Descartes et les Mathématiques

La Géométrie de Descartes

Textes et commentaires de « La Géométrie » de René Descartes sur le théorème de Thalès, les problèmes du second ou du troisième degré.
Les figures interactives de GéoPlan réactualisaient l'ouvrage, de prime abord assez difficile, de ce grand mathématicien, mais maintenant sont périmées.

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La géométrie

Livre premier

Le problème de Pappus

figures classiques

Édition interactive avec GeoGebra

figures classiques

Sommaire

I.   La Géométrie - Introduction
II.  Le théorème de Thalès
III. La racine carrée
IV. L'équation du second degré
V.  Les équations
VI. La racine cubique

Fac-similé : page 318 et page 370

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La Géométrie de Descartes demeure aujourd'hui, comme au moment de sa parution, un livre de lecture difficile. Malgré tout, des extraits du début du chapitre 3 peuvent être étudiés à partir de la classe de seconde, voire en troisième.

En La Géométrie dit-il, «  je tâche à donner une façon générale pour résoudre tous les problèmes qui ne l'on encore jamais été. »
Il demande qu'on prenne la peine de lire « La Géométrie » la plume à la main en suivant tous les calculs qui peuvent sembler d'abord difficile ; mais on devrait s'y habituer en peu de jours.
Il conseille de passer du premier au « troisième livre, avant de lire le second. »

Descartes impatient expose l'essentiel d'une solution neuve dans l'ordre de l'invention et il répugne à passer du temps pour la démontrer.
La méthode de Descartes est de traiter tout problème de géométrie par le calcul. Il l'applique ici aux calculs algébriques et aux équations du second degré.

Advertissement (page 296)

Jusqu'ici (dans le Discours de la méthode) j'ai taché de me rendre intelligible é tout le monde, mais pour ce traité je crains, qu'il ne pourra être lu que par ceux, qui savent déjà ce qui est dans les livres de Géométrie. Car d'autant qu'ils contiennent plusieurs vérités fort bien démontrées, j'ai cru qu'il serait superflu de les répéter, et n'ai pas laissé pour cela de m'en servir.

Dés cette introduction Descartes paraît ainsi se faire l'adepte des méthodes actives. Tout au long de son traité, il ne cessera de réaffirmer cette position.
« Au reste j'ay omis icy les demonstrations de la plus part de ce que jay dit a cause qu'elles m'ont semblé si faciles, que pourvéque vous preniés la peine d'examiner methodiquement si jay failly, elles se presenteront a vous d'elles mesme : et il sera plus utile de les apprendre en cete façon, qu'en les lisant. » (livre troisiesme)

Ce parti pris de l'auteur rend l'ouvrage toutefois exploitable au lycée, avec ces exemples du Livre Premier où sont exposées des méthodes analytiques.

LA GéOMETRIE. LIVRE PREMIER

Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites.

Tous les Problèmes de Géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu'il n'est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites, pour les construire.

Comment le calcul d'Arithmétique se rapporte aux opérations de Géométrie.

Et comme toute l'Arithmétique n'est composée, que de quatre ou cinq opérations, qui sont l'Addition, la Soustraction, la Multiplication, la Division, et l'Extraction des racines, qu'on peut prendre pour une espéce de Division : Ainsi n'a-t-on autre chose à faire en Géométrie touchant les lignes qu'on cherche, pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d'autres, ou en éter, ou bien en ayant une, que je nommerai l'unité pour la rapporter d'autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième, qui soit à l'une de ces deux, comme l'autre est à l'unité, ce qui est le même que la Multiplication ; ou bien en trouver une quatrième qui soit à l'une de ces deux, comme l'unité est à l'autre, ce qui est le même que la Division ; ou enfin trouver une, ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l'unité, et quelque autre ligne ; ce qui est le même que tirer la racine carrée, ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes d'Arithmétique en la Géométrie, afin de me rendre plus intelligible.

Descartes traduit les opérations par une figure géométrique (triangles de Thalès) mettant en valeur les proportions.
En prenant C = 1 pour unité, on a les proportions suivantes, pour
la multiplication x de a par b : ,
la division x de a par b : ,
la racine x de a : ,
les moyennes proportionnelles x et y pour la racine cubique de a : (Livre troisième).

