Descartes et les Mathématiques
Suites numériques et TI-92
La calculatrice TI-92 en classe de 1ère S : suite homographique, suite de Fibonacci, nombre d'or, point fixe.
Sommaire
III. Avec un point fixe
V. La Technique mise à l'épreuve
VII. Récurrence double - Fibonacci
Formule de Binet
Calculatrice TI-92
La TI-92 est une calculatrice graphique programmable, équipée du microprocesseur Motorola 68000, commercialisée par Texas Instruments.
Crée en 1995, c'était un modèle très novateur avec :
- un véritable clavier QWERTY équipé d'un pavé directionnel à 8 directions,
- un grand écran 240 × 128 pixels,
- un logiciel de calcul formel très performant,
- un grapheur,
- un tableur.
Les divers modules pouvant communiquer par appel de fonctions ou copier-coller.
Elle a été remplacée en 1998 par la TI-92 plus, avec mémoire flash, et en 2002 par la voyage 200, machines moins innovantes et proportionnellement de plus en plus chères.
I. MODE D'EMPLOI
La calculatrice TI-92 permet d'utiliser les suites de deux façons différentes :
a. en utilisant l'éditeur de fonctions ¨y= et le tableau de calcul ¨Table après avoir, avec la touche MODE, dans le menu GRAPH, choisir SUITE (SEQUENCE) ;
b. en mode DIRECT dans l'écran de calcul ¨Home.
Changement de variable
Pour étudier avec la calculatrice des suites récurrentes, il faut souvent faire un changement de variable.
En effet, pendant le cours de mathématiques les suites de noms u, v… sont définies par leur premier terme u0 et le terme général est un+1,
contrairement à la calculatrice qui utilise par défaut u1 et un.
La calculatrice définit 99 suites de noms u1, u2… jusqu'à u99, le terme général de la suite u1 étant noté u1(n) et son premier terme est noté ui1, i étant fixé par défaut à 1 dans le menu 
et on aura souvent à y enregistrer nmin = 0 (et éventuellement initialiser à 0 plotStart – plotStrt = 0 – : c'est le numéro du premier terme de la représentation graphique).
Premier exemple
Pour étudier la suite géométrique de raison 2 définie par :
effectuer le changement de variable un = 2 un−1 pour n> 1.
a. En mode suite (sequence) : choisir la suite u1 et taper dans l'éditeur de fonctions ¨y= :
u1(n)=2* u1(n−1)
ui1=1
Étudier la suite avec ¨Table.
Vérifier que dans l'application Table Set ¨TblSet la valeur initiale est 0 ou une autre valeur entière à partir de laquelle vous voulez commencer à calculer les termes de votre suite.
Dans tous les cas choisir le pas δtbl égal à 1.
Il est possible de choisir le mode « question » avec independent : ASK pour pouvoir introduire les valeurs de n directement dans la table.
On peut aussi taper u1(5) dans ¨Home pour connaître u5
ou ∑(u1(n), n, 0, 5) pour la sa somme S5 = u0 + u1 +…+ u5 des 6 premiers termes.
b. En mode direct : taper dans ¨Home la formule :
when(n>0, 2*u(n-1), 1) 
u(n)
où la formule de définition de un est de la forme :
when(n>0, " formule de récurrence un ", " premier terme u0 ") → u(n)
II. AVEC UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE AUXILIAIRE
Voici un texte d'exercice :
On considère la suite arithmético-géométrique un définie par u0 = 0
et, pour tout n>0, 
.
On pose vn = un – 2
1. Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q.
2. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un.
3. Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers + ∞.
4. Calculer la somme ∑n = v0 + v1 +…+ vn et en déduire Sn = u0 + u1 +…+ un.
a. Utilisation de la TI-92 en mode suite (sequence)
Taper dans l'éditeur de fonctions ¨y=
u1(n)=u1(n-1)/2+1
ui1=0
La calculatrice ne sait pas calculer deux suites au même niveau. Il faut donc aussi transformer la formule vn = un – 2 en vn = un−1 – 2 donc avec les suites u1 et u2 taper u2(n) = u1(n-1)-2 et penser au décalage du rang de 1 dans la lecture du tableau u2.
Il est possible de faire une recherche intuitive des limites 2 et 0.
b. Utilisation de la TI-92 en mode direct ¨Home
Dans l'écran de calcul taper la formule when(n>0,u(n-1))/2+1,0) u(n)
et u(n)-2 v(n),
puis pour calculer la somme des premiers termes : ∑(u1(n),n,0,p) s(p).
Un petit programme peut permettre d'écrire les premiers termes des suites u, v et s.
Dans ce mode les calculs sont exacts.
III. AVEC UN POINT FIXE
On considère la suite un définie par u0 = 0, et pour tout n positif par : 
a. En mode suite (sequence)
b. En mode direct ¨Home
Préparer la construction de « l'escargot » en choisissant à partir de l'écran ¨y= dans le menu F7 Axes le mode TOILE d'araignée WEB.
