Descartes et les Mathématiques Cercles tangents, tangents aux côtés d'un triangleProblème de Malfatti : une construction avec GéoPlan. | ||
Sommaire2. Cercles tangents aux 2 côtés d'un triangle | ||
D'après Malfati, la source des cercles inscrits dans un triangle semble être Pappus et ces figures se retrouvent dans de nombreux Sangaku. Inscrire des disques dans un cercle, un triangle, un carré ou dans un polygone régulier | ||
1. Quatre cercles tangents, inscrits dans un triangleÀ partir de la quatrième 1.a. Une belle figure à construireUn triangle étant donné, comment construire ces quatre cercles ? Prérequis mathématiques Définition, propriétés et construction des droites tangentes à un cercle en un point. | ||
1.b. Un scénario possibleRecherche On peut présenter la figure avec un logiciel de géométrie dynamique, en utilisant un vidéo projecteur, en plaçant quatre cercles (c1), (c2), (c3) et (c4) de centres O1, O2, O3 et O4, passant par les points H, K, L et M. Télécharger la figure GéoPlan quatre_cercles2.g2w | ||
On demande alors à un élève de venir déplacer les points. On repère rapidement les invariants de la figure et on vérifie que les centres doivent se trouver sur les bissectrices du triangle ABC. On trace les bissectrices (touche B avec GéoPlan). Le cercle (c1), est donc le cercle inscrit dans ABC centré en I point d'intersection des bissectrices. En plaçant les autres centres O2, O3, O4 comme points variables sur les bissectrices du triangle ABC, on on met au défi les élèves de réaliser la même construction. C'est une première approche qui va permettre à toute la classe de rentrer dans le problème. | ||
1.c. Une fois ce travail réalisé, on s'attache à en voir les limites. On propose alors la construction de la figure. Toutefois, la figure réalisée précédemment va servir d'étude. C'est en expérimentant sur cette figure que le protocole de construction va émerger. Télécharger la figure GéoPlan quatre_cercles.g2w | ||
1.d. Dans cette troisième étape, on a l'occasion d'un travail différencié. On peut alors offrir des barres d'outils différentes - comme dans la plupart des logiciels de géométrie dynamique - selon les élèves : certains auront à leur disposition la construction du cercle inscrit dans un triangle ainsi que la construction du centre de ce cercle inscrit ; d'autres devront construire eux-mêmes le cercle inscrit ainsi que son centre. | ||
2.a. Cercles tangents, tangents aux deux côtés d'un triangleReproduire cette figure | ||
Construction de quatre cercles tangents aux deux côtés d'un triangle Tracer les cercles inscrits dans les triangles formés par deux des côtés du triangle et des perpendiculaires à leur bissectrice. Télécharger la figure GéoPlan quatre_cercles.g2w Problème de Pappus - Cercles tangents en chaîne Relations entre les rayons des cercles en chaîne tangents deux à deux, tangents à deux cercles dont l'un est à l'intérieur de l'autre (Steiner : théorie universelle des contacts). | ||
2.b. Deux cercles dans un triangleLe problème des trois cercles est un problème de contact à explorer à partir du thème DDC : cercle tangent à deuxDroites et à un Cercle. Ce problème a été résolu par Viète avec le recours à des droites et des cercles auxiliaires. Cette méthode sera nommée « méthode de Viète » ou des « translations parallèles ». On donne un triangle ABC et un cercle (c1), de centre O1, de rayon r, tangent aux côtés (AB) et (AC). Utiliser la « méthode des translations parallèles » en remarquant que si le rayon du cercle (c2) cherché augmentait de r, rayon du cercle donné, le nouveau cercle passerait par le centre O1 du cercle donné et serait tangent à des droites translatées de (BA) et (BC), telle que la distance entre une droite et son image soit égale au rayon r. Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w | ||