II. Le théorème de Thalès

Descartes commence sa Géométrie en introduisant l'unité dans une configuration du théorème de Thalès.

La Multiplication

Soit par exemple AB l'unité, et qu'il faille multiplier BD par BC, je n'ai qu'a joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette Multiplication.

La Division

Ou bien s'il faut diviser BE par BD, ayant joint les points E et D, je tire AC parallèle à DE, et BC est le produit de cette division.

Figures ci-dessous

Avec les fléches de direction modifier les valeurs des paramètres : taper sur la touche <B> pour modifier b ; taper sur <A> pour revenir modifier a.

La multiplication

a = BD ; b = BC ; z = ab = BC

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La division

a = BE ; b = BD ; z =  = BC

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III. L'extraction de la racine carré

Ou s'il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l'unité, et divisant FH en deux parties égales au point K, du centre K je tire le cercle FIH, puis élevant du point G une ligne droite jusqu'à I, à angles droits sur FH, c'est GI la racine cherchée…

a = GH ; FG = 1 ; z = GI = .
Utilisez les fléches de direction pour faire varier a.

Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse.

La démonstration de cette propriété se fait dés la classe de troisième en remarquant que le triangle FIH, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en I et en calculant les tangentes des angles H et Î des triangles rectangles semblables IHG et FIG sont égales.

tan H = , tan Î = ; d'où l'égalité des rapports = .

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
GI² = FG × GH = 1 × GH = GH.
GI est la moyenne géométrique de FG et GH : GI = .

Cette construction, due à Euclide, était connue, avant Descartes, par exemple de Bombelli (1526-1572) qui la cite dans son algebra publiée en 1572.

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IV. L'équation du second degré

Les Babyloniens, au deuxième millénaire avant J.-C., savait trouver les solutions positives des équations du second degré avec la formule algébrique.

Ces formules ont été ignorées par les Grecs et réintroduites par Diophante au IV^e siécle et transmises à l'Occident par le mathématicien Al-Harizmi au IX^e siécle.

Équations ayant une seule racine positive

Descartes fait une seule figure pour résoudre les deux types d'équations

z² = é a z + b².

Le coefficient constant  b² est élevé au carré pour rendre l'équation homogène.

Les calculs utilisent la puissance d'un point par rapport à un cercle, notion disparue de l'enseignement franéais au lycée. La puissance d'un point M par rapport au cercle est le produit MO × MP, où une sécante issue de M coupe le cercle en O et P. Cette puissance est constante lorsque la droite varie. Elle est égale au carré de la longueur d'une tangente au cercle issue de M. Elle est aussi égale à la différence du carré de la distance du point au centre du cercle moins le carré du rayon.

On montre facilement que :

MO × MP = (MN + NO) × (MN - NO) = MN² - NO² = LM²,
MO et MP = MO - a sont les valeurs absolues des deux solutions des équations.

On a bien :

z (z à a) = b².

La méthode de Descartes ne lui fait chercher que la « vraye » racine positive de ces équations : MO pour z² = a z + b² et MP pour z² = – a z + b².

Pour MO on a MO = MN + ON, donc MN = z - et le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle LMN permet d'écrire :
MN² = NL² + LM² =  + b², soit MN = z -  = 

Pour MP on a MO= MN - NP, donc MN = z + , soit MN = z +  = .

Avec les fléches de direction modifier les paramètres :
taper la touche <B> pour modifier b;
taper sur <A> pour revenir modifier a.

Équation z² = a z + b²

« Et lors cette racine, ou ligne inconnue se trouve aisément. Car si j'ai par exemple
z² = az + bb je fais le triangle rectangle NLM, dont le côté LM est égal à b racine carrée de la quantité connue bb, et l'autre LN est a, la moitié de l'autre quantité connue, qui était multipliée par z que je suppose être la ligne inconnue. Puis prolongeant MN la baze de ce triangle, jusqu'à O, en sorte qu'NO soit égale à NL, la toute OM est z la ligne cherchée. Et elle s'exprime en cette sorte

. »

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Équation y² = – ay + b²

Que si j'ai yy = – ay + bb, et qu'y soit la quantité qu'il faut trouver, je fais le même triangle rectangle NLM, et de sa baze MN j'éte NP égale à NL, et le reste PM est y la racine cherchée. De façon que j'ai .

