Descartes et les Mathématiques Géométrie plane en troisièmeLe programme de géométrie au collège avec un logiciel de construction géométrique. | ||
Sommaire1. Configurations du plan, transformations planes 3. Construction d'une droite parallèle 4. Distance minimale dans un triangle | ||
Ancien document d'accompagnement du programme de troisième - 2004Extraits sur la géométrie - Adaptation des exemples à GéoPlan Le travail demandé en géométrie qui s'inscrit en complément, au moins partiel, de celui engagé précédemment (sur les configurations, les isométries), généralise des résultats antérieurs (situation de Thalès, angle inscrit…), tout en ouvrant un nouveau champ à la mise en œuvre de démonstrations. | ||
1. Configurations du plan, transformations planesEn géométrie, le champ des configurations dans le plan et dans l'espace est élargi. Les activités de conjecture, d'expérimentation et de démonstration sont poursuivies ainsi que la pratique du dessin des figures
aussi bien à main levée qu'à l'aide des instruments de dessin et de mesure y compris dans un environnement informatique. On continue à entraîner les élèves à élaborer et à rédiger
des démonstrations dans l'esprit déjà indiqué dans le document d'accompagnement du cycle central. L'étude des transformations du plan se poursuit par celle de la rotation. L'élève aura ainsi à sa disposition en quittant le collège des moyens de repérer les éléments de symétrie et les invariances dans les triangles, quadrilatères, polygones réguliers et une certaine maîtrise de leurs constructions. Le travail effectué antérieurement sur les translations et le parallélogramme conduit naturellement au vecteur. La composée de deux translations conduit à la définition de la somme vectorielle et aux coordonnées. | ||
2. Les constructions géométriquesLes logiciels de construction géométrique permettent la mise en évidence de relations entre les éléments d'une figure ; elles doivent être explicitées par l'élève pour la dessiner. Ces logiciels permettent notamment d'observer une figure sans la reconstruire, lorsque l'on déplace par exemple un de ses points, afin de repérer des propriétés conservées et d'énoncer des conjectures. Ils constituent un moyen puissant d'exploration des figures, facilitent l'observation des propriétés (alignement, conservation de directions, concours de droites, etc.). Leur utilisation en collège présente deux caractéristiques particulièrement intéressantes. | ||
3. Construction d'une droite parallèleCertains logiciels permettent de choisir les outils fournis à l'élève, en limitant les commandes mises à sa disposition. En voici un exemple : Dans ce type de problème, un choix judicieux des outils disponibles (éventuellement complexes) conduit à mettre en œuvre dans une construction, puis dans sa justification, les propriétés au programme des classes du collège. Télécharger la figure GéoPlan droite_parallele.g2w Voir : constructions élémentaires | ||
4. Distance minimale dans un triangleCe type de logiciel permet la mise en place de situations qui pourraient paraître complexes, mais auxquelles la dynamique de la figure permet de donner du sens. En voici un exemple que l'on peut traiter en classe de 3e : | ||
Une fois la construction réalisée, le logiciel permet d'afficher la distance EF qui varie quand on déplace M sur [BC], on peut facilement invalider les conjectures qui apparaissent fréquemment sur papier (le milieu ou les points B et C). Si le triangle ABC construit par l'élève est trop particulier, on peut le déformer (tout en le conservant rectangle). Le logiciel permet à l'élève d'observer que le point M peut être placé n'importe où sur [BC], que son déplacement modifie la longueur EF et ainsi de comprendre le problème posé. En déplaçant M l'élève peut aussi observer les invariants de la figure (ici que le quadrilatère MEAF est toujours un rectangle). L'observation du rectangle conduit à la solution (le pied de la hauteur) et à la démonstration (AM = EF). Figure interactive dans GeoGebraTube : distance minimale dans un triangle rectangle Distance minmale dans un triangle avec GeoGebra Voir aussi : parallèle à une droite passant par un point donné Variante avec un triangle acutangle (dont les trois angles sont aigus) : télécharger la figure GéoPlan longueur_mini_2.g2w | ||
Étude fonctionnelle (lycée)On appelle x la distance BM, y la longueur EF. Télécharger la figure GéoPlan longueur_fct.g2w, la figure GéoPlan longueur_fct_2.g2w | ||
5. Périmètre minimum d'un triangle inscrit dans un triangleProblème de Fagnano (1682-1766) ABC est un triangle acutangle (dont les trois angles sont aigus). M, N et P sont trois points variables situés sur les côtés [BC], [AC] et [AB]. Indications : En déplaçant les points M, N ou P, GéoPlan permet d'obtenir le périmètre p minimal. Télécharger la figure GéoPlan longueur_mini_3.g2w | ||
Triangle de périmètre minimumÉbauche de solution à partir des symétriques E et F de M par rapport aux côtés du triangle. Télécharger la figure GéoPlan longueur_mini_4.g2w Indications La solution est le triangle orthique, où M, N et P sont les pieds des hauteurs du triangle ABC. En effet, pour un point M donné, on appelle E et F les symétriques de M par rapport aux côtés du triangle. On a PF = PM et NE = NM et, par suite, le périmètre p de MNP est égal à la longueur de la ligne brisée ENPF. Ce périmètre, pour M fixé sur [BC] est donc minimum lorsque N et P coïncident avec R et S. Pour minimiser p de façon absolue, il suffit de choisir M de façon à rendre minimum la longueur EF. Or comme AM = AE = AF et que FÂE = 2 BÂC, [EF] est une corde du cercle de centre A, de rayon AM, vue du centre de ce cercle sous l'angle 2 Â. Cette corde est de longueur minimum lorsque le cercle est de rayon minimum, c'est-à-dire lorsque M est le pied de la hauteur issue de A. L'unicité de ce minimum fait que par raison de symétrie les positions de N et P sont aussi les pieds des hauteurs issues de B et C. Voir auusi : la géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace. L'île des Mathématiques - forum des énigmes mathématiques : le mathilien fou | ||
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