3. Cercles de MalfattiTrois cercles tangents, inscrits dans un triangle Sangaku En voyant la belle figure qui accompagne l'activité proposée par Danielle, je me suis dit « Qui peut le plus, peut le moins » et j'ai donc essayé de mettre trois cercles, au lieu de quatre, dans un triangle. C'est le problème de Malfatti : il s'agit de construire trois cercles, inscrits dans les angles d'un triangle, et tels qu'ils soient tangents deux à deux. En 1803, Giovanni Francesco Malfatti a posé le problème de déterminer les trois colonnes circulaires de marbre, éventuellement de différentes tailles qui, sculptées dans un prisme droit triangulaire, auraient la plus grande coupe transversale totale possible. C'est équivalent à la recherche de trois cercles de taille maximum qui peuvent être inscrits à l'intérieur d'un triangle rectangle de n'importe quelle forme, sans se chevaucher. Ce problème est maintenant connu comme le « problème de marbre ». Malfatti a donné comme solution les « trois cercles Malfatti », tangents l'un à l'autre et à deux côtés du triangle et il a démontré analytiquement l'existence de ces trois cercles. Une solution purement géométrique a été donnée, sans preuve, par Steiner en 1826. En 1930, il a été montré que les cercles Malfatti n'étaient pas toujours la meilleure solution. Alors Goldberg (1967) a montré que, pire encore, ils ne sont jamais la meilleure solution. Ogilvy (1990) et Wells (1991) illustrent des cas spécifiques où les solutions alternatives sont clairement optimales. D'après MathWorld. | ||
Recherche avec GéoPlan Les TICE permettent une première recherche en plaçant trois cercles (c1), (c2) et (c3) de centres O1, O2 et O3, passant par les points H, K et L. On vérifie rapidement que les centres doivent se trouver sur les bissectrices du triangle ABC. Télécharger la figure GéoPlan trois_cercles2.g2w | ||
Une piste de recherche en s'affranchissant de la contrainte : (c2) et (c3) tangents On donne un triangle ABC et un cercle (c1), de centre O1, de rayon r, tangent aux côtés (AB) et (AC). Avec la « méthode des translations parallèles » vue au paragraphe précédent, on place un cercle (c2), tangent à (c1) et aux côtés (BA) et (BC) ainsi qu'un cercle (c3), tangent à (c1) et aux côtés (CA) et (CB). Télécharger la figure GéoPlan trois_cercles.g2w | ||
Vers la solution avec le logiciel Le problème n'a plus qu'un degré de liberté. En déplaçant le centre O1, on trouve la solution où les cercles (c2) et (c3), sont tangents. On peut penser que cette preuve par GéoPlan est une démonstration analytique. Le traité de géométrie de Rouché et De Comberousse donne une construction à la « règle et au compas » de cette position de telle manière que la droite joignant les points d'intersection des cercles (c2) et (c3) soit tangente aux cercles inscrits dans les triangles IAB ou IAC. Il suffit de trouver un des points de contact situé sur la perpendiculaire passant le centre d'un des cercles inscrits. Le triangle O1O2O3, formé par les centres des cercles de Malfatti, est le triangle de Malfatti du triangle ABC. Voir carrés de Malfatti : inscrire trois carrés dans un triangle donné | ||
4. Construction exacte de Steiner (1826)Rouché Eugène et De Comberousse Charles – Traité de géométrie - 1900 - Éditions Jacques Gabay - 1997 Recherche des tangentes communes I étant le centre du cercle inscrit, tracer les cercles inscrits dans les triangles IBC, IAC et IAB. Les trois bissectrices sont tangentes intérieures à ces cercles pris deux à deux. Pour cela, soit U le point d'intersection des droites (I1I3) et (BB’) et U3 le point de contact de la tangente (BB’) avec le cercle inscrit dans IAB. Ce cercle coupe le cercle de diamètre [UI3] en U3 et U1. Ces tangentes sont sécantes en L qui est le centre radical des cercles solutions. Cela permet de tracer la dernière tangente simplement comme droite (VL). | ||
Solution Les cercles inscrits dans les triangles ayant comme côté une de ces tangentes et deux des côtés du triangle ABC, sont les cercles cherchés Le triangle O1O2O3 est le triangle de Malfatti de ABC. Le cercle circonscrit au triangle DEF, de centre L, est inscrit dans le triangle O1O2O3. Télécharger la figure GéoPlan trois_cercles4.g2w | ||
Table des matièresDans d'autres pages du site Construction de cercles problèmes de contact Troisième : Problèmes d'optimisation Seconde : Problèmes d'optimisation Trois cercles égaux à l'intérieur d'un triangle Google friendly
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