Et tout de même si j'avais x⁴ = – ax² + b². PM serait x² et j'aurais  ; et ainsi des autres.

Équation z² = a z - b²

Équation ayant deux racines positives : z² = az – b²

Descartes utilise la puissance du point M par rapport au cercle qui est : ML² = MQ × MR.
Cette propriété se démontre en introduisant le milieu I de QR et en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle NIR.

MQ . MR = (MI - IR) . (MI + IR)
    = MI² - IR² = NR² - IR² = NI² = ML² = b²

or MQ + MR = a, donc si z est une des longueurs, l'autre est a-z, on a bien z(a-z) = b².

Dans le triangle rectangle NIR on a IR² = NR² - NI² =  - b²

Si z = MR on a IR = MR - IM = z - donc IR² = (z - )² = 

finalement z -  =  soit

De même , si z = MQ on a IQ = IM - MQ =  - z ; donc IQ² = ( - z)² = IR² = .

Finalement - z =  soit .

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Voici le texte de Descartes

« Enfin si j'ai z² = az - bb : je fais NL égale à a, et LM égale à b comme devant, puis, au lieu de joindre les points M N je tire MQR parallèle à LN. et du centre N par L ayant décrit un cercle qui la coupe aux points Q et R, la ligne cherchée z est MQ, ou bien MR, car en ce cas elle s'exprime en deux façons, à savoir

et .

Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne coupe ny ne touche la ligne droite MQR, il n'y a aucune racine en l'Équation, de façon qu'on peut assurer que la construction du Problesme proposé est impossible. »

« Au reste ces même s racines se peuvent trouver par une infinité d'autres moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu'on peut construire tous les Problesmes de la Géométrie ordinaire, sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j'ai expliquées. Ce que je ne crois pas que les Anciens aient remarqué. Car autrement ils n'eussent pas pris la peine d'en écrire tant de gros livres, où le seul ordre de leurs propositions nous fait connaître qu'ils n'ont point eu la vraye méthode pour les trouver toutes, mais qu'ils ont seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées. »

Fac-similé : page 303

V. Les équations

Descartes énonce le théorème fondamental de l'algébre inventé par Albert de Girard en 1629 : « Sachés donc qu'en chaque Équation autant que la quantité inconnué a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-à-dire de valeurs de cette quantité ». D'Alembert lui donnera son nom et Gauss le démontra en 1799.

Les racines positives sont dites « vrayes », les négatives « fausses » ou « moindres que rien », mais « quelque fois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine ». Le mot de Descartes sera utilisé par la suite pour désigner les nombres complexes qu'il ne savait pas calculer.

Il formule le théorème sur la factorisation d'un polynéme qui « peut toujours être divisé par un binéme composé de la quantité inconnue moins la valeur d'une des vraies racines ou plus la valeur de l'une des fausses […] et réciproquement… »

Avec les fléches de direction modifier les valeurs des paramètres ;
taper sur la touche <C> pour modifier c ;
taper <A> pour revenir modifier a.

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Exemple de l'usage de ces réductions

« Mais affin qu'on puisse mieux connoïtre l'utilité de cette reigle il faut que je l'applique à quelque problesme.

Si le carré AD, et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté AC jusques à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé BD jusques à G, en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E qu'on demandoit.