La courbe et la droite d'équation y = x apparaît dans l'écran ¨Graph, choisir le mode F3 TRACE et afficher « l'escargot » en répétant l'appui sur la « flèche suivante ».
La limite l de cette suite est égale à 2. C'est la solution de l'équation 
;
solution positive de l'équation x2 = x + 2.
IV. EFFICACITÉ DE LA TECHNIQUE
On considère la suite un définie par u0 = 1, et pour tout n positif par : 
.
Calculer les premiers termes et pronostiquer la formule explicite de un en fonction de n :
La démonstration n'est qu'une affaire de récurrence à faire éventuellement avec l'aide de la machine. Utiliser pour le calcul une variable un différente du nom de la suite u.
Remarquer le calcul de un+1 :
la machine ne fait la simplification par 
uniquement lorsque la condition n>0 permet d'en assurer l'existence.
V. LA TECHNIQUE MISE À L'ÉPREUVE
Exemple 1
e base des logarithmes népériens (terminale S)
Voici un classique où la limite suggérée par la machine est différente de celle obtenue par le calcul. La suite 
a pour limite e = 2,1828…
Le calcul de up est fait pour p = 10n. Il devient faux à partir p = 1014.
Exemple 2 (d'après Terracher)
On considère la suite de terme général un définie par 
V.2.1. Conjecture
Avec la calculatrice calculer lorsque n = 10p avec p = 1, 2…, 12 ;
puis calculer lorsque n = 10p avec p = 13, 14…, 17.
Quelles conjectures contradictoires peut-on faire ?
V.2.2. Calcul mathématique
Montrer que 
(n naturel non nul).
Multiplier et diviser par la quantité conjuguée puis diviser numérateur et dénominateur par n.
En déduire la limite exacte de un.
Remarque : ces calculs sont trop complexes pour la TI-92.
Si malgré tout, on veut vérifier avec la machine, calculer 
pour n > 0, multiplier le résultat par le dénominateur 
et enfin donner la condition n > 0 pour s'assurer la validité du domaine de définition et obtenir 0, ce qui prouve l'égalité des deux suites.
V.2.3. Explications
Lorsque n dépasse 10p, où p est le nombre de chiffres calculés par la machine (FLOAT 12 sur la TI-92), la racine 
est approximée par n et le résultat est 0.
Mais pourquoi trouve-t-on u13 = 1 ?
VI. SUITE HOMOGRAPHIQUE
Utilisation de la calculatrice pour résoudre un exercice de terminale S
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout n (n>0), par 
1. Calculer u1, u2, u3.
2. On pose 
. Montrer que vn est une
suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q.
3. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un.
4. Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers + ∞.
taper la définition de un en mode direct
when(n>0,(2u(n-1)+1)/(u((n-1+2),0) u(n)
Calculer un et vn. En s'inspirant des calculs des premiers termes, trouver la raison 3 et le terme général
de la suite géométrique.
Résoudre l'équation , en fonction de vn
pour trouver la fonction réciproque un en fonction de vn (utiliser des variables un et vn et non les suites u(n) et v(n)).
Puis remplacer vn par sa valeur pour trouver 
et déduire que la limite est 1.
La TI-92 plus donne ce résultat en utilisant la tangente hyperbolique. Pourquoi pas !
Le calcul de un est très rapidement complexe, car la TI-92 calcule deux fois un−1, soit une minute pour les 1024 calculs de u10.
On aura intérêt à transformer la formule de récurrence en éléments simples grâce à la fonction développe (expand) et modifier la définition de un.
Les capacités de la mémoire ne permettent pas de calculer par récurrence au-delà de u23. (u31 sur la TI-92 plus). Au-delà utiliser le calcul direct de un en fonction de n.
Lorsque l'on veut calculer de grandes valeurs on pourra programmer la fonction u dans l'éditeur de programmes (cf. les deux derniers écrans ci-contre).
Exemple 2
On considère la suite (un) définie par u0 = 3
et, pour tout n > 0, par 
.
1) Calculer u1, u2, u3, u4 et u5.
2) Dans un repère orthonormé tracer les représentations graphiques des fonctions y = x et f(x) = 
, définies sur [0, 3] (unités 5cm)
Visualiser graphiquement les termes u1, u2, u3, u4 et u5 de la suite (un).
Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de cette suite ?
3) On pose vn = 
.
Montrer que (vn) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison q.
4) Exprimer vn en fonction de n et en déduire un.
5) Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers +∞.
Indications de correction
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 
et de raison q = 
.
un |
vn | |
0 |
3 |
|
1 |
 | – |
2 |
 |
 |
3 |
 |
–
 |
4 |
 |
 |
5 |
 |
–
 |
un = 
= 
Pour n>0 les numérateurs et dénominateurs de (un) sont deux suites (an) et (bn) telle que bn+1 = an + bn
Si n est pair an = bn + 1 ; sinon an = bn – 1.
