriques des points P et Q lorsque M se déplace sur (d). Voir aussi : | ||
9. Quartique de Jules VerneEn 1863, Jules Verne avait anticipé les olympiades de mathématiques et avait proposé le problème suivant dans Paris au XXe siècle, roman non publié à l'époque, mais édité plus d'un siècle plus tard, par Hachette en 1994 et France Loisirs en 1995. Soit (c) et (c’) deux cercles de centres O et O’. D'un point A de (c), on mène deux tangentes à (c’). On joint les de contact B et C de ces tangentes. On mène la tangente en A au cercle (c). On demande le lieu du point M d'intersection de cette tangente avec la corde des contacts du cercle (c’). Le lieu est une quartique : courbe algébrique de degré 4 openclassrooms forum probleme jules Verne et quartique | ||
Table des matièresGoogle friendly Dans d'autres pages du site Exercices de-ci, de-là : un cercle comme lieu | ||
Exemples de lieux du plan La médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités de ce segment. La bissectrice d'un angle est lieu des points équidistants des côtés de cet angle. Un arc capable est le lieu des points d'où l'on « voit » un segment selon un angle donné. Les sections coniques pourraient être définies comme des lieux : L'ellipse est le lieu des points pour lesquels la somme des distances aux foyers est une valeur donnée. L'hyperbole est le lieu de points dont la différence des distances aux foyers est une valeur donnée. La parabole est le lieu de points pour lesquels les distances du foyer et à la droite directrice sont égales. Tangentes de la parabole et lieu géométrique Points équidistants d'une droite et d'un point Constructions mécaniques de courbe : conchoïde de droite | ||
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