Descartes et les Mathématiques La planche à clous comme geoplanActivités avec le geoplan pour construire des objets de la géométrie. | ||
Sommaire1. Le geoplan 5. Théorème de Pythagore : figure du moulin à vent | ||
C'est quoi un geoplan ? 1. Le geoplanLe geoplan, inventé par Caleb Gattegno, Les clous permettent de tendre des élastiques et de former ainsi des Le geoplan permet la création de multiples situations de géométrie, On alternera la construction avec les élastiques, Comme ci-contre, dès la maternelle, | ||
geoplan viergesgeoplan 3 × 3 9 points ; 4 unités d'aire | ||
geoplan 4 × 416 points ; 9 unités d'aire | ||
geoplan 5 × 5Figure interactive dans GeoGebraTube : geoplan 3 sur 3 vierge, | ||
2. Les figures de base du geoplanLa géométrie avec une planche à clous 2.a. geoplan 3 × 3 Découpage des polygones du geoplan 3 × 3Dans le geoplan 3 × 3, tous les triangles et les polygones (non-croisés) Il est possible de calculer l'aire des figures avec cette décomposition | ||
Triangles de baseAire(ABC) = Aire(DEF) = 0,5. | ||
Un autre triangleAire(ABC) = Aire(ABI) + Aire(IBC) = 1. Deux triangles du geoplan 3 × 3 ; triangle dans le geoplan 3 × 3 | ||
2.b. Approche de la notion d'aire
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•Procéder par addition en décomposant la • Procéder par soustractionen enlevant à l'aire du grand carré, les aires des Aire(ABC) = Aire(MBPQ) – { Aire(MBC) + Aire(PAB) + Aire(QAC) } • Utiliser la formule de Pick (cf. ci-dessous). Aire(ABC) = i + b – 1, où i = 6 est le nombre et b = 3 le nombre de points sur le bord du triangle,
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2.c. Figures, dans les geoplan 3 × 3 et 5 × 5Figures d'aire maximale, en évitant, le plus possible, TriangleAire(ABC) = 1,5. Le triangle est la réunion de trois triangles d'aires 0,5 : | ||
Carré d'aire égale à 2Aire(ABCD) = 4 × = 2. Les diagonales se coupent en leur milieu O, | ||
Trapèze isocèleAire(ABCD) = 2 – 0,5 = 1,5. (AB)//(DC) et AD = BC. | ||
Parallélogrammebase × hauteur = AD × DB = 2. Avec les diagonales, décomposer en deux demi-carrés, | ||
Triangle du geoplan 4 × 4Aire(ABC) = 3,5. Aire(ABC) = 9 – {1+3+1,5} = 3,5. | ||
Carré d'aire égale à 5Le carré ABCD, formé du carré central A’B’C’D’ unitaire, Aire(ABCD) = 1 + 4 × 1 = 5. | ||
Trapèze isocèle particulier(AB)//(DC) et AD = BC. Ici, les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires ; | ||
Quadrilatère croiséAire(ABI) = 2 ; Aire(ABCD) = 2 + 0,5 = 2,5. | ||
Quatre carrésAire(MNPQ) = 16, Aire(IJKL) = 4, | ||
Carré d'aire égale à 10Aire(ABCD) = 4 + 4 × 1,5 = 10, L'aire est obtenue en ajoutant ou en retranchant, à l'aire d'un carré, | ||
RectangleAire(ABCD) = 6. Les diagonales sont de même longueur. Rectangle dans le geoplan 5 × 5 Rectangle dans le geoplan 3 × 3 Voir le rectangle au collège | ||
ParallélogrammeAire(ABCD) = 8. Le nombre impair de points sur les diagonales permet Parallélogramme dans le geoplan 5 × 5 Aux isométries près, on trouve 8 familles de triangles différents | ||
2.d. Réseau de triangles équilatérauxDans les geoplans précédents, il n'est pas possible de tracer un triangle équilatéral. Réseau triangulaireFigure interactive dans GeoGebraTube : réseau triangulaire | ||
Triangle équilatéral | ||
Hexagone | ||
Réseau d'hexagones Figure interactive dans GeoGebraTube : | ||
3. Autres quadrilatèresTrapèzeAire(ABCD) = 9. (AB)//(DC) | ||
Trapèze rectangleAire(ABCD) = 7,5. (AB)//(DC) et (BC) est perpendiculaire à (AB) et à (CD). | ||
Trapèze isocèleAire(ABCD) = 12. (AB)//(DC) et AD = BC. Trapèze isocèle particulierAire(ABCD) = AC × BD = 8. Ici, dans ce cas particulier, les diagonales sont perpendiculaires | ||
LosangeAire(ABCD) = AC × BD = 4. Les diagonales se coupent en leur milieu O et sont perpendiculaires. | ||
Autre losangeAire(ABCD) = AC × BD = 8. | ||
Cerf-volant (géométrie)Aire(ABCD) = AC x BD = 8. Les diagonales sont perpendiculaires et leur point d'intersection | ||
Cerf-volant pseudo-carréAire(ABCD) = AC × BD = 8. Ici, les deux diagonales perpendiculaires sont de même longueur, | ||
Quadrilatère orthodiagonalAire(ABCD) = AC × BD = 6. Les diagonales se coupent à angle droit. | ||
Pseudo-carréAire(ABCD) = AC × BD = 8,5. Les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur. | ||
Fer de lanceAire(ABCD) = Exemple de quadrilatère non convexe. | ||
Quadrilatère croiséPas plus que GeoGebra, je ne sais pas calculer cette aire. | ||
Aire d'un quadrilatère inscrit dans un carré Cas général : à l'aire du carré, retrancher | ||
4. Théorème de Pick pour le calcul d'une aireFigure extraite de l'article On peut calculer l'aire du quadrilatère Aire(MNQL) = i + b – 1, où i = 3 est le nombre de points de la Figure interactive dans GeoGebraTube : Cocher la case geoplan 5 × 5 | ||
5. Théorème de Pythagore Figure d'Euclide dite du « moulin à vent »Soit OAB un triangle rectangle en O, tel que : c = AB ; le carré ABGH, formé de quatre Figure interactive dans GeoGebraTube : Voir : théorème de Pythagore et Euclide | ||
Soit OAB un triangle rectangle en O, tel que : c = AB ; le carré ABGH, formé d'un carré central unitaire, Figure interactive dans GeoGebraTube : moulin à vent du geoplan 6 sur 6 Retrouver ces carrés dans la page carré d'aire 5 et dans GeoGebraTube : moulin à vent d'Euclide dans un quadrillage | ||
Table des matièresDans d'autres pages du site Calculs d'aire - Théorème de Pick Parabole dans un geoplan 5 × 5 Aire d'un quadrilatère dans un geoplan 5 × 5 GeoGebraBook : la planche à clous comme geoplan | ||
Bibliographie : APMEP – Plot no 32 – Quatrième trimestre 2010
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