VII. RÉCURRENCE DOUBLE : SUITE DE FIBONACCI
(terminale S, d'après Gérard Kuntz, Strasbourg)
Une histoire couple de lapins qui donnent naissance à un couple d'animaux qui à la génération suivante donne naissance à un nouveau couple et ainsi de suite… (livre de l'abaque «Liber Abaci» de Léonard de Pise dit Fibonacci paru en 1202)
Soit la suite de Fibonacci : 
avec n ≥ 0.
Pour programmer cette suite définie par la double récurrence un+2 = un + un+1 et les conditions initiales u0 = 0 et u1 = 1, faire le changement de variable : un = un−2 + un−1 pour n > 2.
Remarque : on peut aussi définir cette suite avec les conditions initiales u1 = 1 et u2 = 1 et calculer un+2 pour n ≥ 1.
a. En mode suite (sequence) ¨y=
Sur la première ligne taper la formule de récurrence : u1(n) = ul(n-2) + ul(n-l),
et sur la deuxième indiquer la liste des deux valeurs initiales : uil = {1, 0} (attention à l'ordre inversé des deux termes)
b. En mode direct ¨Home
Pour enregistrer la suite u il faut utiliser deux instructions when emboîtées :
when(n>1, "formule de récurrence un ",when(n=0, "premier terme u0", "deuxième terme u1 ")) → u(n).
taper dans l'écran de calcul : when(n>1, u(n-2) + u(n-l), when(n=0, 0, 1)) u(n)
Calculer les 10 premiers termes avec la TI-92.
La limite du quotient de deux nombres consécutifs de la suite est égale au nombre d'or φ.
Montrer qu'il existe deux suites géométriques de raison q qui soient de Fibonacci. q est alors solution de l'équation caractéristique x2 = x + 1. Trouver avec la machine que ces solutions sont le nombre d'or φ = α = 
et l'opposé de son inverse β = − 
.
Si a et b sont deux nombres réels, montrer que la suite de terme général un = a αn + b βn est une suite de Fibonacci.
Réciproquement montrer que le terme général d'une suite de Fibonacci peut s'écrire :
un = a αn + b βn avec les calculs de a = 
et b = 
faits sans difficulté sur la TI-92.
Formule de Binet
Vérifier que si u0 = 0 et u1 = 1, alors a = b = 
et un = 
.
Ci-contre, voir les écrans des calculs pour cette suite dite des « lapins ».
Remarquer que la TI-92 sait rendre rationnel les dénominateurs de a αn et b βn, mais ne sait pas calculer leur différence.
Par contre, le calcul de 
ne pose pas de problèmes
et on obtient entier exact jusqu'à n = 128 et une valeur approchée au-delà ; par exemple :
u4000 = 3,99 × 10835 (seul l'ordre de grandeur est fiable).
Construction du pentagone (collège)
Construire un pentagone régulier (lycée)
Des divergences troublantes
Montrer que les seules suites de Fibonacci convergentes sont de la forme b βn.
Pour b = 1 nous allons donc étudier avec la machine la suite de Fibonacci un de premiers termes u0
= 1 et u1 = β et la suite géométrique vn = βn = 
.
Nous allons vérifier que comme les ordinateurs et les autres calculatrices, la TI-92 fait des erreurs en mode approché. Par contre, elle peut évaluer exactement cette suite de Fibonacci, en mode direct.
Mode approché
Le calcul est assez rapide dans l'écran ¨Table, mais on s'aperçoit que le calcul de la suite de Fibonacci ul accumule les erreurs à partir du rang 34 les résultats sont faux et ils sont absurdes pour n plus grand que 36 (erreur de signe).
Mode exact ¨Home
Il est possible de travailler dans l'écran de calculs en mode exact en programmant les deux suites, mais le calcul de u(n) demande trop de temps, dès que n dépasse 10 puis sature la mémoire.
Le calcul exact de u(33) est le dernier évaluable par la machine ; les calculs suivants dépassent la précision de 12 chiffres pour les calculs de réels et le résultat est 0. (attention : calculer u(34) puis approx du résultat. Le calcul direct de approx(u(34)) est un calcul approché, qui génère les mêmes erreurs que dans le mode table).
Il est possible, avec le programme fibo(n), de calculer rapidement un et vn. On obtient les calculs approchés suivants :
Ce programme sait faire le calcul exact de un, son calcul approché est une autre affaire.
Il sait aussi faire le calcul exact, puis approché de
vn = βn = (Ce calcul est-il fiable ?).
Télécharger la 
donc 
= 
= 
= 1 – 
= 
= 
= − 1 + 
= − 1 + 2(φ – 1) = 2φ – 3,
=
= 
= 2 – 
= 2 – 3(φ – 1) = −3φ + 5 et ainsi de suite.
jusqu'à n = 128 :
Google friendly