Mais pour ceux qui ne sauroient point cette construction, elle seroit assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseroient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l'Équation ; et lors ils en trouveroient une qui ne seroit pas facile à déméler sans la reigle que je viens d'expliquer. Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a - x, et comme CF ou a - x est à FE ou c, ainsi FD ou x est à BF, qui par conséquent est . Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont l'un x et l'antre a, leurs carrés, qui sont x² + a², sont égaux à celui de la baze, qui est  ; de façon que, multipliant le tout par x² - 2ax + a², on trouve que l'équation est

x⁴ - 2ax³ + 2a²x² - 2a³x + a⁴ = c²x²,

ou bien

x⁴ - 2ax³ + (2a² - c²) x² - 2a³x + a⁴ = 0 ;

et on connoït par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

Que si on posoit BF, ou CE, ou BE, pour la quantité inconnue, on viendroit derechef à une Équation en laquelle il y auroit quatre dimensions, mais qui seroit plus aisée à déméler, et on y viendroit assez aisément; au lieu que si c'étoit DG qu'on supposét, on viendroit beaucoup plus difficilement à l'Équation, mais aussi elle seroit très simple. Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le Problesme proposé n'est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une Équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.

Je pourrois encore ajouter diverses reigles pour déméler les Équations qui vont au cube ou au carré de carré, mais elles seroient superflues; car lorsque les Problesmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci. »

Remarques

L'équation du quatrième degré a une autre solution réelle

qui correspond au point F’ aligné avec le point E’ d'intersection du cercle et du segment [AC] et le point B.

Les deux autres solutions sont imaginaires :

Lorsque selon le conseil de Descartes on choisit BF comme inconnue x, on sait que DG = ND et que dans le triangle rectangle DBN on a : DN² = a² + c².

Les triangles rectangles BDF et BEG sont semblables,

d'où , soit .

L'équation du second degré admet bien la solution positive

.

Par ailleurs, si effectivement on choisit b = DG comme paramètre on a :
b² = a² + c².

La proportion précédente devient qui conduit à l'équation du second degré

x(x + c) = a(a + b).

Cette équation admet comme solution positive

.

l'expression de DF devient

DF = 

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Citons les conclusions de Descartes qui suivent ce paragraphe :

« Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les Équations qui montent jusques au carré de carré, par les reigles ci-dessus expliquées. En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière. Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ny qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.

Il est vray que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde, pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l'est pas. Mais, si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Geometres se réduit à un même genre de Problesmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelqu'Équation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu'on a choisi la plus générale et la plus simple. »

VI. La racine cubique

L'invention de deux moyennes proportionnelles. (Livre Troisième)

Dans le livre troisième Descartes construit des lignes courbes afin de résoudre des problèmes du troisième degré (« Problesmes solides »).
Il se sert d'une parabole pour trouver graphiquement une racine cubique.
Ce résultat est utile, entre autres, dans le calcul des solutions des équations du troisième degré avec les formules de Cardan.

Descartes veut résoudre l'équation

z³ = a² q

(il l'écrit sous la forme z³ ** a²q avec un symbole ressemblant à l'infini pour l'égalité et deux étoiles indiquant que l'équation ne comporte pas de monémes en z², ni en z).

Le carré a² est introduit pour que le terme de droite soit aussi de dimension 3 suivant ainsi la règle des homogènes de Viéte.

Mais Descartes s'en affranchit aussitét, faisant a  1 (a = 1) et inventant l'introduction de l'unité.

z et z’ sont deux moyennes proportionnelles de a et q si a, z, z, z’ forment une proportion ainsi que z, z’, z’, q. Maintenait on dirait que a, z, z’, q sont en progression géométrique.

On a alors z' =  et q =  et ces quatre nombres sont égaux à :
a, z, et .

Avec la méthode des coordonnées dont Descartes a jeté les bases (et en conservant son orientation : l'origine est A, les abscisses z sont dirigées vers la gauche, les ordonnées y vers le bas) la géométrie analytique permet de trouver l'équation du cercle de centre E(, ) passant par A :
z² – q z + y² – a y = 0.

La parabole (FAG) d'équation y =  admet [AC) comme essieu (axe) et C comme foyer.

Le deuxième point d'intersection de la parabole et du cercle est le point F de coordonnées FL et LA.

En éliminant y dans ces deux équations, on trouve z =  = FL et  = LA.

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Avec les flèches de direction modifier les valeurs des paramètres : taper sur la touche <A> pour modifier a ; taper sur <Q> pour revenir modifier q.